Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Hình học - Chuyên đề 4: Hệ thức giữa các tỉ số lượng giác của các góc

Nội dung text: Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Hình học - Chuyên đề 4: Hệ thức giữa các tỉ số lượng giác của các góc

1. Chuyên đề 4: HỆ THỨC GIỮA CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC VÀ 2 0 45 A. Đặt vấn đề Trong chuyên đề này ta sẽ thiết lập các hệ thức liên hệ giữa các tỉ số lượng giác của góc và góc 2 . Nhờ đó mà ta tính được các tỉ số lượng giác của góc khi biết tỉ số lượng giác của góc 2 và ngược lại B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho 45 , chứng minh rằng sin 2 2sin cos Áp dụng: Cho sin 0,6 tính sin 2 Giải Xét ABC vuông tại A, Cµ 45 Vẽ đường cao AH và đường trung tuyến AM. 1 Khi đó MA MB MC BC 2 Ta có AMC cân tại M, do đó ·AMB 2Cµ 2 AB AC ABC vuông tại A, ta có sin ; cos BC BC AH Xét AHM vuông tại H, ta có sin 2 1 AM AB AC 2.AB.AC 2AH.BC 2AH 2AH AH Ta có 2sin .cos 2 . 2 BC BC BC2 BC2 BC 2AM AM Từ 1 và 2 suy ra sin 2 2sin cos 2 Áp dụng: Nếu sin 0,6 thì cos2 1 sin2 1 0,6 0,64 Do đó cos 0,64 0,8. Vậy sin 2 2sin .cos 2.0,6.0,8 0,96 Nhận xét: Việc xét ABC vuông tại A là để có sin và cos . Việc vẽ đường trung tuyến AM là để xuất hiện 2 . Vẽ thêm đường cao AH để có thể tính sin 2 Ví dụ 2. Cho 45 . Chứng minh các hệ thức sau: a) cos2 cos2 sin2 2 tan b) tan 2 1 tan2 Giải 2 a) Ta có cos2 2 1 sin2 2 1 2sin cos 1 4sin2 cos2
2. 2 cos2 sin2 4sin2 cos2 cos4 2sin2 cos2 sin4 2 cos2 sin2 2 Do đó: cos2 cos2 sin2 cos2 sin2 Vì 45 nên sin cos (xem bài 2.26). Vậy cos2 cos2 sin2 Lưu ý: Tiếp tục biến đổi các hệ thức trên ta được các hệ thức sau cos2 sin2 cos2 1 cos2 2 cos2 1 cos2 sin2 1 sin2 sin2 1 2sin2 Vậy cos2 cos2 sin2 2 cos2 1 1 2sin2 sin 2 2sin cos b) Ta có tan 2 cos2 cos2 sin2 Chia cả tử và mẫu cho cos2 ta được: 2 2 2sin cos cos sin 2sin 2 2 tan tan 2 2 : 2 : 1 tan 2 cos cos cos 1 tan Ví dụ 3. Cho tam giác ABC vuông tại C, Aµ , Bµ  với 2  . Chứng minh rằng: sin sin 1 sin 2 Giải ABC vuông tại C nên Aµ Bµ 90 Mặt khác, Aµ Bµ nên Aµ 45 Ta có  90 nên sin cos 2 2 Do đó sin sin sin cos sin2 cos2 2sin .cos 1 sin 2 Ví dụ 4. Không dùng máy tính hoặc bảng số hãy tính: sin 2230 , cos2230 , tan 2230 Giải Tìm hướng giải Vì 2230 bằng một nửa của góc 45 , nên ta dùng công thức tỉ số lượng giác của góc nhân đôi để giải. Trình bày lời giải
