Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Hình học - Chuyên đề 14: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn

Nội dung text: Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Hình học - Chuyên đề 14: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn

1. CHƯƠNG Chuyên đề 14. GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÒN. GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN Kiến thức cần nhớ 1. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn Trong hình bên thì: B· EC có đỉnh E nằm bên trong đường tròn (O) gọi là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Định lí: Số đo góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn. 2. Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn. Trong hình (a,b,c) thì: B· EC gọi là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn. Định lí: Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn. A. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho tứ giác ABCD có bốn đỉnh thuộc đường tròn. Gọi M, N, P, Q lần lượt là điểm chính giữa các cung AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng: MP  NQ . Giải Tìm cách giải. Để chứng minh MP  NQ ta gọi I là giao điểm của MP và NQ và cần chứng minh M· IQ 90 . Nhận thấy M· IQ là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, do vậy ta cần biểu diễn góc M· IQ theo các cung của đường tròn và biến đổi các cung ấy. Trình bày lời giải Gọi I là giao điểm của MP và NQ. Ta có:
2. 1 M· IQ sñ M¼ Q sñ N»P 2 1 1 . sñ A»B sñ A»D sñ B»C sñ C»D 2 2 1 .360 90. 4 Vậy MP  NQ . Ví dụ 2. Cho tam giác ABC AC AB nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R. Đường phân giác trong và ngoài của góc A cắt đường thẳng BC theo thứ tự tại D và E. Giả sử AD AE . Hãy tính AB2 AC 2 theo bán kính R của đường tròn tâm O. Giải Tìm cách giải. Khai thác giả thiết AD và AE là các phân giác trong và ngoài góc A, AD AE suy ra được ADE là tam giác vuông cân. Măt khác từ kết luận, ta liên tưởng tới kẻ thêm đường kính để tạo ra R. Mặt khác từ A· DC 45 , là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, nên gợi ý cho ta chỉ kẻ đường kính từ B hoặc từ A. Trình bày lời giải Gọi AD là đường tròn tại M. Kẻ đường kính BF. AD và AE là các phân giác trong và ngoài góc A nên D· AE 90 mà AD AE suy ra ADE vuông cân tại A A· DC 45 sñ B¼M sñ A»C 45 sñB¼M sñ A»C 90 2 sñ C¼M sñ A»F 90 mà B¼M M¼ C »AF A»C AF AC Do đó AB2 AC 2 AB2 AF 2 BF 2 4R 2 . Ví dụ 3. Cho hai đường tròn (O), (O’) cắt nhau ở A và B sao cho O· AO 90 . Gọi C là một điểm thuộc đường tròn (O’). Các đường thẳng CA, CB cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D, E. Chứng minh rằng DE là đường kính của đường tròn (O). Giải Tìm cách giải. Để chứng minh DE là đường kính của đường tròn (O), ta cần chứng minh sđ D»E 180 . Chú ý xét hai trường hợp C nằm bên trong và bên ngoài đường tròn (O). Trình bày lời giải
3. Gọi số đo cung DE không chứa A là m, số đo cung nhỏ AB của đường tròn (O) là n. Xét hai trường hợp: - Trường hợp C nằm ngoài đường tròn (O). Theo tính chất góc có đỉnh ở ngoài đường tròn ta có: m n A· CB m 2.A· CB n A· O B A· OB 180 2 DE là đường kính của (O). - Truờng hợp C nằm trong đường tròn (O). Xét hai cung AB của (O’), gọi số đo cung nằm ngoài (O) là p, số đo cung còn lại là q. Theo tính chất góc có đỉnh nằm trong đường tròn, ta có: m n A· CB m 2.A· CB n . 2 Kết hợp với 2.A· CB p 360 q . Suy ra: m 360 q n 360 q n m 360 A· O B A· OB 360 180 180 DE là đường kính của (O). Ví dụ 4. Cho đường tròn (O), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau, điểm M thuộc cung nhỏ BC. Gọi E là giao điểm của MA và CD, F là giao điểm của MD và AB. Chứng minh rằng: a) D· AE ·AFD . b) Khi M di động trên cung nhỏ BC thì diện tích tứ giác AEFD không đổi. Giải sñ A»D sñ C¼M 90 sñC¼M a) Eµ (góc có đỉnh ở bên trong đường tròn), 1 2 2 sñ A»C sñC¼M 90 sñC¼M ·ADF (góc nội tiếp). 2 2 µ · Suy ra: E1 ADF . · ¶ µ µ Mà DAE 180 D1 E1 135 E1 ; · µ · · AFD 180 A1 ADF 135 ADF Suy ra D· AE A· FD .
