Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Hình học - Chuyên đề 24: Hình nón

Nội dung text: Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Hình học - Chuyên đề 24: Hình nón

1. CHƯƠNG Chuyên đề 24. HÌNH NÓN A. Kiến thức cần nhớ 1. Hình nón Khi quay tam giác vuông AOB một vòng quanh cạnh góc vuông OA cố định ta được một hình nón: - Đáy là hình tròn O bán kính OB. - Mặt xung quanh do cạnh OB quét nên. Mỗi vị trí của OB gọi là một đường sinh. - A gọi là đỉnh; AO là đường cao. 2. Diện tích xung quanh của hình nón Sxq Rl ; 2 Stp Rl R hay Stp R l R (R là bán kính đáy; l là đường sinh). 3. Thể tích hình nón 1 V R2h (h là chiều cao). 3 4. Hình nón cụt Cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy thì phần mặt phẳng nằm trong hình nón là một hình tròn. Phần hình nón nằm giữa mặt phẳng nói trên và mặt phẳng đáy được gọi là hình nón cụt. 5. Diện tích xung quanh và thể tích hình nón cụt 1 2 2 Sxq R1 R2 l ; V h R1 R2 R1R2 3 ( R1 , R2 : là các bán kính; 1 là đường sinh; h là chiều cao). B. Một số ví dụ
2. Ví dụ 1. Một hình nón có đường cao bằng 24cm và thể tích bằng 800 cm3 . Tính diện tích toàn phần của hình nón này. Giải Gọi R là bán kính đáy và h là chiều cao của hình nón. 1 3V 3.800 Ta có V R2h . Suy ra R2 100 cm2 3 h .24 Do đó R 10 cm . Vậy bán kính đáy hình nón là 10 cm. Đường sinh của hình nón này là: SB SO2 OB2 242 102 26 cm . 2 Diện tích toàn phần của hình nón là: Stp R 1 R .10 26 10 360 cm . Nhận xét: Mấu chốt trong bài toán này là tìm được bán kính đáy, từ đó tính được đường sinh và do đó tính được diện tích toàn phần của hình nón. Ví dụ 2. Mặt cắt chứa trục của một hình nón là một tam giác đều có diện tích là 9 3 cm2 . Tính thể tích của hình nón đó. Giải * Tìm hướng giải Để tính thể tích hình nón ta cần biết bán kính đáy và chiều cao của nó. Vì mặt cắt chứa trục là một tam giác đều nên nếu biết cạnh của tam giác đều là tính được tất cả. * Trình bày lời giải Gọi mặt cắt là tam giác đều ABC. a Ta đặt AB AC BC a thì bán kính đáy hình nón là R và chiều cao 2 a 3 hình nón là h . 2 Vì diện tích của tam giác đều là 9 3 cm2 nên ta có: a2 3 9 3 a2 36 a 6 cm 4 6 3 Vậy bán kính đáy là R 3cm và chiều cao hình nón là h 3 3 cm . 2 1 1 Thể tích của hình nón là V R2h .32.3 3 9 3 cm3 . 3 3
3. Ví dụ 3. Khai triển một hình nón theo một đường sinh rồi trải phẳng ra ta được một hình quạt tròn có bán kính 10 cm và có diện tích là 60 cm2 . a) Tính số đo cung của hình quạt; b) Tính số đo nửa góc ở đỉnh của hình nón. Giải a) Gọi số đo của cung hình quạt là n°. Vì diện tích hình quạt là 60 cm2 nên AC 2n 60.360 60 n 216 (độ). 360 102 b) Vì diện tích xung quanh hình nón là 60 cm2 nên 60 .HC.AC 60 HC 6 cm . 10 Gọi là số đo nửa góc ở đỉnh của hình nón. HC 6 Ta có sin 0,6 sin 3652 . Do đó 3652 . AC 10 Ví dụ 4. Cho tam giác vuông tại A, AB 12cm , AC 16cm . Quay tam giác này một vòng quanh cạnh BC. Tính diện tích toàn phần của hình tạo thành. Giải Tam giác ABC vuông tại A, AB 12cm , AC 16cm BC 122 162 20 cm Vẽ AH  BC . Ta có AH.BC AB.AC 12.16 AH 9,6 cm . 20 Khi quay ABC một vòng quanh cạnh BC cố định thì hình tạo thành gồm hai hình nón chung đáy, bán kính là 9,6cm. Diện tích toàn phần của hình tạo thành là: 2 Stp .AH. AB AC .9,6. 12 16 268,8 cm Nhận xét: Khi quay một tam giác vuông quanh một cạnh cố định thì hình tạo thành phụ thuộc vào trục quay. - Nếu quay theo một cạnh góc vuông thì hình tạo thành là một hình nón. - Nếu quay theo cạnh huyền thì hình tạo thành là hai hình nón chung đáy.
