Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Hình học - Chuyên đề 16: Tứ giác nội tiếp

Nội dung text: Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Hình học - Chuyên đề 16: Tứ giác nội tiếp

1. CHƯƠNG Chuyên đề 16. TỨ GIÁC NỘI TIẾP A. Kiến thức cần nhớ 1. Định nghĩa. • Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp). Hình bên: Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp. 2. Định lí. Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180°. 3. Định lí đảo. Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn. B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Hai đường tròn O1 và O2 cắt nhau tại M và P. Vẽ dây MA của đường tròn O2 là tiếp tuyến của đường tròn O1 . Vẽ dây MB của đường tròn O1 là tiếp tuyến của đường tròn O2 . Trên tia đối của tia PM lấy điểm H sao cho PH PM . Chứng minh rằng tứ giác MAHP nội tiếp. Giải Tìm cách giải. - Khai thác giả thiết, ta có PH PM . Do vậy nếu I, K là trung điểm MB, MA mà MIPK là tứ giác nội tiếp thì MAHB cũng là tứ giác nội tiếp. - Ta biết rằng tâm đường tròn ngoại tiếp là giao điểm các đường trung trực của các cạnh và đường chéo. Dễ nhận biết đường trung trực của MB đi qua O1 , đường trung trực của MA đi qua O2 . Nếu giao điểm của hai đường trung trực này nằm trên đường trung trực của MH thì bài toán xong. Với hai định hướng trên ta có hai cách giải sau: Trình bày lời giải Cách 1. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của MB, MA. Ta có: B· MP M· AP ; ·AMP M· BP suy ra MBP ∽ AMP (g.g) BP MB BP BI MP AM MP MK BPI ∽ MPK (c.g.c)
2. B· PI M· PK Xét I·MK I·PK I·MP P· MK I·PM M· PK I·MP M· BP I·PM B· PI 180 Suy ra tứ giác MIPK nội tiếp, mà IP, KP lần lượt là đường trung bình của tam giác MBH, MAH IP//BH , KP//AH K· PI ·AHB ·AMB ·AHB 180 Tứ giác MAHP nội tiếp Cách 2. Dựng hình bình hành O1MO2O Suy ra O1O//MO2 , O2O//O1M Mà MB  MO2 , MA  MO1 nên: O1O  MB , O2O  MA . Do đó OM OB ; OM OA 1 Gọi giao điểm O1O2 với MO; MP là I, K Ta có O1O2  MP và IM IO ; KM KP Do đó IK là đường trung bình của tam giác MOP Suy ra IK //OP OP  MH mà MP PH OP là đường trung trực của MH OM OH 2 Từ 1 và 2 OM OA OH OB Tứ giác MAHB nội tiếp. Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông tại C. Trên cạnh AB lấy điểm M (M khác A và B). Gọi O; O1 ; O2 lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, AMC và BMC. 1) Chứng minh bốn điểm C, O1 , M, O2 cùng nằm trên một đường tròn T . 2) Chứng minh rằng đường tròn T đi qua O. 3) Xác định vị trí của M trên đoạn AB sao cho đường tròn T có bán kính nhỏ nhất. (Tuyển sinh 10, chuyên toán ĐHSP Hà Nội, năm học 2008 - 2009) Giải Tìm cách giải.