4. Nhận xét. Ngoài ra, bạn cũng có thể chứng minh trực tiếp được như sau: sñD¼BM 90 sñB¼M D· AE (góc nội tiếp). 2 2 sñ A»D sñ B¼M 90 sñB¼M A· FD (góc có đỉnh ở bên trong đường tròn). 2 2 ¶ µ µ · b) Ta có: D1 A1 45 và E1 ADF (câu a) nên DAE : ADF (g.g) DE AD AF.DE AD2 . AD AF Mặt khác AEFD là tứ giác có hai đường chéo AF, DE vuông góc với nhau. Do đó 1 1 S AF.DE AD2 không đổi. AEFD 2 2 B. Bài tập vận dụng 14.1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn (O) đường kính AB cắt đường tròn (O’) đương kính AC tại D, M là điểm chính giữa cung nhỏ DC, AM cắt đường tròn (O) tại N, cắt BC tại E. Chứng minh O, N, O’ thẳng hàng. 14.2. Cho các điểm A1, A2 , , A19 , A20 được sắp xếp theo thứ tự đó trên cùn một đường tròn (O). Chúng chia đường tròn thành 20 cung bằng nhau. Chứng minh rằng dây A1A8 vuông góc với dây A3 A16 . 14.3. Cho ABC cân tại B. Qua B kẻ đường thẳng xy song song với AC. Gọi O là một điểm trên xy. Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AC ở D, cắt các cạnh AB và BC ở E và F. Chứng minh rằng số đo cung E»F không đổi khi O di chuyển trên xy. 14.4. Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Một cát tuyến qua M, cắt (O) tại hai điểm C và D (C nằm giữa M và D). a) Chứng minh AC.DB AD.CB b) Tia phân giác góc CAD cắt CD tại I. Chứng minh BI là tia phân giác góc CBD. (Thi Học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Gia Lai, năm học 2007- 2008) 14.5. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là giao điểm của AC và BD. Biết đường tròn (K) ngoại tiếp IAD cắt các cạnh AB, CD của tứ giác lần lượt tại E và E E A;F D . Đường thẳng EF cắt AC, BD lần lượt tại M, N. a) Chứng minh rằng A· ME ·ADI . b) Chứng minh KI  BC .
5. 14.6. Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn O; R biết rằng B· OC 90 . Vẽ đường tròn tâm I đường kính BC, cắt AB, AC tại M, N. Chứng minh rằng: MN R . 14.7. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại M. Biết rằng B· AC 2B· MC . Tính số đo góc B· AC . 14.8. Cho đường tròn O; R có dây AB R 3 ; Trên cung lớn AB lấy dây CD R (C thuộc cung BD). Chứng minh rằng AC  BD . 14.9. Từ điểm A ở bên ngoài (O) kẻ tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD. Vẽ dây BM vuông góc với tia phân giác góc BAC tại H cắt CD tại E. Chứng minh BM là tia phân giác góc CBD. HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ sñ A»D sñ C¼M 14.1. Xét (O’) có: ·AEB 2 (Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn). sñ A¼DM sñ A»D sñ M¼D B· AM 2 2 (Góc tại bởi tia tiếp tuyến và dây