4. Ví dụ 5. Một hình nón cụt có các bán kính đáy là 21cm và 49cm. Biết diện tích xung quanh của nó là 3710 cm2 , tính thể tích của hình nón cụt. Giải Gọi mặt cắt chứa trục của hình nón cụt là hình thang cân ABCD. Trong mặt phẳng này vẽ BH  CD . Ta đặt O B R1 ; OC R2 ; OO h và BC l . Ta có BH OO h ; HC R2 R1 49 21 28 cm . Vì diện tích xung quanh của hình nón cụt là 3710 cm2 nên R1 R2 l 3710 . 3710 Suy ra l 53 cm . 21 49 Xét BHC vuông tại H, ta có: BH BC 2 HC 2 532 282 45 cm . Thể tích của hình nón cụt là: 1 2 2 1 2 2 3 V .h R1 R2 R1R2 .45 21 49 21.49 58065 cm 3 3 Nhận xét: Việc vẽ BH  CD giúp ta gắn kết được các bán kính của hình nón cụt, đường sinh, chiều cao của nó vào một tam giác vuông. Nhờ định lí Py-ta-go ta có thể giải quyết được vấn đề. Ví dụ 6. Một hình nón có bán kính đáy bằng 6cm, chiều cao bằng trung bình cộng của bán kính đáy và đường sinh. Chứng minh rằng hình nón này có số đo diện tích toàn phần (tính bằng cm2 ) đúng bằng số đo thể tích (tính bằng cm3 ). Giải Gọi R là bán kính đáy, h là chiểu cao và l là đường sinh của hình nón. R 1 Ta có R 6cm , h l 2h 6 . 2 Mặt khác l h2 R2 . Suy ra 2h 6 h2 R2 h 3 . Bình phương hai vế ta có: 4h2 24h 36 h2 36 h 0 loaïi 3h2 24h 0 3h h 8 0 h 8 choïn
5. Vậy chiều cao của hình nón là 8cm; đường sinh bằng 2.8 6 10 cm . 2 Diện tích toàn phần của hình nón là: St p R l R .6 10 6 96 cm . 1 1 Thể tích của hình nón là: V R2h .62.8 96 cm3 . 3 3 Vậy số đo diện tích toàn phần tính bằng cm2 đúng bằng số đo thể tích tính bằng cm3 . C. Bài tập vận dụng • Tính diện tích 24.1. Một hình nón có đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh a. Biết chiều cao của hình nón a bằng 6 . Tính diện tích toàn phần của hình nón. 3 24.2. Một hình nón đỉnh S có bán kính đáy bằng 9cm và chiều cao SO 21,6cm . Cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy tạo ra một hình nón cụt có chiều cao 12cm. Tính diện tích xung quanh của hình nón cụt. 24.3. Một xô bằng tôn có các bán kính đáy là 17cm và 10 cm, chiều cao 24cm. Tính diện tích tôn để làm xô. 24.4. Cho hình thang ABCD, µA Dµ 90; AB AD a , CD 2a . Quay hình thang vuông này một vòng quanh cạnh CD cố định ta được một hình. Tính diện tích toàn phần của hình đó. • Tính thể tích 24.5. Một hình nón có diện tích đáy bằng 144 cm2 và diện tích toàn phần bằng 588 cm2 . Tính thể tích hình nón. 1 24.6. Một chiếc cốc hình nón đựng rượu đến chiều cao của cốc. Biết thể tích của rượu trong cốc 3 là 2cm3 . Tính thể tích của cốc. 24.7. Từ một tấm tôn hình quạt tròn bán kính 37cm và góc ở tâm là 117°, người ta cuốn và hàn lại thành mặt xung quanh của một hình nón. Hỏi hình nón (không đáy) này có thể chứa được 5kg nước không? 24.8. Cắt hình nón cụt bằng một mặt phẳng chứa trục ta được một hình thang cân có góc ở đáy bằng 45° và độ dài đáy lớn gấp đôi độ dài đáy nhỏ. Biết diện tích mặt cắt này là 27cm2 . Tính thể tích hình nón cụt. 24.9. Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AH. Biết AH 24cm , AB 25cm , AC 26cm . Quay hình tam giác này một vòng quanh cạnh BC cố định. Tính thể tích của hình tạo thành.
