Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Hình học - Chuyên đề 3: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Nội dung text: Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Hình học - Chuyên đề 3: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

1. CHUYÊN ĐỀ 3. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG A. Kiến thức cần nhớ 1. Định lí Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng: • Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề; • Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề Trong hình bên thì: b asin B a cosC;c asin C a cos B b c tan B c cot C;c b tan C bcot B 2. Giải tam giác vuông Là tìm tất cả các cạnh và góc của tam giác vuông B khi biết hai yếu tố của nó (trong đó ít nhất có một yếu tố về độ dài). B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, Bµ . Tính giá trị của để BH = 3CH. Giải Đặt AH = h. Xét ABH vuông tại H ta có: BH = AH.cot B = h.cot . Xét ACH vuông tại H ta có: CH = AH.cot C = AH.tan B = h.tan . 1 BH 3CH h.cot 3h.tan 3tan tan 1 3 tan2 tan tan 30 30 3 3 Nhận xét: Trong bài giải ta đã biểu diễn BH và CH theo AH và theo một tỉ số lượng giác của góc . Từ mối quan hệ giữa BH và CH ta tìm được giá trị của . Ví dụ 2. Giải tam giác ABC biết Bµ 35,Cµ 50 và đường cao AH = 5,0cm. Giải Ta phải tìm µA , AB, AC và BC. µA 180 Bµ Cµ 95
2. • Xét ABH vuông tại H ta có: AH 5,0 AH AB.sinB AB 8,7 cm sinB sin 35 BH AH.cotB 5,0.cot 35 7,1 cm • Xét ACH vuông tại H ta có: AH 5,0 AH AC.sin C AC 6,5 cm sin C sin 50 CH AH.cot C 5,0.cot 50 4,2 cm Do đó BC BH CH 7,1 4,2 11,3 cm Vậy µA 95; AB 8,7cm; AC 6,5cm; BC 11,3cm Lưu ý: Sau khi tính được AB và AC, có thể tính BH và CH theo AB và AC: BH AB.cos B;CH AC.cosC Tuy nhiên, ta nên tính BH và CH theo các số đo đã cho trong đề bài để kết quả được chính xác hơn. Ví dụ 3. Cho tam giác ABC, cạnh BC cố định. Biết BC = 4cm, AB + AC = 8cm. Tính giá trị lớn nhất của góc A. Giải Vẽ đường phân giác AD. Vẽ BH  AD và CK  AD. A A Xét ABH vuông tại H, ACK vuông tại K, ta có: BH AB.sin ;CK AC sin 2 2 A A Vậy BH CK AB AC sin 8sin 2 2 Mặt khác , BH CK BD CD BC 4 cm A A 1 nên 8sin 4 sin sin 30 2 2 2 µA Do đó 30 µA 60 2 vậy max µA 60 khi D, H, K trùng nhau ABC đểu.
3. Nhận xét: Nhờ có việc vẽ đường phân giác AD và các đường thẳng BH, CK cùng vuông góc với AD mà ta tìm được sự liên hệ giữa AB, AC với BH, CK; sự liên hệ giữa BH, CK với BC. Do đó giữa AB, AC và BC có sự liên hệ với nhau, từ đó tìm được số đo của góc A. Ví dụ 4. Chứng minh định lí côsin: Trong một tam giác nhọn, bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia trừ đi hai lần tích của hai cạnh ấy với côsin của góc xen giữa của chúng. Giải Vẽ đường cao BH. Xét HBC vuông tại H ta có: BC 2 HB2 HC 2 HB2 AC AH 2 HB2 AC 2 2AC.AH AH 2 HB2 AH 2 AC 2 2AC.AH AB2 AC 2 2AC.AH 1 Xét ABH vuông tại H ta có : AH = AB. cosA Thay vào (1) ta được BC 2 AB2 AC 2 2AC.AB.cosA Nhận xét: Trong một tam giác nhọn, nếu biết hai cạnh và góc xen giữa thì nhờ định lí côsin ta có thế tính được cạnh thứ ba. C. Bài tập vận dụng • Vận dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để chứng minh hoặc tính toán 3.1. Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng: a) AD.BE.CF = AB.BC.CA.sin A.sin B.sin C; b) AE.BF.CD = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C. Giải a) ACD vuông tại D, có AD = ACsin C. ABE vuông tại E, có BE = ABsin A. BCF vuông tại F, có CF = BCsin B. Suy ra AD.BE.CF = AB.BC.CA.sin A.sin B.sin C. b) ABE vuông tại E, có AE = ABcos A. BCF vuông tại F, có BF = BCcos B. ACD vuông tại D, có CD = ACcos C. Suy ra AE.BF.CD = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C.