3. 1 cos2 Ta có cos2 1 2sin2 sin2 2 Với 2230 , 2 45 ta được: 1 cos45 1 2 1 2 2 2 2 sin2 2230 1 . 2 2 2 2 2 4 2 2 Suy ra sin 2230 2 1 cos2 Ta có cos2 2cos2 1 cos2 2 Với 2230 , 2 45 ta được: 1 cos45 1 2 1 2 2 2 2 cos2230 1 . 2 2 2 2 2 4 2 2 Suy ra cos2230 2 sin 2230 2 2 2 2 2 2 2 2 1 tan 2230 : cos2230 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 C. Bài tập vận dụng 4.1. Cho 0 45 , chứng minh rằng 1 sin 2 sin cos 24 4.2. Cho sin 25 a) sin 2 b) sin 2 4.3. Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy tính: sin15 , cos15 , tan15 4.4. Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy tính: sin 75 , cos75, tan 75 4.5. Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy tính: sin6730 , cos6730 , tan6730 4.6. Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy tính: a) cos36
4. b) Từ đó hãy tính cos72, cos18 ,sin 72 , sin18 4.7. Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Đặt M· AN , tính sin 4.8. Cho tam giác ABC vuông tại A, BC a , Cµ 45 . Vẽ đường trung tuyến AM. Qua A vẽ một đường thẳng vuông góc với AM cắt đường thẳng BC tại N. Chứng minh rằng: a2 cos CN 2cos2 1 4.9. Cho tam giác ABC cân tại A, Aµ 80 . Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho B· AM 50, ·ABN 30 . Gọi O là giao điểm của AM và BN. Chứng minh rằng MON là tam giác cân 4.10. Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng: B C C A A B sin A.sin B.sin C sin .sin .sin 2 2 2 HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ 2 4.1. Ta có 1 sin 2 sin2 cos2 2sin .cos sin cos 2 Do đó 1 sin 2 sin cos sin cos Ta có sin cos 0 nên 1 sin 2 sin cos 4.2. 2 2 2 2 24 49 a) Ta có sin cos 1 cos 1 25 625 49 7 Do đó cos 625 25 24 7 336 Vậy sin 2 2sin .cos 2. . 25 25 625 b) Từ công thức cos2 1 2sin2 suy ra cos 1 2sin2 2 2 1 cos 7 9 3 Do đó sin 1 : 2 . Vậy sin 2 2 25 25 2 5
5. 1 cos2 4.3. Ta có cos2 1 2sin2 sin2 2 Với 15 , 2 30 ta được: 1 cos30 sin2 15 2 2 3 2 3 4 2 3 3 1 1 : 2 2 4 8 8 2 3 1 3 1 6 2 Do đó sin2 15 8 2 2 4 Với 15 , 2 30 ta được: 2 1 cos30 3 2 3 4 2 3 3 1 cos2 15 1 : 2 2 2 4 8 8 2 3 1 3 1 6 2 Do đó cos15 8 2 2 4 2 sin15 6 2 6 2 2 3 1 3 1 4 2 3 Ta có tan15 : 2 3 cos15 4 4 2 3 1 2 2 Cách giải khác: Tính trực tiếp theo định nghĩa tỉ số lượng giác. Cách thứ nhất Xét ABC vuông tại A, Bµ 15 , AC 1 Để tính sin B , cos B , tan B ta cần phải biết AB, BC Vẽ đường trung trực của BC cắt AB tại N. NBC cân tại N. Ta có ·ANC 2Bµ 30 Xét ANC vuông tại A có ·ANC 30 , nên NC 2AC 2 AN AC.cot 30 1. 3 3 ; AB AN NB AN NC 2 3 2 Xét ABC vuông tại A có BC2 AB2 AC2 2 3 12 8 4 3 2 Do đó BC 8 4 3 2 4 2 3 2 3 1 2 3 1 AC 1 2 3 1 6 2 Vậy sin15 sin B BC 2 3 1 2.2 4
6. AB 2 3 2 3 1 2 3 6 2 cos15 cos B BC 2 3 1 4 4 AC 1 2 3 tan15 tan B 2 3 AB 2 3 1 Cách thứ hai Xét ABC vuông tại A, Bµ 15 , BC 4 Vẽ đường trung tuyến AM và đường cao AH. Ta có MA MB MC 2 MAB cân tại M, A· MC 2Bµ 30 1 Xét AMH vuông tại H, A· MC 30nên AH AM 1 2 3 Ta có HM AM.cos M 2.cos30 2. 3 2 Suy ra HB HM MB 3 2 2 2 Ta có AB2 AH2 HB2 12 3 2 8 4 3 2 4 2 3 2 2 3 AB 2 3 1 AC2 BC2 AB2 2 16 8 4 3 8 4 3 2 4 2 3 2 3 1 AC 2 3 1 AC 6 2 Vậy sin15 sin B BC 4 AB 2 3 1 6 2 cos15 cos B BC 4 4 2 AC 2 3 1 3 1 tan15 tan B 2 3 AB 2 3 1 2 4.4. Dùng kết quả bài 4.3 ta được: 6 2 sin 75 cos15 4 6 2 cos75 sin15 4