6. 24.10. Tam giác ABC có góc C tù, AB 15cm , AC 13cm , đường cao AH 12cm . Quay tam giác này một vòng quanh cạnh BC cố định. Tính thể tích của hình tạo thành. • Tính độ dài, tính tỉ số 24.11. Một đống cát hình nón có chu vi đáy là 12,56m. Người ta dùng xe cải tiến để chở đống cát đó đi 10 chuyến thì hết. Biết mỗi chuyến chở được 250dm3 . Tính chiều cao của đống cát (làm tròn đến dm). 24.12. Một hình nón có bán kính đáy 30cm. Một mặt phẳng P song song với đáy cắt hình nón 1 thành hai phần: một hình nón nhỏ và một hình nón cụt có tỉ số thể tích là . Tính bán kính đáy 26 của hình nón nhỏ. 24.13. Một chao đèn có dạng mặt xung quanh của một hình nón cụt. Các bán kính đáy lần lượt là 2 R1 5cm ; R2 13cm . Biết diện tích xung quanh của chao đèn là 306 cm . Tính chiều cao của chao đèn. 24.14. Một hình nón có mặt cắt chứa trục là một tam giác đều. Chứng minh rằng diện tích xung quanh bằng hai lần diện tích đáy. 24.15. Cho tam giác AOB vuông tại O, OA a , OB b . Quay tam giác vuông này một vòng lần lượt quanh cạnh OA, OB cố định ta được một hình nón đỉnh A và một hình nón đỉnh B. Chứng minh rằng tỉ số thể tích của hai hình nón bằng tỉ số diện tích xung quanh của hai hình nón ấy. 24.16. Cho một hình nón đỉnh A, đáy là hình tròn O;5cm và đường sinh AB 12cm . Gọi AC là một đường sinh sao cho B· OC 120 . Khai triển mặt xung quanh của hình nón theo đường sinh AB ta được một hình quạt. a) Tính số đo cung của hình quạt này; b) Tính quãng đường ngắn nhất mà một con kiến bò trên mặt xung quanh của hình nón từ B đến c. HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ 24.1. Bán kính đáy hình nón chính là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. a a a 3 Ta có R 180 2sin 2sin 60 3 n
7. Xét SOA vuông tại O ta có 2 2 2 2 2 a a 3 SA SO OA 6 3 3 SA2 a2 SA a . Diện tích toàn phần của hình nón là: a 3 a 3 a2 S R l R a 3 1 tp 3 3 3 24.2. * Tìm hướng giải Để tìm diện tích xung quanh của hình nón cụt, cần biết các bán kính đáy và đường sinh. Có thể tính được bán kính còn lại nhờ định lí Ta- lét. Có thể tính được độ dài đường sinh nhờ định lí Py-ta-go. * Trình bày lời giải Xét mặt cắt qua trục của hình nón là SAB cân tại S. Trong mặt phẳng SAB có O C//OB . O C SO Theo định lí Ta-lét ta có . OB SO O C 9,6 Do đó O C 4 cm . 9 21,6 Trong mặt phẳng SAB vẽCH  AB , ta được: CH OO 12cm , BH 9 4 5 cm . Suy ra BC 122 52 13 cm . Diện tích xung quanh của hình nón cụt là: 2 Sxq R1 R2 l 9 4 .13 169 cm . 24.3. Xét mặt cắt qua trục của hình nón cụt, đó là hình thang cân ABCD. Trong mặt phẳng này ta vẽ CH  AB . Ta có CH OO 24cm ; O H OC 10cm ; BH O B O H 7cm . Suy ra BC 242 72 25 cm . Diện tích xung quanh của xô là:
8. 2 Sxq R1 R2 l 17 10 .25 675 cm . 2 2 Diện tích đáy xô là: S ñaùy .10 100 cm . Vậy diện tích tôn đê làm xô là: 675 100 775 cm2 . 24.4. Vẽ BH  CD ta được: BH AD a ; DH AB a ; CH 2a a a ; BC a 2 . Khi quay hình vuông ABCD một vòng quanh cạnh CD cố định ta được một hình trụ và một hình nón chung đáy. Diện tích toàn phần của hình tạo thành gồm diện tích xung quanh S1 của hình nón, diện tích xung quanh S2 của hình trụ và diện tích một đáy S3 của hình trụ. Vậy diện tích toàn phần cần tìm là: 2 2 S S1 S2 S3 a.a 2 2 a.a a a 2 3 (đvdt). 24.5. Gọi R là bán kính đáy hình nón và l là đường sinh của nó. Ta có R2 144 R 12 cm Diện tích xung quanh của hình nón là: 2 Sxq 588 144 444 cm . 444 Suy ra Rl 444 l 37 cm . .12 Chiều cao của hình nón là: SO 372 122 35 cm . Thể tích của hình nón là: 1 1 V R2h .122.35 1680 cm3 3 3 24.6. Phần rượu trong cốc có dạng hình nón.