cung). Suy ra B· AM A· EB tam giác ABE cân tại B nên BN vừa là đường cao vừa là trung tuyến. NA NE và OA OB,O A O C NO, NO’ là đường trung bình của tam giác ACE, ABE nên O N / /CE, NO / /EB Do đó O, N, O’ thẳng hàng. 14.2. Số đo mỗi cung nhỏ là 360 : 20 18 ¼ + Số đo cung nhỏ A1A 3 là: sñ A1A3 2.18 36 ¼ + Số đo cung nhỏ A8 A16 là: sñ A8 A16 8.18 144 Gọi M là giao điểm A1A 3 và A3 A16 sñ ¼A A sñ ¼A A 36 144 Ta có A· MA 1 3 8 16 90 1 3 2 2 Suy ra A1A8 vuông góc với A3 A16 . 14.3. Gọi AB, CB cắt đường tròn tại điểm thứ hai là F’, E’
6. Kẻ đường cao BK của tam giác ABC, gọi I là giao điểm của tia đối tia BK với đường tròn, ta có: A· BK C· BK E· BI; E· Bx E· Bx Suy ra E và E’ đối xứng nhau qua xy, tương tự E, F’ đối xứng nhau qua xy E»F E¼ F Theo tính chất góc có đỉnh bên trong đường tròn, ta có: sñ E»F sñ E¼ F A· BC sñE»F 2 Vậy số đo cung EF không đổi khi O di chuyển trên dường thẳng BC. 14.4. MA AC a) MAC ~ MDA MD AD MB CB MBC ~ MDB MD DB AC CB Mà MA MB nên hay AC.DB AD.CB AD DB b) Gọi E là giao điểm thứ hai của đường thẳng AI với (O). 1 1 Ta có: M· AI sñ A»E sñ A»C sñ C»E 2 2 1 M· IA sñ A»C sñ E»D mà E»D C»E . 2 Nên M· AI M· IA suy ra AMI cân. Do đó MA MI . Mà MA MB nên MB MI Vậy BMI cân M· IB M· BI , Do đó: C· BI M· BI M· BC M· IB M· DB D· BI . Vậy BI là tia phân giác của góc CBD. 14.5. a) Ta có: B· AC B· DC (cùng chắn cung BC của (O)). 1 Xét đường tròn (K) có B· AC sñ IºE ; 2 1 B· DC sñIºF IºE IºF 2
7. 1 A· ME sñ A¶E sñIºF 2 1 1 sñ A¶E sñIºE sñ AºI A· DI 2 2 b) A· DB A· CB (cùng chắn cung AB của (O) mà A· ME A· DB A· ME A· CB EF / /BC 1 Lại có IºE IºF KI  EF 2 Từ (1) và (2) ta có: KI  BC . 14.6. Xét đường tròn (O) có: B· OC B· AC 45 (hệ quả góc nội tiếp) 2 180 sñM¼ N Xét đường tròn (1) có: B· AC 2 (Góc có đỉnh ngoài đường tròn) 180 sñM¼ N Hay 45 sñM¼ N 90 M¼IN 90 . 2 Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có: BC2 MN 2 MI 2 NI 2 2.MI 2 BC MN. 2 2 BC2 BO2 CO2 2R2 BC R. 2 . Suy ra MN R . 14.7. Đặt sñB¼AC x;sñB»C y ta có x y 360 (1) sñB»C y Ta có B¼AC (góc nội tiếp). 2 2 sñB¼AC sñB»C x y B· MC 2 2 (góc có đỉnh bên ngoài đường tròn) Mà B· AC 2B· MC nên y 2 x y Hay 2x 3y 2 x y 360 x 216 Từ (1) và (2) suy ra 2x 3y y 144
8. sñB»C Từ đó suy ra B· AC 72. 2 14.8. AB R 3 nên sñ A»B 120; AB R nên sñC»D 60 sñ A»B sñC»D Gọi AC cắt BD tại I ta có: A· IB 90 nên AC  BD . 2 14.9. Tam giác ABE có AH là đường phân giác, đồng thời là đường cao, nên tam giác ABE cân tại đỉnh A. Do đó A· BE A· EB sñB¼M sñB»C sñC¼M Mà A· BE 2 2 sñB»C sñM¼D ·AEB 2 Suy ra sñC¼M sñM¼D vậy C· BM M· BD