4. 3.2. Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ các đường cao AA', BB', CC’. Chứng minh rằng: AB '.BC '.CA' A' B.B 'C.C ' A AB.BC.CA.cos A.cos B.cosC Giải ABB' vuông tại B', có AB' = ABcos A. BCC’ vuông tại C', có BC' = BCcos B. CAA' vuông tại A', có CA' = ACcos C. Suy ra AB'.BC'.CA' = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C. Chứng minh tương tự ta được: A'B.B'C.C'A = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C. Do đó AB’.BC’.CA' = A'B.B'C.C'A = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C. Nhận xét: Vì ba đường cao tam giác cùng đi qua một điểm nên nếu đề bài chỉ yêu cầu chứng minh A' B B 'C C ' A AB'.BC’.CA' = A'B.B'C.C’A thì theo định lí Xê-va ta có . . 1 từ đó suy ra ngay đpcm. A'C B ' A C 'B 3.3. Cho đường thẳng xy và điểm A cố định cách xy là 2cm. Gọi M là một điểm di động trên xy. Vẽ tam giác ABM vuông tại M sao cho ·ABM 0 90 . Tính độ dài ngắn nhất của AB. Giải AM ABM vuông tại M, có AM AB.sin AB sin Do đó AB ngắn nhất AM ngắn nhất M  H AM 2cm 2 Vậy min AB khi M  H sin 3.4. Cho tam giác ABC, cạnh BC cố định và BC 3 3cm . Điểm A di động sao cho AB + AC = 6cm. Tính giá trị lớn nhất của góc A. Giải Vẽ đường phân giác AD. Vẽ BH  AD, CK  AD. Ta có BH BD,CK CD Suy ra BH CK BD CD BC A ABH vuông tại H, có: BH AB.sin 2 A ACK vuông tại K, có: CK AC.sin 2
5. A A A Do đó BH CK AB AC .sin 6sin mà BH CK BC 3 3cm nên 6sin 3 3 2 2 2 A 3 3 3 µA Do đó sin sin 60 . Suy ra 60 µA 120 2 6 2 2 Vậy max µA 120 khi H  K  D ABC vuông cân tại A. 3.5. Cho tam giác ABC, AB = 14cm, AC = 11cm và Bµ 40. Tính độ dài BC. Giải * Tìm cách giải Vẽ đường cao AH để vận dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông. Tính HB và HC từ đó tính được BC. * Trình bày lời giải Vẽ đường cao AH. Xét ABH vuông tại H có: AH AB.sin B 14sin 40 9.0 cm BH AB.cos B 14.cos 40 10,7 cm Xét AHC vuông tại H có: HC AC 2 AH 2 112 92 6,3 cm • Nếu H nằm giữa B và C thì BC BH HC 10,7 6,3 17 cm • Nếu C’ nằm giữa B và H thì BC ' BH HC ' 10,7 6,3 4,4 cm 3.6. Cho tam giác ABC, AB = 3,2cm; AC = 5,0cm và Bµ 70. Tính độ dài BC. Giải Vẽ đường cao AH. Xét ABH vuông tại H có: AH AB.sin B 3,2sin 70 3,0 cm BH AB.cos B 3,2.cos70 1,1 cm Xét AHC vuông tại H có: HC AC 2 AH 2 5,02 3,02 4,0 cm Điểm C không thể nằm giữa H và B vì trên tia HB có HC > HB. Chỉ còn trường hợp điểm H nằm giữa B và C. Ta có BC BH HC 1,1 4,0 5,1 cm 3.7. Cho tam giác ABC cân tại A, góc ở đáy bằng < 90°. Vẽ các đường cao AH và BK. Biết BK = h, tính AH.
