Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Hình học - Chuyên đề 23: Hình trụ

Nội dung text: Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Hình học - Chuyên đề 23: Hình trụ

1. CHƯƠNG IV: Hình trụ - Hình nón – Hình cầu Chuyên đề 23. HÌNH TRỤ A. Kiến thức cần nhớ 1. Hình trụ: Khi quay hình chữ nhật ABO 'O một vòng quanh cạnh OO ' cố định ta được một hình trụ. - Hai đáy là hai hình tròn O và O ' bằng nhau và nằm trong hai mặt phẳng song song. - Đường thẳng OO ' gọi là trục của hình trụ. - AB là một đường sinh. Đường sinh vuông góc với hai mặt phẳng đáy. Độ dài đường sinh là chiều cao của hình trụ. 2. Cắt hình trụ: • Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng song song với đáy thì mặt cắt là một hình tròn bằng hình tròn đáy. • Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng song song với trục thì mặt cắt là một hình chữ nhật. 3. Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq 2 Rh; 2 Stp 2 Rh 2 R hay Stp 2 R h R ( R là bán kính đáy; h là chiều cao). 4. Thể tích hình trụ: V .R2 .h. B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Từ một tấm tôn hình chữ nhật, kích thước 50cm x 189cm người ta cuộn tròn lại thành mặt xung quanh của một hình trụ cao 50cm . Hãy tính: a) Diện tích tôn để làm hai đáy; b) Thể tích của hình trụ được tạo thành. Giải
2. a) Vì chiều cao của hình trụ là 50cm nên chu vi hình tròn đáy là C 189cm . C 189 Ta có C 2 R R 30 cm . 2 2 Vậy bán kính hình tròn đáy là 30cm . Diện tích tôn để làm hai đáy là: S 2 R2 2. .302 1800 cm2 b) Thể tích hình trụ là: V R2 h .302.50 45000 cm3 Nhận xét: Để trả lời hai câu hỏi của bài toán, ta cần biết bán kính của đường tròn đáy. Muốn vậy, phải xác định cạnh nào của tấm tôn cần giữ nguyên để làm chiều cao của hình trụ, cạnh nào phải cuộn lại. Từ công thức tìm chu vi của hình tròn suy ra cách tìm bán kính. Ví dụ 2. Một hình trụ có chiều cao là 25cm và diện tích toàn phần là 1200 cm2 . Tính thể tích của hình trụ đó. Giải Gọi bán kính đáy của hình trụ là R , chiều cao hình trụ là h . Vì diện tích toàn phần của hình trụ là 1200 cm2 nên 2 R h R 1200 . Suy ra R 25 R 600 R2 25R 600 0 . Phương trình có hai nghiệm: R1 15(chọn); R2 40 (loại). Vậy bán kính đáy hình trụ là 15cm . Thể tích hình trụ là: V R2 h .152.25 5625 cm3 Nhận xét: Ta đã biết chiều cao nên muốn tính thể tích hình trụ chỉ cần tìm bán kính đáy. Do đó ta tìm bán kính đáy từ công thức tính diện tích toàn phần của hình trụ. Ví dụ 3. Hình 23.3 vẽ một hình trụ với ABCD là một mặt cắt song song với trục. Diện tích mặt cắt là 96cm2 , AB 8cm . Biết tâm O cách AB là 3cm . Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ.