9. Gọi r là bán kính đáy của phần rượu hình nón trong cốc. Suy ra bán kính miệng cốc là 3r (do định lí Ta-lét). 1 Thể tích phần rượu trong cốc là: V r 2h . 1 3 Thể tích của cốc là: 1 2 1 V 3r . 3h .27r 2h 2 3 3 1 r 2h V 1 Do đó 1 3 V 1 2 27 2 .27r h 3 2 1 3 Suy ra V2 54(cm ). V2 27 Vậy thể tích của cốc là 54cm3 24.7. Độ dài cung BB của hình quạt tròn là: .37.117 24 cm 180 Độ dài cung này chính là độ dài đường tròn đáy của hình nón. Gọi R là bán kính đáy hình nón. Ta có 2 R 24 R 12 cm . Xét SOB vuông tại O, ta có: SO SB2 OB2 372 122 35 cm . Vậy chiều cao của hình nón là 35cm. Thể tích của hình nón là 1 1 V R2h .122.35 1680 cm3 5275cm3 5dm3 . 3 3 Thể tích của 5kg nước là 5dm3 . Vậy hình nón được tạo ra có thể chứa được 5kg nước. 24.8. Gọi mặt cắt chứa trục là hình thang cân ABCD. Đặt O B a thì OC 2a .
10. Vẽ BH  OC ta được OH O B a và HC a . Tam giác HBC vuông cân nên BH HC a và BC a 2 . Diện tích hình thang cân ABCD là: AB CD .BH 2a 4a .a S 3a2 2 2 Theo đề bài ta có: 3a2 27 a 3 cm . 1 2 2 Thế tích cùa hình nón cụt là: V h R1 R2 R1R2 3 1 7 7 . .a a2 4a2 2a2 a3 . .33 63 cm3 3 3 3 24.9. Xét các tam giác vuông ABH và ACH vuông tại H, ta có: HB 252 242 7 cm ; HC 262 242 10 cm . Khi quay tam giác ABC một vòng quanh cạnh BC cố định ta được hai hình nón chung đáy có bán kính đáy là 24cm và các chiều cao lần lượt là 7cm và 10 cm. Thể tích của hình tạo thành bằng tổng thể tích của hai hình nón. 1 1 V V V R2h R2h 1 2 3 1 3 2 1 .242 7 10 3264 cm3 3 24.10. Tam giác ABC có góc C tù nên đường cao AH nằm ngoài tam giác. Điểm H nằm trên tia đối của tia CB. Xét các tam giác ABH và ACH vuông tại H, ta có: HB 152 122 9 cm ; HC 132 122 5 cm .