6. Giải BK h Xét KBC vuông tại K, có: BK BC.sin BC sin sin h Vì ABC cân tại A nên HB HC 2sin h sin h Xét AHC vuông tại H có: AH HC.tan . 2sin cos 2cos 3.8. Cho tam giác ABC, Bµ 40,Cµ 65 a) Tính số đo của góc tạo thành bởi đường cao AH và đường trung tuyến AM (làm tròn đến độ); b) Cho biết BC = 45cm, tính độ dài AH (làm tròn đến centimet). Giải Đặt M· AH a) Xét ABH và AHC vuông tại H ta có: BH AH cot B;CH AH cot C;MH AH tan Ta có BH CH BM MH CM MH 2MH Do đó AH cot B AH cot C 2AH tan Suy ra cot B cot C 2 tan cot B cot C cot 40 cot 65 Hay tan 0,3627 2 2 tan tan1956' 20 b) Ta có BH + CH = BC hay AH cot B AH cot C 45 AH cot B cot C 45 45 45 Suy ra AH 27 cm cot B cot C cot 40 cot 65 3.9. Tam giác ABC là tam giác nhọn hay tam giác tù nếu có: a) µA 50 , AB = 2,4cm, AC = 6,2cm; b) µA 55 , AB = 3,5cm, AC = 4,5cm. Giải a) Vẽ CH  AB. Xét ACH vuông tại H, ta có: AH AC.cos A 6,2.cos50 4,0 cm Trên tia AB có AB < AH nên điểm B nằm giữa A và H. Suy ra ·ABC Hµ 90 Vậy ABC là tam giác tù. b) Vẽ CH  AB, BK  AC. Xét ACH vuông tại H, ta có:
7. AH AC.cos A 4,5.cos55 2,6 cm Xét ABK vuông tại K, ta có: AK AB.cos A 3,5.cos55 2,0 cm • Trên tia AB có AH < AB nên điểm H nằm giữa A và B. Xét HBC có Hµ 90 nên H· BC nhọn. • Trên tia AC có AK < AC nên điểm K nằm giữa A và C. Xét KBC có Kµ 90 nên ·ACB nhọn. Tam giác ABC có ba góc nhọn nên là tam giác nhọn. 3.10. Cho tam giác ABC vuông tại A, µA 64, AB = c, AC = 4,5cm. Xác định giá trị của c để tam giác ABC là tam giác tù. Giải Vẽ CH  AB, BK  AC. AHC vuông tại H, ta có: AH AC.cos A 4,5.cos64 2,0 cm AKB vuông tại K, ta có: AK AB.cos A c.cos64 ABC tù Bµ tù hoặc Cµ tù. • Xét trường hợp Bµ tù. Ta có Bµ 90 AH AB 2 c hay c 2và c 0 • Xét trường hợp Cµ tù. 4,5 Ta có : Cµ 90 AK AB c.cos64o 4,5 c 10,3. cos64o Tóm lại, ABC tù khi 0 c 2cm hoặc c 10,3cm 3.11. Cho tam giác nhọn ABC, AB = 4cm, BC = 6cm. Một hình chữ nhật DEFG nội tiếp tam giác đó với D AB, E AC;F,G BC . Chứng minh rằng diện tích hình chữ nhật DEFG nhỏ hơn 6cm2. Giải Ta đặt Bµ ; AD x thì DB 4 x DE AD Ta có DE / /BC suy ra (hệ quả định lí Ta-lét) BC AB AD.BC x.6 3x Do đó DE AB 4 2
8. Xét DBG vuông tại G, ta có DG DB.sin 4 x sin 3 Diện tích hình chữ nhật DEFG là S DE.DG x 4 x sin 2 2 a b Vận dụng bất đẳng thức Cô-si đối với hai số không âm ab ta được 2 2 x 4 x x 4 x 4 2 (dấu “=” xảy ra khi x = 4-x x = 2). 3 Do đó S .4sin 6sin 2 Vì 0 sin 1 nên S 6 cm2 khi D là trung điểm của AB. 3.12. Cho tam giác ABC, AB = 5cm, BC 39cm và CA = 7cm. Tính số đo góc A. Giải Xét ABC có CA là cạnh lớn nhất nên góc B là góc lớn nhất. 2 Ta thấy AC 2 BA2 BC 2 (vì 72 52 39 ) nên góc B là góc nhọn (xem bài 1.18). Do đó ABC là tam giác nhọn. Theo định lí cô-sin ta có: 2 BC 2 AB2 AC 2 2AB.AC.cosA 39 52 72 2.5.7.cos A 1 Suy ra cos A , do đó µA 60 2 3.13. Giải tam giác ABC, biết: a)BC 6,8cm; Bµ 62;Cµ 53 b)BC 6,8cm; Bµ 40;Cµ 35 Giải a) Ta có µA 180 Bµ Cµ 65 Vì ABC nhọn nên theo định lí sin ta có: a b c sin A sin B sin C 6,8 b c Do đó sin 65 sin 62 sin 53 6,8.sin 62 6,8.sin 53 Suy ra b 6,6 cm ;c 6,0 cm sin 65 sin 65 Nhận xét: Để giải tam giác trường hợp (g.c.g) ta dùng định lí sin.