3. · · O1 , O2 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp nên CO1M ; CO2M lần lượt hai góc ở tâm của hai đường tròn tròn tương ứng. Phân tích đi lên ta có bốn điểm C, O1 , M, O2 cùng nằm trên một · · · · đường tròn CO1M CO2M 180 CAM CBM 90 từ đó ta tìm được cách giải. • Để chứng minh đường tròn T đi qua điểm O, ta cần chứng minh tứ giác CO2OM nội tiếp hoặc tứ giác CO1MO nội tiếp. Cả hai hướng trên đều cho lời giải đúng. Trình bày lời giải 1) Sử dụng tính chất góc ở tâm đường tròn, ta có: · · · · CO1M 2.CAM ; CO2M 2.CBM . Do tam giác ABC vuông nên: C· AM C· BM 90 . · · Suy ra CO1M CO2M 180 . Vậy bốn điểm C, O1 , M, O2 cùng thuộc một đường tròn 2) Do tam giác ABC vuông tại C nên O là trung điểm của AB, Giả sử M thuộc đoạn OA. · · · Do tam giác COB cân tại O nên COM 2.CBO CO2M. Vậy O thuộc đường tròn T 3) Gọi R là bán kính của đường tròn T . 1 Do T đi qua C và O nên CO 2R hay R CO 2 Dấu bằng đạt được khi M là hình chiếu của C trên AB. 1 Vậy bán kính của đường tròn (T) nhỏ nhất bằng CO khi M là hình chiếu của C trên AB. 2 Ví dụ 3. Từ điểm A ở ngoài đường tròn O , kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Trên tia đối của tia BC lấy điểm D. Gọi E là giao điểm của DO và AC. Qua E vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn O , tiếp tuyến này cắt đường thẳng AB tại K. Chứng minh bốn điểm D, B, O, K cùng thuộc một đường tròn. Giải Tìm cách giải. Dựa vào hình vẽ ta có một số định hướng sau:
4. • Nếu gọi M là tiếp điểm của đường tròn O với EK, dễ thấy BOMK là tứ giác nội tiếp. Nên muốn chứng minh D, O, K, B cùng thuộc một đường tròn, ta chỉ cần chứng minh D, O, M, B cùng thuộc một đường tròn. Kµ Kµ • Quan sát kỹ, ta có B· KO . Vậy ta chỉ cần chứng minh B· DO . 2 2 180 µA • Cũng dễ nhận thấy D· BK ·ABC . 2 180 µA Do đó ta cũng cần chứng minh D· OK . 2 Trình bày lời giải Cách 1. Gọi M là tiếp điểm của đường tròn O với EK. Ta có EM, EC là tiếp tuyến của O nên: 1 M· OE C· OE M· OC 2 1 Vì M· BC M· OC M· OE M· BC . 2 Mặt khác M· OE M· OD 180 Và M· BC M· BD 180 Suy ra M· OD M· BD Vậy D, O, M, B cùng thuộc một đường tròn. Mà K· MO K· BO 90 nên tứ giác KMOB nội tiếp. Vậy năm điểm D, K, O, M, B cùng thuộc một đường tròn Suy ra D, O, K, B cùng thuộc một đường tròn. Cách 2. Ta có µA Eµ C· DE 180 D· CE D· EC 180 90 2 2 µA Eµ Kµ C· DE 90 2 2 Kµ Mà B· KO B· KO B· DO . 2 Suy ra D, O, K, B cùng thuộc một đường tròn.
5. CHƯƠNG Chuyên đề 16. TỨ GIÁC NỘI TIẾP A. Kiến thức cần nhớ 1. Định nghĩa. • Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp). Hình bên: Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp. 2. Định lí. Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180°. 3. Định lí đảo. Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn. B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Hai đường tròn O1 và O2 cắt nhau tại M và P. Vẽ dây MA của đường tròn O2 là tiếp tuyến của đường tròn O1 . Vẽ dây MB của đường tròn O1 là tiếp tuyến của đường tròn O2 . Trên tia đối của tia PM lấy điểm H sao cho PH PM . Chứng minh rằng tứ giác MAHP nội tiếp. Giải Tìm cách giải. - Khai thác giả thiết, ta có PH PM . Do vậy nếu I, K là trung điểm MB, MA mà MIPK là tứ giác nội tiếp thì MAHB cũng là tứ giác nội tiếp. - Ta biết rằng tâm đường tròn ngoại tiếp là giao điểm các đường trung trực của các cạnh và đường chéo. Dễ nhận biết đường trung trực của MB đi qua O1 , đường trung trực của MA đi qua O2 . Nếu giao điểm của hai đường trung trực này nằm trên đường trung trực của MH thì bài toán xong. Với hai định hướng trên ta có hai cách giải sau: Trình bày lời giải Cách 1. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của MB, MA. Ta có: B· MP M· AP ; ·AMP M· BP suy ra MBP ∽ AMP (g.g) BP MB BP BI MP AM MP MK BPI ∽ MPK (c.g.c)