11. Khi quay tam giác ABC một vòng quanh cạnh BC cố định ta được hai hình nón chung đáy, bán kính đáy 12cm, chiều cao của hình nón đỉnh B là 9cm, chiều cao của hình nón đỉnh C là 5cm với đỉnh C nằm trong hình nón đỉnh B. Thể tích của hình tạo thành bằng hiệu các thể tích của hình nón đỉnh B và đỉnh C. 1 1 V V V .122.BH .122.CH 1 2 3 3 1 1 .144 BH CH .144.4 192 cm3 3 3 Nhận xét: Hai bài 24.9 và 24.10 được giải theo cùng một phương pháp. Đó là: Tính các hình chiếu của hai cạnh tam giác trên trục quay rồi tính tổng hay hiệu các thể tích của hai hình nón. 24.1. Gọi R là bán kính đáy đống cát và h là chiều cao của đống cát. Vì chu vi đáy đống cát là 12,56m nên 2 R 12,56 12,56 R 2,0 cm 2. Thể tích của đống cát là: V 250 20 5000 dm3 5 m3 . 1 3V 3,5 Ta có V R2h h 1,2 m 3 R2 .22 24.12. Gọi mặt cắt chứa trục của hình nón là tam giác ABC cân tại A. Gọi DE là đường kính của hình tròn O , DE//BC . Ta đặt O D R1 , OC R2 , AO h1 , AO h2 . 1 Thể tích của hình nón nhỏ là: V R2h . 1 3 1 1 1 Thể tích của hình nón lớn là: V R2h . 2 3 2 2 Vì tỉ số thể tích của hình nón nhỏ và hình nón cụt là 1: 26 nên tỉ số thể tích của hình nón nhỏ và hình nón lớn là 1: 27 . 1 2 R1 h1 2 V1 1 3 1 R1 h1 1 Ta có do đó hay 2 1 V 27 1 2 27 R h 27 2 R h 2 2 3 2 2 h R Theo định lý Ta-lét ta có 1 1 2 h2 R2
12. 3 R1 1 Từ 1 và 2 suy ra 3 R2 27 R3 303 Do đó R3 2 1000 R 3 1000 10 cm . 1 27 27 1 Vậy bán kính đáy của hình nón nhỏ là 10cm. 24.13. Gọi mặt cắt chứa trục của chao đèn là hình thang cân ABCD. Chiều cao OO h và đường sinh BC l . Vì diện tích xung quanh của chao đèn là 306 cm2 nên ta có R1 R2 .l 306 5 13 .l 306 l 17 cm . Trong mặt phẳng ABCD ta vẽ BH  CD . Ta có BH OO h ; OH O B R1 , do đó HC R2 R1 8cm . Xét BHC vuông tại C, ta có BH 2 BC 2 HC 2 172 82 15 cm . Vậy chiều cao của chao đèn là 15cm. 24.14. Gọi bán kính đáy hình nón là R và đường sinh hình nón là l. Vì mặt cắt chứa trục là tam giác đều ABC nên AB BC CA suy ra l 2R . 2 Ta có S ñaùy .R . 1 2 Sxq Rl R.2R 2 R 2 Từ 1 và 2 suy ra S xq 2S ñaùy 24.15. • Khi quay tam giác AOB một vòng quanh cạnh OA cố định ta được một hình nón đỉnh A có chiều cao là a bán kính đáy là b và đường sinh là a2 b2 . 1 Thể tích của hình nón này là: V b2a . 1 3 2 2 Diện tích xung quanh của nó là: S1 b a b .
13. • Khi quay tam giác AOB một vòng quanh cạnh OB cố định ta được một hình nón đỉnh B có chiều cao là b bán kính đáy là a và đường sinh là a2 b2 . 1 Thể tích của hình nón này là: V a2b . 2 3 2 2 Diện tích xung quanh của nó là: S2 a a b 1 2 b a 2 2 V b S b a b b Ta có 1 3 ; 1 V 1 2 a S 2 2 a 2 a b 2 a a b 3 V S Vậy 1 1 . V2 S2 V S Nhận xét: Gọi là nửa góc ở đỉnh của hình nón thì 1 1 tan . V2 S2 24.16. Độ dài đường tròn đáy của hình nón là: C 2 R 2 .5 10 cm Khi khai triển mặt xung quanh của hình nón theo đường sinh AB ta được một hình quạt tâm A bán kính 12cm và số đo cung BB là n°. Vì độ dài của cung tròn BB là 10 nên ta có: .12.n 10 n 150 . 180 120 1 sđ B»C 1 Vì nên 360 3 sđ B¼B 3 150 Suy ra sđ B»C 50. 2 Quãng đường ngắn nhất từ B đến C trên mặt xung quanh hình nón là quãng đường ngắn nhất từ B đến C trên hình quạt, đó là đoạn thẳng BC. Xét ABC có AB AC 12cm , µA 50 . Áp dụng định lí cô-sin ta có BC 2 AB2 AC 2 2AB.AC cos A 122 122 2.12.12.cos50 102,877
14. Do đó BC 10,1 cm . Vậy quãng đường ngắn nhất mà kiến phải bò là 10,1 cm.