9. b) Ta có µA 180 Bµ Cµ 105 Vậy ABC là tam giác tù, không vận dụng được đính lí sin. Vẽ đường cao AH. Vì các góc B và C nhọn nên điểm H nằm giữa B và C. Ta có BH AH cot B,CH AHcotC Mà BH CH BC nên AH cot B cot C 6,8 6,8 AH 2,6 cm cot 40 cot 35 ABH vuông tại H, có AH AB.sin B AH 2,6 Suy ra AB 4,0 cm sin B sin 40 ACH vuông tại H, có AH AC.sin C AH 2,6 Suy ra AC 4,5 cm sin C sin 35 3.14. Giải tam giác ABC, biết: AB = 5cm, BC = 7cm, CA = 6cm (các số đo góc làm tròn đến độ). Giải Xét ABC, cạnh BC là cạnh lớn nhất nên góc A là góc lớn nhất. Ta có BC 2 AB2 AC 2 (vì 72 52 62 ) nên góc A là góc nhọn (xem bài 1.18). Vậy ABC là tam giác nhọn. Theo định lí cô-sin, ta có: • BC 2 AB2 AC 2 2AB.AC.cos A Do đó 72 52 62 2.5.6.cos A 1 Suy ra cos A , do đó µA 78 5 • AC 2 AB2 BC 2 2AB.BC.cosB Do đó 62 52 72 2.5.7.cos B 19 Suy ra cos B , do đó Bµ 57 35 • Cµ 180 78 57 45 Nhận xét: Để giải tam giác khi biết ba cạnh ta thường sử dụng định lí cô-sin. 3.15. Giải tam giác ABC, biết: µA 68, AB = 5,0cm, AC = 5,7cm (làm tròn các độ dài đến chữ số thập phân thứ nhất, làm tròn các số đo góc đến độ). Giải Vẽ CH  AB. Xét ACH vuông tại H, ta có:
10. CH AC.sin A 5,7.sin 68 5,3 cm AH AC.cos A 5,7.cos68 2,1 cm Trên tia AB có AH < AB (2,1 < 5,0) nên điểm H nằm giữa A và B. Do đó BH = 5,0 - 2,1 = 2,9 (cm). Xét HBC vuông tại H, ta có: BC CH 2 BH 2 5,32 2,92 6,0 cm Xét ABC có BC là cạnh lớn nhất nên góc A là góc lớn nhất. Ta có BC 2 AB2 AC 2 (vì 62 52 5,72 ) nên góc A là góc nhọn, suy ra ABC nhọn. Do đó 5,72 5,02 6,02 2.5,0.6,0.cos B Suy ra cos B 0,4752 Bµ 62 Từ đó Cµ 180 68 62 50 3.16. Giải tam giác ABC, biết: µA 50 , AB = 4,6cm, BC = 3,7cm (làm tròn số đo góc đến độ, làm tròn độ dài đến hàng phần mười). Giải Vẽ BH  AC. ABH vuông tại H, ta có: AH AB.cos A 4,6.cos50 3,0 cm BH AB.sin A 4,6.sin 50 3,5 cm HBC vuông tại H, ta có: HC BC 2 BH 2 3,72 3,52 1,2 cm • Nếu H nằm giữa A và C thì AC AH HC 3,0 1,2 4,2 cm BH 3,5 Khi đó Cµ 90 và sin C sin 71 BC 3,7 Suy ra Cµ 71 và Bµ 180 50 71 59 • Nếu C’ nằm giữa H và A thì AC ' AH HC ' 3,0 1,2 1,8 cm Khi đó ·AC ' B 90 Ta có B· C 'C Cµ 71 ·AC ' B 180 71 109 và ·AB 'C 180 50 109 21