7. 1 1 tan 75 cot15 2 3 tan15 2 3 4.5. Dùng kết quả ví dụ 4 ta được: 2 2 sin6730 cos2230 2 2 2 cos6730 sin 2230 2 1 1 tan6730 cot 2230 2 1 tan 2230 2 1 4.6. a) Vẽ ABC cân tại A, Aµ 36 , BC 1 . Khi đó Bµ Cµ 72 Vẽ đường phân giác BD Dễ thấy các tam giác BCD, ABD là những tam giác cân. Do đó AD BD BC 1. Vẽ DH  AB thì HA HB Ta đặt HA HB x AH x Xét ADH vuông tại H, ta có cos A AD 1 Do đó cos36 x Xét ABC có AB AC 2x ; CD 2x 1 Vì BD là đường phân giác nên: DA AB 1 2x DC AC 2x 1 1 2 2 1 5 4 2 2 1 0 2 0 x x x 2 2 5 1 x (chän) 1 5 1 5 4 2 2 0 x x 2 2 2 2 1 5 x 0 (lo¹i) 4 5 1 Vậy cos36 4 b) Vận dụng hệ thức cos2 2cos2 1 ta được 2 5 1 6 2 5 5 1 cos72 2cos2 36 1 2. 1 4 8 4
8. Cũng vận dụng hệ thức trên ta được cos36 2cos2 18 1 2 cos36 1 1 5 1 1 2 5 10 cos2 18 1 5 5 2 2 4 8 16 1 Do đó cos18 2 5 10 4 1 Từ đó suy ra sin 72 cos18 2 5 10 4 5 1 sin18 cos72 4 4.7. Ta đặt AB 2a thì BM = DN = a Dùng định lí Py-ta-go ta tính được AM AN a 5 Đặt B· AM D· AN  , khi đó 90 2 Vậy và 2 là hai góc phụ nhau AD 2a 2 Ta có cos AN a 5 5 2 2 2 3 sin cos2 2cos  1 2. 1 5 5 Cách giải khác Gọi H là giao điểm của AN với DM µ ¶ AND DMC c.g.c . Suy ra A1 D1 ¶ ¶ µ ¶ Ta có D1 D2 90 nên A1 D2 90 Suy ra AH  DH Ta đặt AB 2a thì DN a , DM AM a 5 DH DN DHN DCM g.g DC DM DC.DN 2a.a 2a 5 Suy ra DH DM a 5 5 2a 5 3a 5 Do đó HM DM DH a 5 5 5 HM 3a 5 3 Ta có sin : a 5 AM 5 5
9. 4.8. a ABC vuông cân tại A, AM là đường trung tuyến nên AM MB MC 2 AMC cân tại M A· MN 2 Xét AMN vuông cân ta có AM MN.cos2 AM 2AM a MN cos2 2cos2 2cos2 a a a cos2 1 Ta có CN CM MN 2 2cos2 2cos2 Vì cos2 2cos2 1 nên cos2 1 2cos2 a.2cos2 a.cos2 Do đó CN 2 2cos2 1 2cos2 1 4.9. ABC cân tại A, Aµ 80 nên Bµ Cµ 50 Ta có B· MA 180 50 50 80 C· BN 50 30 20 A· NB N· BC Cµ 20 50 70 C· AM 80 50 30 Áp dụng định lí sin vào các tam giác OBM, OAB, OAN ta được: OM OB OM sin 20 sin 20 sin80 OB sin80 OB OA OB sin 50 sin 50 sin30 OA sin30 OA ON OA sin 70 sin 70 sin30 ON sin30 OM OM OB OA Vì . . nên: ON OB OA ON OM sin 20 sin 50 sin 70 sin 20.cos40.cos20 . . ON sin80 sin30 sin30 1 1 sin80. . 2 2 2sin 20.cos20.2cos40 sin 40.2cos40 sin80 1 sin80 sin80 sin80 Suy ra OM ON do đó MON cân tại O
10. A A B B C C 4.10. Ta có sin A 2sin .cos ; sin B 2sin cos ; sin C 2sin cos 2 2 2 2 2 2 B C 180 A A A sin sin sin 90 cos 2 2 2 2 C A 180 B B B sin sin sin 90 cos 2 2 2 2 A B 180 C C C sin sin sin 90 cos 2 2 2 2 B C C A A B Ta có sin A.sin B.sin C sin .sin .sin 2 2 2 A A B B C C A B C 8sin .cos .sin .cos .sin .cos cos .cos .cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A B C A B C 1 8sin .sin .sin 1 sin .sin .sin 2 2 2 2 2 2 8 Bất đẳng thức cuối đúng (xem bài 2.8). Do đó bất đẳng thức đã cho là đúng.