3. Giải Mặt cắt ABCD là một hình chữ nhật. Diện tích mặt cắt là 96cm2 nên AB.AD 96cm2 . 96 96 Suy ra AD 12 cm . AB 8 Vậy chiều cao của hình trụ là 12cm . Trong mặt phẳng đáy, vẽ OH  AB . Ta có HA HB 8 : 2 4 cm . Xét VAOH vuông tại H có OA2 OH 2 AH 2 32 42 25 Suy ra OA 5cm . Vậy bán kính đáy là 5cm . 2 Diện tích xung quanh của hình trụ là: Sxq 2 Rh 2. .5.12 120 cm . Thể tích của hình trụ là: V R2 h .52.12 300 cm3 Nhận xét: Để xác định đúng chiều cao và bán kính đáy của hình trụ trong ví dụ này, ta dựa vào mặt cắt ABCD . Từ số đo diện tích là 96cm2 và AB 8cm , ta tìm ra chiều cao. Từ khoảng cách OH 3cm ta tìm được bán kính nhờ định lí Py-ta-go. Ví dụ 4. Một hình trụ có diện tích toàn phần bằng 432 cm2 và chiều cao bằng 5 lần bán kính đáy. Chứng minh rằng diện tích xung quanh bằng 10 lần diện tích đáy. Giải Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là R và h . Vì chiều cao bằng 5 lần bán kính đáy và diện tích toàn phần bằng 432 cm2 nên ta có hệ h 5.R (1) phương trình: 2 R h R 432 (2) Giải hệ này bằng phương pháp thế: Thế h 5R vào phương trình (2) ta được: 2 R 5R R 432 R2 36 R 6 . Giá trị R 6 bị loại. R 6 Vậy h 30 2 Diện tích xung quanh của hình trụ là: Sxq 2 Rh 2. .6.30 360 cm . Diện tích đáy của hình trụ là: S R2 .62 36 cm2 .
4. S 360 Ta thấy: xq 10 (lần). S 36 Do đó diện tích xung quanh gấp 10 lần diện tích đáy. Ví dụ 5. Cho hình trụ có bán kính đáy là 10cm và diện tích xung quanh là 420 cm2 . Vẽ một đường sinh PQ cố định. Lấy điểm M trên đường tròn đáy, có chứa điểm Q . Xác định vị trí của điểm M để PM lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó. Giải Gọi bán kính hình trụ là R và chiều cao hình trụ là h . S 420 Ta có: S 2 Rh suy ra h xq 21 cm . xq 2 R 2 .10 Ta có PQ là đường sinh nên PQ 21cm và PQ vuông góc với mặt phẳng đáy. Suy ra PQ  QM . Xét VPQM vuông tại Q , ta có: PM 2 PQ2 QM 2 212 QM 2 441 QM 2 . Do đó PM lớn nhất QM lớn nhất QM là đường kính QM 20cm . Vậy max PM 441 400 841 29 cm khi QM là đường kính của đường tròn đáy. Lưu ý : Trong hình trụ, đường sinh vuông góc với đáy nên vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong đáy, do đó PQ  QM . Ví dụ 6. Một hình trụ có thể tích là V m3 và diện tích toàn phần là S m2 . Gọi R là bán kính V 1 1 1 đáy hình trụ và h là chiều cao của nó. Biết thương bằng m , chứng minh rằng 1. S 2 h R Giải V 1 Ta có:V R2 h; S 2 R h R . Theo đề bài ta có: . S 2 R2 h 1 R h 1 1 Suy ra Rh R h 1 1. 2 R h R 2 Rh h R C. Bài tập vận dụng • Tính diện tích:
5. 23.1. Cho hình trụ có bán kính đáy là 16cm và chiều cao bằng 30cm . Cắt hình trụ này bởi một mặt phẳng chứa trục hoặc song song với trục. Tính diện tích lớn nhất của mặt cắt. 23.2. Mặt cắt chứa trục của một hình trụ là một hình vuông. Hình trụ này có số đo diện tích xung quanh (tính bằng m2 ), đúng bằng số đo thể tích (tính bằng m3 ). Tính diện tích xung quanh của hình trụ này. 2 23.3. Một hình trụ có bán kính đáy bằng chiều cao. Cắt hình trụ này bằng một mặt phẳng 5 chứa trục ta được một mặt cắt có diện tích là 80cm2 . Tính