Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Hình học - Chuyên đề 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Nội dung text: Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Hình học - Chuyên đề 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

1. Chuyên đề 2 TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN A. Kiến thức cần nhớ 1. Định nghĩa (h.2.1) caïnh ñoái caïnh keà •sin α = ; • cos α = ; caïnh huyeàn caïnh huyeàn caïnh ñoái caïnh keà tanα = ; • cotα = . caïnh keà caïnh ñoái Từ định nghĩa ta có cả bốn tỉ số lượng giác dương và sin α 1;cosα 1 2. Định lí Nếu hai góc phụ nhau thì sin của góc này bằng côsin của góc kia, tang của góc này bằng côtang của góc kia 3. Một số hệ thức cơ bản sinα cosα tan α = (1); •cotα = (2); cosα sinα •tanα.cotα = 1 (3); •sin2α + cos2α = 1 (4). 4. So sánh các tỉ số lượng giác Cho α,  là hai góc nhọn. Nếu α  thì •sin α sin , tan α tan ; •cosα cos ;cot α cot . B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Chứng minh các hệ thức: 1 1 a) 1 tan2 α ; b) 1 cot2 α . cos2 α sin2 α Giải 2 2 2 2 2 sin α sin α cos α sin α 1 a) Ta có 1 tan α 1 1 2 2 2 ; cosα cos α cos α cos α 2 2 2 2 2 cosα cos α sin α cos α 1 b) Ta có 1 cot α 1 1 2 2 2 . sin α sin α sin α sin α Nhận xét: Trong cách giải trên ta đã biến đổi vế trái thành vế phải. Ta cũng có thể biến đổi vế phải thành vế trái theo chiều ngược lại. Hai hệ thức trên cũng là hệ thức cơ bản, nên nhớ để sau này vận dụng. Ví dụ 2. Cho α là một góc nhọn. Chứng minh rằng:
2. a)sin α < tan α; b) cosα cot α. Giải AC AC a) Ta có sin , tan mà BC AB nên BC AB AC AC . BC AB Do đó sin α tan α; AB AB b) Ta có cos ,cot BC AC AB AB Mà BC AB nên . BC AC Do đó cos cot . Nhận xét: Phương pháp giải ví dụ này là dùng định nghĩa của tỉ số lượng giác. Ví dụ 3. Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng:tanB tanC 2. Giải ABC vuông tại A nên Bµ Cµ 90o. Suy ra tanB cot C;tanC cot B. Vẽ đường cao AH và đường trung tuyến AM. 1 Khi đó AH AM , AM BC hay BC 2AM. 2 CH BH Ta có cot C ,cot B . AH AH CH BH BC 2AM 2AH Do đó cot C cot B 2 AH AH AH AH AH (Dấu “=” xảy ra khi AM AH ABC vuông cân tại A). Suy ra tanB tanC 2 ( Dấu “=” xảy ra khi ABC vuông cân tại A). Nhận xét: Cách giải như trên là dựa vào quan hệ giữa tang và côtang của hai góc phụ nhau. Nếu dựa vào bất đảng thức Cô-si ta có lời giải rất đơn giản: AC AB AC AB tan B tan C 2 . 2 AB AC AB AC AC AB (dấu “=” xảy ra khi AB2 AC 2 AB AC ABC vuông cân tại A) AB AC
3. Ví dụ 4. Chứng minh định lí sin: Trong một tam giác nhọn, độ dài các cạnh tỉ lệ với sin của các góc đối diện: a b c . sin A sin B sin C Giải * Tìm cách giải: Để có sinA (hoặc sinB, sinC) thì phải xét tam giác vuông với A là một góc nhọn. Do đó phải vẽ thêm đường cao. * Trình bày lời giải: Vẽ đường cao CH. CH Xét ∆ACH vuông tại H ta có: sin A (1) AC CH Xét ∆BCH vuông tại H ta có:sin B (2) BC sin A CH CH BC a Từ (1) và (2) suy ra : Do đó sin B AC BC AC b a b . sin A sin B b c Chứng minh tương tự ta được . sin B sin C a b c Vậy . sin A sin B sin C a b Lưu ý: Nếu ABC có Cµ 90o thì ta vẫn có: sin A sinB Ví dụ 5. Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD và CE. Biết diện tích tam giác ADE 3 bằng diện tích tam giác ABC. Tính số đo góc A. 4 Giải AB AD AD AE ABD ∽ ACE (g.g). Suy ra . Do đó . AC AE AB AC AD AE ΔADE vaø ΔABC co ù: Aµ chung : AB AC Vậy ADE ∽ ABC (c.g.c).
