Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Hình học - Chuyên đề 26: Thực tế hình học

Nội dung text: Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Hình học - Chuyên đề 26: Thực tế hình học

1. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế Hình Học CHUYÊN ĐỀ:CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ HÌNH HỌC §1. ĐỊNH LÍ PYTHAGORE VÀ NHỮNG ỨNG DỤNG TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ A. KIẾN THỨC LIÊN QUAN Định lí Pythagore là một trong những định lí quan trọng nhất trong tất cả các định lí khoa học nói chung và hình học nói riêng. Định lý Pythagore đơn giản nhưng rất lí thú. Nhiều nhà khoa học còn cam đoan rằng nếu có con người sống ở các hành tinh khác thì định lí hình học đầu tiên có giá trị mà họ tìm cũng sẽ chính là định lí Pythagore. Đã có dự án đề nghị xây dựng các công trình hoặc tường cây xanh tạo thành tam giác vuông có ba cạnh 3, 4 và 5 khổng lồ trên cánh đồng lớn để liên lạc với người ngoài Trái Đất. Ngày 08 tháng 09 năm 1977, hai tàu thăm dò Voyager của Mỹ được phóng lên vũ trụ mang theo hình vẽ biểu diễn định lí Pythagore. Pythagore là nhà hiền triết người Hy Lạp sống khoảng 500 năm trước công nguyên. Sau này người ta phát hiện ra rằng định lí Pythagore đã được biết đến trước đó từ rất lâu trong các nền văn minh cổ đại trên thế giới. Điển hình trong số đó là các nhà khảo cổ đã tìm thấy một bảng đất sét nung của nền văn minh Babilon hơn một nghìn năm trước Pythagore có một hình vẽ khác tam giác vuông có các cạnh thể hiện định lí này. Trong những văn tự Ấn Độ cổ đại khoảng 1500 năm trước Công nguyên có một phần quan trọng được gọi là Sulbasutras nói về việc b= a 2 đo đạc và thiết kế các đền thờ. Ở phần này có thể tìm thấy định lí Pythagore dưới dạng: Diện tích hình vuông có cạnh bằng cạnh a huyền một tam giác vuông bằng tổng diện tích hai hình vuông bằng tổng diện tích hai hình vuông có cạnh bằng hai cạnh bên của tam giác vuông đó. B. VÍ DỤ MINH HOẠ ỨNG DỤNG TOÁN HỌC VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ PHƯƠNG PHÁP GIẢI - Sử dụng công thức Pythagore để tìm cạnh góc vuông hoặc cạnh huyền từ hai cạnh còn lại: c2 = a2 + b2 (c là cạnh huyền, a,b là cạnh góc vuông). - Rút ra kết luận bài toán. Đỉnh cây Ví dụ 1 Từ đỉnh một cái cây có treo một cái dây thả xuống đất thì thừa một đoạn có độ dài là d . Nếu kéo căng dây ra thì đầu dây chạm c c đất ở một khoảng cách là b so với gốc cây. Hãy tìm độ dài của dây. Nếu cây có độ dài a thì có bài toán là tính độ dài c Gốc cây của cạnh huyền một tam giác vuông có cạnh bên là d b 1.ToanhocSodo (Toán học Sơ đồ)-Đt:0945943199
2. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế Hình Học a = c - d và b. Theo định lí Pythagore ta có: (c - d)2 + b2 = c2 . b2 + d2 Từ đây suy ra: c = . 2d Ngọn tre Ví dụ 2 Có một cây tre có độ cao là a . Khi gãy ngọn tre chạm đất ở một c khoảng cách là b so với gốc tre. Hãy tìm độ cao chỗ cây tre. Ta phải tính cạnh a của một tam giác vuông có cạnh bên d Chỗ gãy c là b và cạnh huyền là c = d - a . a Theo định lí Pythagore ta có: a2 + b2 = (d - a)2 . Gốc tre b d2 - b2 Từ đây suy ra: a = . 2d Ví dụ 3 Có một cái ao hình vuông, mỗi cạnh dài 3, 33m, chính giữa cái ao có một cây sậy nhô lên khỏi mặt nước vừa đúng 0, 33m, kéo ngọn cây sậy vào bờ thì chọn cây vừa chạm mặt nước. Hỏi độ sau của A nước và cây sậy cao bao nhiêu? c - b E D C a Giả sử chiều rộng của ao là ED = 2a = 3, 33 (m), C là trung điểm của ED nên: DC = a = 1, 665 (m). b c Chiều cao cây sậy mặt giữa ao là AB , phần nhô khỏi mặt nước AC = 0, 33 (m). Mà AB = BD , giả sử BD = c , độ sâu của nước BC = b , tam giác B BCD là tam giác vuông. Rõ ràng là AC = AB - BC = c - b = 0, 33 (m). Độ dài của AC bằng hiệu giữa đường huyền với cạnh dài của góc vuông. Vậy bài toán quy về việc tính chiều dài cạnh huyền và cạnh góc vuông lớn của một tam giác vuông khi biết cạnh góc vuông bé và hiệu giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông lớn. Từ định lí Pythagore, ta có: a2 = c2 - b2 a2 - (c - b)2 = c2 - b2 - (c - b)2 = c2 - b2 - (c2 - 2bc + b2) = 2bc - 2b2 = 2b(c - b) . Vì thế a2 - (c - b)2 b = (1) 2(c - b) c = b + (c - b) (2) 2.ToanhocSodo (Toán học Sơ đồ)-Đt:0945943199
3. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế Hình Học Đem giá trị của a,c - b thay vào hai công thức (1) và (2) sẽ dễ dàng tính được độ sâu của nước là: 1, 6652 - 0, 332 2, 772225- 0,1089 b = = » 4, 035 (m). 2.0, 33 0, 66 Độ cao của cây sậy là: c = 4, 035 + 0, 33 = 4, 365 (m). C. LỜI BÌNH Định lí Pythagore là một trong những định lí hình học nói riêng và khoa học nói chung có nhiều cách chứng minh nhất. Theo thống kê, đến nay đã có 385 cách giải. Nhiều chính trị gia lỗi lạc như Tổng thống Hoa kỳ James Garfiel cũng tham gia tìm cách chứng minh định lí này. Ở bậc học cao hơn, người ta có thể dùng Vật lí học để chứng minh định lí Pythagore. Định lí Pythagore còn xuất hiện trong các môn phi-Euclide, hình học giả Euclide, phương trình vi phân, Đại số tuyến tính, . Hầu như ở bất cứ lĩnh vực nào quan trọng người ta đều thấy bóng dáng của định lí Pythagore. Qua đó càng minh chứng tầm quan trọng của định lí Pythagore trong lĩnh vực khoa học và đời sống. D. BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài toán 1 Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp một tam giác có các cạnh là 50, 50, 60 . Bài toán 2 Dựng một hình vuông có diện tích bằng diện tích một hình chữ nhật cho trước. E. ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI Bài toán 1 A Theo định lí Pythagore, ta có: AD 2 = AC 2 - DC 2 . Do DC = BC : 2 = 30 , nên: O D AD = 502 - 302 = 40 . B C Ta lại có: OC 2 = DC 2 + (AD - OA)2 = DC 2 + AD 2 - 2AD.OC + OC 2 . 2 2 2 2 DC + AD 30 + 40 125 D C Do đó: OC 2 = = = . 2AD 2.40 4 Bài toán 2 M F Cho hình chữ nhật ABCD . Ta vẽ hình chữ vuông ABKH trong E W hình chữ nhật ABCD . Sau đó xác định các trung điểm E và M của DH và CK . H Dựng hình vuông AEFJ đi qua M . Lấy J làm tâm vẽ một đường tròn có bán kính JF cắt BM ở W . Hình vuông có cạnh bằng BW sẽ có diện tích bằng diện tích ABCD vì theo định lí Pythagore ta có: A B J BW 2 = JW 2 - BJ 2 = JF 2 - KM 2 3.ToanhocSodo (Toán học Sơ đồ)-Đt:0945943199
4. Chuyên đề Bài Toán Thực Tế Hình Học CHUYÊN ĐỀ:CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ HÌNH HỌC §1. ĐỊNH LÍ PYTHAGORE VÀ NHỮNG ỨNG DỤNG TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ A. KIẾN THỨC LIÊN QUAN Định lí Pythagore là một trong những định lí quan trọng nhất trong tất cả các định lí khoa học nói chung và hình học nói riêng. Định lý Pythagore đơn giản nhưng rất lí thú. Nhiều nhà khoa học còn cam đoan rằng nếu có con người sống ở các hành tinh khác thì định lí hình học đầu tiên có giá trị mà họ tìm cũng sẽ chính là định lí Pythagore. Đã có dự án đề nghị xây dựng các công trình hoặc tường cây xanh tạo thành tam giác vuông có ba cạnh 3, 4 và 5 khổng lồ trên cánh đồng lớn để liên lạc với người ngoài Trái Đất. Ngày 08 tháng 09 năm 1977, hai tàu thăm dò Voyager của Mỹ được phóng lên vũ trụ mang theo hình vẽ biểu diễn định lí Pythagore. Pythagore là nhà hiền triết người Hy Lạp sống khoảng 500 năm trước công nguyên. Sau này người ta phát hiện ra rằng định lí Pythagore đã được biết đến trước đó từ rất lâu trong các nền văn minh cổ đại trên thế giới. Điển hình trong số đó là các nhà khảo cổ đã tìm thấy một bảng đất sét nung của nền văn minh Babilon hơn một nghìn năm trước Pythagore có một hình vẽ khác tam giác vuông có các cạnh thể hiện định lí này. Trong những văn tự Ấn Độ cổ đại khoảng 1500 năm trước Công nguyên có một phần quan trọng được gọi là Sulbasutras nói về việc b= a 2 đo đạc và thiết kế các đền thờ. Ở phần này có thể tìm thấy định lí Pythagore dưới dạng: Diện tích hình vuông có cạnh bằng cạnh a huyền một tam giác vuông bằng tổng diện tích hai hình vuông bằng tổng diện tích hai hình vuông có cạnh bằng hai cạnh bên của tam giác vuông đó. B. VÍ DỤ MINH HOẠ ỨNG DỤNG TOÁN HỌC VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ PHƯƠNG PHÁP GIẢI - Sử dụng công thức Pythagore để tìm cạnh góc vuông hoặc cạnh huyền từ hai cạnh còn lại: c2 = a2 + b2 (c là cạnh huyền, a,b là cạnh góc vuông). - Rút ra kết luận bài toán. Đỉnh cây Ví dụ 1 Từ đỉnh một cái cây có treo một cái dây thả xuống đất thì thừa một đoạn có độ dài là d . Nếu kéo căng dây ra thì đầu dây chạm c c đất ở một khoảng cách là b so với gốc cây. Hãy tìm độ dài của dây. Nếu cây có độ dài a thì có bài toán là tính độ dài c Gốc cây của cạnh huyền một tam giác vuông có cạnh bên là d b 1.ToanhocSodo (Toán học Sơ đồ)-Đt:0945943199