diện tích toàn phần của hình trụ. 3 23.4. Một hình trụ có chiều cao bằng đường kính đáy. Biết thể tích của nó là 768 cm3 . Tính 4 diện tích xung quanh của hình trụ. 23.5. Một hộp bánh hình trụ có chiều cao nhỏ hơn bán kính đáy là 1,5cm . Biết thể tích của hộp là 850 cm3 , tính diện tích vỏ hộp. • Tính thể tích: 23.6. Một hình trụ có diện tích toàn phần gấp hai lần diện tích xung quanh. Biết bán kính đáy hình trụ là 6cm . Tính thể tích hình trụ. 23.7. Một chậu hình trụ cao 20cm . Diện tích đáy bằng nửa diện tích xung quanh. Trong chậu có nước cao đến 15cm . Hỏi phải thêm bao nhiêu nước vào chậu để nước vừa đầy chậu? 23.8. Một hình trụ có thể tích là 200cm3 . Giảm bán kính đáy đi hai lần và tăng chiều cao lên hai lần ta được một hình trụ mới. Tính thể tích của hình trụ này. 23.9. Một hình chữ nhật có chu vi và diện tích theo thứ tự là 28cm và 48cm2 . Quay hình chữ nhật này một vòng quanh một cạnh cố định để được một hình trụ. Tính thể tích lớn nhất của hình trụ này. 23.10. Một viên than tổ ong có dạng hình trụ, đường kính đáy là 114mm , chiều cao là 100mm . Viên than này có 19 lỗ “tổ ong” hình trụ có trục song song với trục của viên than, mỗi lỗ có đường kính 12mm . Tính thể tích nhiên liệu đã được nén của mỗi viên than (làm tròn đến cm3 ). 23.11. Một cây gỗ hình trụ có đường kính đáy là 4dm và dài 5m . Từ cây gỗ này người ta xẻ thành một cây cột hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông lớn nhất. Tính thể tích phần gỗ bị loại bỏ đi. 23.12. Hai mặt của một cổng vòm thành cổ có dạng hình chữ nhật, phía trên là một nửa hình tròn có đường kính bằng chiều rộng của cổng. Biết chiều rộng của cổng là 3,2m , chiều cao của cổng
6. (phần hình chữ nhật) bằng 2,8m và chiều sâu của cổng bằng 3,0m . Tính thể tích phần không gian bên trong cổng (làm tròn đến phần mười m3 ). 23.13. Một hình lăng trụ đứng có đáy là một tam giác vuông, hai cạnh góc vuông dài 12cm và 5cm . Biết thể tích hình lăng trụ đứng này là 90cm3 , tính thể tích hình trụ nội tiếp hình lăng trụ nói trên. • Tính độ dài, tính tỉ số: 23.14. Một hình trụ có thể tích bằng 125 cm3 . Biết diện tích xung quanh bằng hai lần diện tích đáy. Tính bán kính đáy và chiều cao của hình trụ này. 23.15. Hình bên vẽ một hình trụ, bán kính đáy 9cm , chiều cao 24cm . Biết AB và CD là hai đường sinh sao cho ·AOC 1280 . Điểm K trên CD sao cho CK 4cm . Một con kiến bò từ B đến K . Tính độ dài ngắn nhất mà kiến phải bò (làm tròn kết quả đến cm ). 23.16. Hình bên vẽ một hình trụ nội tiếp trong một hình hộp chữ nhật. Chứng minh rằng tỉ số giữa thể tích của hình trụ với thể tích hình hộp chữ nhật đúng bằng tỉ số giữa diện tích xung quanh của hình trụ với diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật. HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ 23.1. Khi cắt hình trụ bởi một mặt phẳng chứa trục hoặc song song với trục thì mặt cắt là một hình chữ nhật. Diện tích mặt cắt là : S AB.AD 30.AB cm2 S lớn nhất AB lớn nhất. AB là đường kính AB 32cm. Khi đó max S 30.32 960 cm2 . 23.2.
7. Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là R và h . 2 2 3 Ta có: Sxq 2 Rh m ; V R h m . Theo đề bài các số đo của Sxq và V bằng nhau nên 2 Rh R2 h R 2 m Vì mặt cắt chứa trục là hình vuông nên h 2R 4 m . 2 Do đó: Sxq 2 Rh 2. .2.4 16 cm Lưu ý: Vì mặt cắt chứa trục là hình vuông nên đường sinh bằng đường kính đáy. 23.3. Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là R và h . Mặt cắt chứa trục là một hình chữ nhật có một cạnh là 2R và cạnh kề là h . 2 R h (1) Theo các điều kiện trong đề bài ta có: 5 2R.h 80 (2) 2 Thế R từ (1) vào (2) ta được: 2. h.h 80 hay 4h2 400 h 10. 5 Giá trị h 10 bị loại. Vậy chiều cao của hình trụ là 10cm . 2 Bán kính đáy là R 10. 4 cm . 5 2 Diện tích toàn phần của hình trụ là: Stp 2 R h R 2 .4 10 4 112 cm . 23.4. Gọi bán kính đáy và chiều cao hình trụ lần lượt là R và h . 3 3 Vì chiều cao bằng đường kính nên chiều cao bằng bán kính đáy. 4 2 3 Vậy h R . 2 3 3 3 Ta có V R2 h mà h R nên V R2 . R R3 . 2 2 2 3 Theo đề bài ta có: R3 768 R3 512 R 3 512 8 cm 2 3 Vậy h 8. 12 cm . 2 2 Do đó diện tích xung quanh của hình trụ là: Sxq 2 Rh 2. .8.12 192 cm . 23.5. *Tìm hướng giải Diện tích vỏ hộp chính là diện tích toàn phần của hình trụ. Tìm được bán kính đáy sẽ tìm được chiều cao do đó sẽ tìm được diện tích toàn phần.
8. *Trình bày lời giải Gọi R và h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hộp bánh hình trụ. Ta có: h R 1,5. Vì thể tích của hộp là 850 cm3 nên R2 h 850 . Suy ra R2 R 1,5 850 R3 1,5R2 850 0 2R3 3R2 1700 0 2R3 20R2 17R2 170R 170R 1700 0 2R2 R 10 17R R 10 170 R 10 0 R 10 2R2 17R 170 0 R 10 0 (1) 2 2R 17R 170 0 (2) Phương trình (1) có nghiệm R 10 (thỏa mãn). Phương trình (2) vô nghiệm. Vậy bán kính đáy hộp là 10cm Chiều cao của hộp là: 10 1,5 8,5 cm Diện tích vỏ hộp là : S 2 R h R 2. .10 8,5 10 370 cm2 23.6. Gọi bán kính đáy hình trụ là R và chiều cao hình trụ đó là h . Vì diện tích toàn phần bằng hai lần diện tích xung quanh nên 2 Rh 2 R2 4 Rh Suy ra 2 R2 2 Rh R h 6cm . Thể tích của hình trụ là: V R2 h .62.6 216 cm3 23.7. Gọi R là bán kính đáy chậu và h là chiều cao của chậu. 1 Vì diện tích đáy bằng nửa diện tích xung quanh nên R2 .2 Rh 2 R h 20cm . Thể tích của chậu là: V R2 h .202.20 8000 cm3 2 2 3 Thể tích nước trong chậu là: V1 R h .20 .15 6000 cm 3 Thể tích nước phải thêm vào chậu là: V2 V V1 8000 6000 2000 cm . 23.8. Gọi bán kính đáy và chiều cao hình trụ lần lượt là R và h . 2 Thể tích của hình trụ này là: V1 R h
9. R Nếu giảm bán kính đáy đi hai lần và tăng chiều cao lên hai lần thì bán kính đáy là và 2 chiều cao là 2h . 2 2 R R h 200 3 Thể tích hình trụ về sau là: V2 . . 2h 100 cm . 2 2 2 23.9. Gọi độ dài hai cạnh kề của hình chữ nhật là x và y x y 0 . x y 14 x 8 Theo đề bài ta có : xy 48 y 6 Quay hình chữ nhật một vòng quanh cạnh 8cm thì được một hình trụ có chiều cao là 8cm 2 2 3 và bán kính đáy là 6cm . Thể tích của hình trụ này là : V1 R1 h1 .6 .8 288 cm Quay hình chữ nhật một vòng quanh cạnh 6cm thì được một hình trụ có chiều cao là 6cm 2 2 3 và bán kính đáy là 8cm . Thể tích của hình trụ này là : V2 R2 h2 .8 .6 384 cm Vì 384 288 nên thể tích lớn nhất của hình trụ này là 384 cm3 . Nhận xét : Khi quay hình chữ nhật một vòng quanh cạnh ngắn thì được một hình trụ có thể tích lớn hơn thể tích hình trụ tạo thành khi quay theo cạnh dài. 2 2 3 3 23.10. Thể tích viên than (kể cả 19 lỗ) là: V1 R1 h .57 .100 1020186 mm 1020 cm 2 2 3 3 Thể tích 19 lỗ “tổ ong” là : V2 19 R2 h 19. .6 .100 214776 mm 215 cm . 3 Thể tích nhiên liệu đã được nén của mỗi viên than là: V V1 V2 1020 215 805 cm 23.11. Thể tích cây gỗ hình trụ là: 2 2 3 V1 R h 3,14.2 .50 628 dm Diện tích đáy hình vuông của hình lăng trụ đứng là: AC 2 42 S AB2 8 dm2 2 2 3 Thể tích hình lăng trụ đứng là: V2 S.h 8.50 400 dm . Thể tích phần gỗ bị loại bỏ đi là: 3 V V1 V2 628 400 228 dm . 23.12. Phần không gian bên trong cổng gồm một hình hộp chữ nhật và một nửa hình trụ. 3 Thể tích phần hình hộp chữ nhật là: V1 3,2.2,8.3,0 26,9 m
10. 1 2 1 2 3 Thể tích phần nửa hình trụ là: V2 . .R .h .3,14. 1,6 .3,0 12,1 m 2 2 Thể tích phần không gian bên trong cổng là: 3 V V1 V2 26,9 12,1 39,0 m . 23.13. Xét đáy của hình lăng trụ đứng là tam giác ABC vuông tại A . Ta có AB 12cm, AC 5cm, BC 122 52 13 cm 12 5 13 Nửa chu vi của tam giác là : P 15 cm 2 1 1 2 Diện tích tam giác ABC là : S1 .AB.AC .12.5 30 cm 2 2 Diện tích tam giác ABC còn được tính theo công thức : S1 pr ( r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác). S 30 Suy ra r 1 2 cm p 15 Gọi h là chiều cao của hình lăng trụ đứng (cũng là chiều cao của hình trụ). 3 Ta có thể tích của hình lăng trụ đứng là : V1 S1.h 30h cm 2 3 Thể tích của hình trụ là : V2 r h 4rh cm V1 30h 90 30 3 Vậy V2 12 cm V2 4 h V2 4 Vậy thể tích hình trụ nội tiếp là 12 cm3 . 23.14. Gọi R và h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ. Vì diện tích xung quanh bằng hai lần diện tích đáy nên ta có : 2 Rh 2 R2 h R Theo đề bài, thể tích hình trụ bằng 125 cm3 nên R2h 125 . Suy ra R3 125 (vì h R ). Do đó : R3 125 R 5cm Vậy h 5cm . 23.15. Gọi bán kính hình trụ là R . Độ dài của cung nhỏ AC là: Rn 3,14.9.128 l 20,096 20 cm 180 180
11. Cắt mặt xung quanh của hình trụ theo đường sinh AB rồi trải phẳng ra ta được một hình chữ nhật (h.23.12). BK trên mặt xung quanh của hình trụ có dạng cong nhưng sau khi trải phẳng ra ta được đoạn thẳng BK . Xét VHBK vuông tại H ta có : BK 2 BH 2 HK 2 202 202 800 Do đó : BK 800 28cm Vậy độ dài ngắn nhất mà kiến phải bò là 28cm . 23.16. Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là R và h . Khi đó hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh 2R và chiều cao là h . 2 Thể tích hình trụ là: V1 R h . 2 2 Thể tích hình hộp chữ nhật là: V2 2R h 4R h . Diện tích xung quanh của hình trụ là: S1 2 Rh . Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật là: S2 8Rh . 2 V1 R h Ta có : 2 (1) V2 4R h 4 S 2 Rh 1 (2) S2 8Rh 4 V S Từ (1) và (2) suy ra 1 1 . V2 S2 Nhận xét : Ta còn có thể chứng minh được tỉ số giữa diện tích toàn phần của hình trụ với diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật cũng bằng . 4 Thật vậy : Diện tích toàn phần của hình trụ là : S3 2 R h R . 2 Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là: S4 8Rh 2 2R 8R h R S 2 R h R Do đó : 3 . S4 8R h R 4