4. 2 SADE AD Suy ra . SABC AB 3 2 3 Do đó cosA cosA cos30o 4 2 Vậy µA 30o Nhận xét: Phương pháp giải ví dụ này là dựa vào tam giác đồng dạng. Nếu hai tam giác đồng dạng thì tỉ số hai diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng. Tỉ số đồng dạng này chính là cosA, do đó có thể tính được góc A. Ví dụ 6. Tìm góc x, biết rằng: a) tan x 3cot x; b)sin x cos x 2. Giải 3 1 a) tan x 3cot x . Suy ra tan x (vì cot x ). tan x tan x Do đó tan2 x 3 tan x 3 tan 60o. Vậy x 60o. b)sin x cos x 2 . Bình phương hai vế ta được: sin2 x 2sin x cos x cos2 x 2 2sin x cos x 1 2 (vìsin2 x cos2 x 1) 2sin x cos x 1 1 2sin x cos x 0 sin2 x 2sin x cos x cos2 x 2 sin x cos x 0. Do đó sin x cos x sin x sin 90o x (vì cos x sin 90o x ) Dẫn tới x 90o x 2x 90o x 45o. Nhận xét: Phương pháp chung để giải ví dụ này là tìm cách đưa phương trình có hai tỉ số lượng giác về dạng còn một tỉ số lượng giác bằng cách vận dụng quan hệ giữa các tỉ số lượng giác đó. C. Bài tập vận dụng • Vận dụng định nghĩa sin và côsin 2.1. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB 3, AC 4 . Trên cạnh AC lấy điểm M. Tìm giá trị nhỏ nhất của sin AMB. 2.2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AB lấy điểm M. Vẽ MN  BC . AN Chứng minh rằng sinC . CM
5. 2.3. Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ các đường cao BD và CE. Tính số đo của góc A để diện tích tam giác ADE bằng diện tích tứ giác BCDE. 2.4. Cho tam giác ABC, µA α 0o α 90o . Vẽ các đường cao BD và CE. a) Chứng minh rằng DE BC cosα ; b) Gọi M là trung điểm của BC. Tính giá trị của α để tam giác MDE là tam giác đều. 2.5. Cho tam giác ABC có diện tích bằng 1. Vẽ ba đường cao AD, BE, CF. 2 2 2 a) Chứng minh rằng SAEF SBFD SCDF cos A cos B cos C; b) Tính diện tích tam giác DEF biết µA 60o , Bµ 45o (lấy kết quả với ba chữ số thập phân). 2.6. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm E, trên cạnh CD lấy điểm F sao cho 1 BE CF cạnh hình vuông. Tính cos EAF. 4 2.7. Cho tam giác ABC, AB c, BC a,CA b . Các đường trung tuyến AA'đường cao BB ' và đường phân giác CC 'đồng quy tại O. Chứng minh rằng b cosC . a b A B C 1 2.8. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng sin sin .sin . 2 2 2 8 2.9. Cho tam giác ABC, đường cao AH (H nằm giữa B và C). Vẽ đường trung tuyến AM. Biết AH 6cm, HB 4cm, HC 9cm . Tính các tỉ số lượng giác của góc HAM. • Vận dụng định nghĩa tang và côtang 2.10. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Cho biết AH 4cm, BC 10cm . Chứng minh 1 rằng: tan B 4 tan C hoặc tan B tan C. 4 2.11. Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AD, trực tâm H. Cho biết HA: HD k, chứng minh rằng: tan B.tan C k 1. 2.12. Cho tam giác ABC vuông tại A có Bµ 60o . Trên cạnh BC lấy điểm M khác B và C sao cho MB : MC k . Vẽ BH và CK cùng vuông góc với đường thẳng AM. Chứng minh rằng: a) AK 3.BH; b) AK : AH 3k 2.13. Cho tam giác ABC có diện tích S, góc A tù. Đường cao AH = h. Chứng minh rằng: a) Nếu cot B cot C 4 thì S 2h2 ;
6. Chuyên đề 2 TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN A. Kiến thức cần nhớ 1. Định nghĩa (h.2.1) caïnh ñoái caïnh keà •sin α = ; • cos α = ; caïnh huyeàn caïnh huyeàn caïnh ñoái caïnh keà tanα = ; • cotα = . caïnh keà caïnh ñoái Từ định nghĩa ta có cả bốn tỉ số lượng giác dương và sin α 1;cosα 1 2. Định lí Nếu hai góc phụ nhau thì sin của góc này bằng côsin của góc kia, tang của góc này bằng côtang của góc kia 3. Một số hệ thức cơ bản sinα cosα tan α = (1); •cotα = (2); cosα sinα •tanα.cotα = 1 (3); •sin2α + cos2α = 1 (4). 4. So sánh các tỉ số lượng giác Cho α,  là hai góc nhọn. Nếu α  thì •sin α sin , tan α tan ; •cosα cos ;cot α cot . B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Chứng minh các hệ thức: 1 1 a) 1 tan2 α ; b) 1 cot2 α . cos2 α sin2 α Giải 2 2 2 2 2 sin α sin α cos α sin α 1 a) Ta có 1 tan α 1 1 2 2 2 ; cosα cos α cos α cos α 2 2 2 2 2 cosα cos α sin α cos α 1 b) Ta có 1 cot α 1 1 2 2 2 . sin α sin α sin α sin α Nhận xét: Trong cách giải trên ta đã biến đổi vế trái thành vế phải. Ta cũng có thể biến đổi vế phải thành vế trái theo chiều ngược lại. Hai hệ thức trên cũng là hệ thức cơ bản, nên nhớ để sau này vận dụng. Ví dụ 2. Cho α là một góc nhọn. Chứng minh rằng: