Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Hình học - Chuyên đề 5: Tính diện tích tam giác, diện tích tứ giác nhờ sử dụng các tỉ số lượng giác

Nội dung text: Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Hình học - Chuyên đề 5: Tính diện tích tam giác, diện tích tứ giác nhờ sử dụng các tỉ số lượng giác

1. Chuyên đề 5. TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC, DIỆN TÍCH TỨ GIÁC NHỜ SỬ DỤNG CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC A. Đặt vấn đề 1 Ta đã biết cách tính diện tích tam giác theo một công thức rất quen thuộc là S ah, trong đó a là 2 độ dài một cạnh của tam giác, h là chiều cao ứng với cạnh đó. Bây giờ ta vận dụng các tỉ số lượng giác, các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để xây dựng thêm các công thức tính diện tích tam giác, tứ giác. B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Chứng minh rằng diện tích một tam giác bằng nửa tích hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy. Giải Gọi là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC của tam giác ABC. Vẽ đường cao CH. Xét ACH vuông tại H có CH AC.sin 1 1 Diện tích ABC là S AB.CH. Do dó S AB.AC.sin . 2 2 1 Lưu ý: Nếu 900 , ta có ngay S AB.AC 2 Như vậy sin 900 1, điều này sẽ học ở các lớp trên. Ví dụ 2. Tứ giác ABCD có AC m, BD n, góc nhọn tạo bởi hai đường chéo bằng . 1 Chứng minh rằng diện tích của tứ giác này được tính theo công thức S mnsin . 2 Giải Gọi O là giao điểm của AC và BD. Giả sử B· OC . Vẽ AH  BD, CK  BD. Ta có AH OAsin ; CK OC sin và OA OC AC.
2. Diện tích tứ giác ABCD là: 1 1 S S S BD.AH BD.CK ABD CBD 2 2 1 1 BD(AH CK) BD(OAsin OC sin ) 2 2 1 1 1 BDsin (OA OC) AC.BDsin mnsin 2 2 2 Lưu ý: 1 1 • Nếu AC  BD ta có ngay S AC.BD mn 2 2 • Phương pháp tính diện tích của tứ giác trong ví dụ này là chia tứ giác thành hai tam giác không có điểm trong chung, rồi tính diện tích của từng tam giác. Ví dụ 3. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi độ dài các cạnh BC, CA, AB lần lượt là a, b, c. Tính diện tích tam giác ABC biết a 4 2cm, b 5cm, c 7cm. Giải Theo định lí côsin ta có: a2 b2 c2 2bc cos A. 2 Do đó 4 2 52 72 2.5.7.cos A 3 9 4 Suy ra cos A sin A 1 cos2 A 1 5 25 5 1 1 4 Vậy diện tích tam giác ABC là: S bcsin A .5.7. 14 cm2 2 2 5 Nhận xét: Trong cách giải trên ta đã tìm cos A rồi suy ra sin A. Ta cũng có thể vận dụng định lí côsin để tìm cos B rồi suy ra sin B (hoặc tìm cosC rồi suy ra sin C) Ví dụ 4. Tứ giác ABCD có AC BD 12cm. Góc nhọn giữa hai đường chéo là 45. Tính diện tích lớn nhất của tứ giác đó. Giải Gọi O là giao điểm của AC và BD. Giả sử ·AOD 45. Diện tích tứ giác ABCD là: 1 1 2 2 S AC.BD.sin 45 AC.BD. .AC.BD 2 2 2 4 2 AC BD Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có: AC.BD 2
3. 2 2 AC BD 2 2 2 Do đó S .6 9 2 cm 4 2 4 Vậy max S 9 2cm2 khi AC BD 6cm. Ví dụ 5. Cho tam giác ABC, µA 60. Vẽ đường phân giác AD. 1 1 3 Chứng minh rằng: AB AC AD Giải Ta có 1 1 1 S AB.AD.sin 300 AB.AD. ABD 2 2 2 1 1 1 S AC.AD. sin 30 AC.AD. . ACD 2 2 2 1 1 3 S AB.AC.sin 60 AB.AC. ABC 2 2 2 1 1 1 1 1 3 Mặt khác S S S nên AB.AD. AC.AD. AB.AC. ABD ACD ABC 2 2 2 2 2 2 Do đó AD AB AC AB.AC 3 AB AC 3 1 1 3 Suy ra hay . AB.AC AD AB AC AD Nhận xét: Phưong pháp giải trong ví dụ này dựa trên quan hệ tổng diện tích các tam giác ABD và tam giác ACD bằng diện tích tam giác ABC. Ví dụ 6. Tam giác ABC có mỗi cạnh đều nhỏ hơn 4cm. Chứng minh rằng tam giác này có diện tích nhỏ hơn 7cm2 Giải 3 Giả sử µA Bµ Cµ, khi đó µA 60 và sin A 2 Diện tích tam giác ABC là: 1 1 3 S AB.AC.sin A .4.4. 4 3 6,92 7 cm2 . 2 2 2 Nhận xét: Do vai trò các góc A, B, C của tam giác ABC là như nhau nên ta có thể giả sử µA Bµ Cµ, 3 từ đó suy ra µA 60, dẫn tới sin A 2 C. Bài tập vận dụng
4. • Tính diện tích 5.1. Chứng minh rằng diện tích cùa hình bình hành bằng diện tích của hai cạnh kề nhân với sin của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng chứa hai cạnh ấy. 5.2. Cho hình chữ nhật ABCD, AC a và B· AC 0 45 . Chứng minh rằng diện tích của 1 hình chữ nhật ABCD là S a2 sin 2 2 5.3. Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox lấy điểm A và C, trên tia Oy lấy điểm B và D sao cho OA OB S m, n. Chứng minh rằng AOB m.n OC OD SCOD 5.4. Tam giác nhọn ABC có BC a, CA b, AB c. Gọi diện tích tam giác ABC là S. Chứng minh b2 c2 a2 rằng S . Áp dụng với a 39, b 40, c 41 và µA 45. Tính S. 4cot A 5.5. Cho góc xOy có số đo bằng 45. Trên hai cạnh Ox và Oy lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho OA OB 8cm. Tính diện tích lớn nhất của tam giác AOB. 5.6. Cho tam giác nhọn ABC. Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm M,N, P sao cho 1 1 1 1 AM AB, BN BC, CP CA. Chứng minh rằng diện tích tam giác MNP nhỏ hơn diện 4 3 2 3 tích tam giác ABC. 5.7. Cho đoạn thẳng AB 5cm. Lấy điểm O nằm giữa A và B sao cho OA 2cm. Trên một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Một góc vuông đỉnh O có hai cạnh cắt các tia Ax, By lần lượt tại D và E. Tính diện tích nhỏ nhất của tam giác DOE. 5.8. Cho hình bình hành ABCD, góc B nhọn. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên các đường thẳng DC và BC. a) Chứng minh rằng KAH : ABC,từ đó suy ra KH AC.sin B; b) Cho AB a, BC b và Bµ 60. Tính diện tích AHK và tứ giác AKCH. • Chứng minh các hệ thức 5.9. Cho tam giác ABC(AB AC), µA 60. Đường phân giác ngoài tại đỉnh A cắt đường thẳng BC 1 1 1 tại N. Chứng minh rằng: AB AC AN 5.10. Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC . Các đường phân giác trong và ngoài tại đỉnh A của tam giác cắt đường thẳng BC tại M và N. Chứng minh rằng:
5. 1 1 2 1 1 2 a) b) AM AN AB AM AN AC 5.11. Cho tam giác ABC, µA 900. Vẽ đường phân giác AD. Chứng minh rằng: 2cos 1 1 2 AB AC AD 5.12. Cho góc xOy có số đo bằng 30. Trên tia phân giác của góc đó lấy điểm A sao cho OA a . Qua A vẽ một đường thẳng cắt Ox và Oy theo thứ tự tại B và C. 1 1 Tính giá trị của tổng OB OC 5.13. Cho hình bình hành ABCD, góc nhọn giữa hai đường chéo bằng góc nhọn của hình bình hành. Chứng minh rằng độ dài hai đường chéo tỉ lệ với độ dài hai cạnh kề của hình bình hành. • Tính số đo góc. Tính độ dài 5.14. Tam giác nhọn ABC có AB 4,6cm; BC 5,5cm và có diện tích là 9,69cm2. Tính số đo góc B (làm tròn đến độ). 5.15. Cho hình bình hành ABCD, Bµ 90. Biết AB 4cm, BC 3cm và diện tích của hình bình hành là 6 3cm2. Tính số đo các góc của hình bình hành. 5.16. Cho tam giác ABC có diện tích S 50cm2 , µA 90. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy 1 các điểm D và E sao cho ADE nhọn, có diện tích là S S. Chứng minh rằng 1 2 DE 10 tan cm 2 5.17. Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Biết AB 4,7cm, AC 5,3cm và µA 72. Tính độ dài AD (làm tròn đến hàng phần mười). 5.18. Cho tam giác ABC, AB 6cm, AC 12cm, µA 120. Vẽ đường phân giác AD. Tính độ dài AD. 5.19. Cho tam giác ABC, AB 5cm, BC 7cm, CA 8cm. Vẽ đường phân giác AD. Tính độ dài AD. 1 1 1 5.20. Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Biết , tính số đo góc BAC. AB AC AD HƯỚNG DẪN GIẢI-ĐÁP SỐ
6. 5.1. Xét hình bình hành ABCD, Dµ 90. Vẽ đường cao AH. Xét tam giác ADH vuông tại H, ta có: AH AD.sin Diện tích hình bình hành ABCD là: S CD.AH CD.AD.sin . Vậy S AD.DC.sin . 5.2. Xét ABC vuông tại B có AB AC cos a cos ; BC AC sin asin Diện tích hình chữ nhật ABCD là: S AB.BC a cos . asin a2 sin cos 1 1 a2.2sin cos a2 sin 2 2 2 1 1 5.3. Tacó S OA.OBsin ; S OC.ODsin . AOB 2 COD 2 1 OA.OBsin S OA OB Do đó AOB 2 . m.n S 1 OC OD COD OC.ODsin 2 5.4. Vì ABC nhọn nên theo định lí côsin ta có a2 b2 c2 2bc cos A b2 c2 a2 cos A 2bc cos A b2 c2 a2 b2 c2 a2 1 Ta có cot A (vì S bcsin A) sin A 2bcsin A 4S 2 b2 c2 a2 Do đó S . 4cot A Áp dụng: Với a 39, b 40, c 41 và µA 45 ta có: 402 412 392 S 440 (đvdt) 4cot 450 5.5. Ta đặt diện tích tam giác AOB là S.
7. 1 1 Ta có S OA.OB sin O OA.OBsin 45 2 2 1 2 2 OA.OB. OA.OB 2 2 4 2 2 OA OB 8 Nhưng OA.OB 16 2 2 2 Do đó S .16 4 2 cm2 khi OA OB 4cm 4 Vậy max S 4 2cm2 1 3 5.6. Tacó AM AB BM AB; 4 4 1 2 BN BC CN BC; 3 3 1 1 CP CA AP CA. 2 2 Ta đặt SAMP S1; SBMN S2 ; SCNP S3 và SABC S Khi đó: 1 1 1 1 1 1 1 S AM.APsin A . AB. AC.sin A . AB.AC.sin A S 1 2 2 4 2 8 2 8 1 1 3 1 1 1 1 S BM.BN sin B . AB. BC.sin B . BA.BC.sin B S 2 2 2 4 3 4 2 4 1 1 2 1 1 1 1 S CN.CPsin C . CB. .CA.sin C . CB.CA.sin C S 3 2 2 3 2 3 2 3 1 1 1 17 17 7 Vậy S1 S2 S3 S S. Do đó SMNP S S S 8 4 3 24 24 24 7 8 1 S S S S. MNP 24 24 3 Cách giải khác: (không dùng tỉ số lượng giác) (h.5.10) 3 Vẽ đoạn thẳng AN. Xét các tam giác NMB và NAB có BM AB và chung chiều cao vẽ từ 4 4 3 đỉnh N nên S S . 1 2 4 NAB 1 Xét các tam giác ABN và ABC có BN BC nên 3 1 S S 2 ABN 3
8. 3 1 1 Từ (1) và (2) suy ra S . S S 2 4 3 4 1 1 Chứng minh tương tự ta được S S;S S 3 3 1 8 1 1 1 7 8 1 Do đó SMNP S S S S S 8 4 3 24 24 3 5.7. Ta có ·AOD B· EO (cùng phụ với B· OE). Ta đặt ·AOD thì B· EO OA 2 Xét AOD vuông tại O, ta có: OD cos cos OB 3 Xét BEO vuông tại B, ta có: OE sin sin Diện tích tam giác DOE là: 1 1 2 3 6 S OD.OE . . * 2 2 cos sin 2sin cos Áp dụng bất đẳng thức x2 y2 2xy ta được: sin2 cos2 2sin cos hay 1 2sin cos 6 6 Thay vào (*) ta đươc: S 2sin cos 1 (dấu “=” xảy ra khi sin cos 45) Vậy min S 6cm2 khi 45 Nhận xét: Việc đặt ·AOD giúp ta tính được các cạnh góc vuông của DOE, từ đó tính được diện tích của tam giác này theo các tỉ số lượng giác của góc . Do đó việc tìm min S đưa về tìm max sin cos đơn giản hơn. 5.8. a) Ta có AB / /CD mà AH  CD nên AH  AB. • ADH và ABK có: Hµ Kµ 90; Dµ Bµ (hai góc đối của hình bình hành). Do đó ADH ∽ ABK (g.g). AD AH Suy ra AB AK AK AH AH Do đó (vì AD BC) AB AD BC
9. AK AH • KAH và ABC có K· AH Bµ (cùng phụ với B· AK); . AB BC Do đó KAH ∽ ABC (c.g.c). KH AK Suy ra AC AB AK Xét ABK vuông tại K có sin B AB KH Vậy sin B hay KH AC.sin B AC 1 1 ab 3 b) Diện tích tam giác ABC là S AB.BC.sin B ab.sin 60 (đvdt). 2 2 4 2 SKAH AK 2 3 Vì SKAH ∽ SABC nên sin B SABC AB 4 3 3 ab 3 3 3ab Suy ra S S (đvdt) KAH 4 ABC 4 4 16 ab 3 Ta có S absin 60 (dvdt) ABCD 2 1 1 S BA.BK.sin 60 .BA. BAcos60 .sin 60 ABK 2 2 1 1 3 a2 3 a.a. . (đvdt) 2 2 2 8 1 1 S DA.DH.sin 60 .DA. DAcos60 .sin 60 ADH 2 2 1 1 3 b2 3 b2. . (đvdt) 2 2 2 8 Mặt khác SAKCH SABCD SABK SADH 2 2 ab 3 a 3 b 3 3 2 2 Nên SAKCH 4ab a b (đvdt) 2 8 8 8 5.9. Ta có N· Ax N· AB 1800 600 : 2 600
10. 1 S AN.AC.sin 60 ANC 2 1 S AN.AB.sin 60 ANB 2 1 S AB.AC.sin 60 ABC 2 Vì SANC SANB SABC 1 1 1 nên AN.AC.sin 60 AN.AB.sin 60 AB.AC.sin 60 2 2 2 Do đó AN AC AB AB.AC AC AB 1 1 1 1 Suy ra hay AB.AC AN AB AC AN 5.10. a) AM, AN là hai đường phân giác của hai góc kề bù nên AM  AN. 1 1 2 S AB.AM.sin 450 AB.AM. ; ABM 2 2 2 1 1 2 S AB.AN.sin 450 AB.AN. ; ABN 2 2 2 1 S AM.AN (vì AMN vuông tại A). AMN 2 Mặt khác, SABM SABN SAMN nên: 1 2 1 2 1 AB.AM. AB.AN. AM.AN 2 2 2 2 2 2 Do đó AB AM AN . AM.AN. 2 AM AN 1 1 1 2 hay + ; AM.AN 2 AM AN AB AB. 2 b) Góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng AN, AC là 45. 1 1 2 Ta có S AC.AN.sin 45 AC.AN. ; ANC 2 2 2 1 1 2 S AC.AM.sin 45 AC.AM. ; AMC 2 2 2 1 S AM.AN (vì AMN vuông tại A). AMN 2 1 2 1 2 1 Mặt khác, S S S nên AC.AN. AC.AM. AM.AN. ANC AMC AMN 2 2 2 2 2
11. 2 Do đó AC AN AM . AM.AN 2 AN AM 1 1 1 2 Suy ra hay - AM.AN 2 AM AN AC AC. 2 5.11. • Trường hợp góc A nhọn Ra đặt µA 1 Ta có S AB.AD.sin ABD 2 2 1 1 S AC.AD.sin ;S AB.AC.sin ACD 2 2 ABC 2 Mặt khác, SABD SACD SABC nên 1 1 1 AB.AD.sin AC.AD.sin AB.AC.sin 2 2 2 2 2 Suy ra AB.AD.sin AC.AD.sin AB.AC.2.sin cos 2 2 2 2 (vì sin 2sin cos ) 2 2 Do đó AD AB AC AB.AC.2.cos 2 2.cos 2.cos AB AC 1 1 Suy ra 2 dẫn tới 2 AB.AC AD AB AC AD • Trường hợp góc A tù Ta đặt B· AC thì B· Ax 180 . Khi đó B· Ax là góc nhọn. Ta có SABD SACD SABC 1 1 1 Do đó AB.AD.sin AC.AD.sin AB.AC.sin 180 2 2 2 2 2 1 180 180 1 AB.AC.2.sin cos AB.AC.2.sin 90 cos 90 2 2 2 2 2 2 1 AB.AC.2.cos sin 2 2 2 Suy ra AD AB AC AB.AC.2.cos 2
12. 2.cos 2.cos AB AC 1 1 Do đó 2 hay 2 AB.AC AD AB AC AD 1 1 2 Nhận xét: Nếu µA 90 thì ta chứng minh được , vẫn phù hợp với kết luận của bài AB AC AD toán. 5.12. 1 Ta có S OA.OB.sin150 AOB 2 1 S OA.OC.sin150 AOC 2 1 S OB.OC.sin 300 BOC 2 Mặt khác, SAOB SAOC SBOC 1 1 1 nên OA.OB.sin15 OA.OC.sin15 OB.OC.2sin15cos15 2 2 2 Do đó OA OB OC 2OB.OC cos15. OB OC 2cos15 1 1 2 6 2 6 2 Suy ra hay OB.OC OA OB OC a.4 2a 5.13. Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Ta đặt OC OA x, OD OB y, AD m, CD n. Giả sử ·AOD ·ADC 90. Xét OCD có ·AOD là góc ngoài nên ¶ µ · D2 C1 AOD ¶ µ · µ ¶ Mặt khác D2 C1 ADC . Suy ra C1 D1 1 1 Ta có S m.y sin D¶ ; S n.xsin Cµ ADO 2 1 DCO 2 1 Mặt khác SADO SDCO nên m.y n.x. x m 2x m AC AD Do đó hay y n 2y n BD DC 1 5.14. Ta có S AB.BC sin B 2 2S 2.9,69 sin B sin 500 AB.BC 4,6.5,5
13. Vậy Bµ 50. 5.15. Ta có S AB.AC.sin B S 6 3 3 sin B sin 60 AB.BC 4.3 2 Vậy Bµ 60 Dµ 60; µA Cµ 120. 5.16. Ta đặt AD x, AE y. 1 Khi đó diện tích ADE là S x.y sin ; 1 2 1 S S 25cm2 1 2 Ta có DE 2 x2 y2 2xy cos Mặt khác x2 y2 2xy (dấu “=” xảy ra khi x y). Do đó DE 2 2xy 2xy cos 2xy 1 cos 100.2sin2 2xy sin 1 cos 4S 1 cos 1 2 100 tan sin sin 2sin cos 2 2 2 Vậy DE 100 tan 10 tan 2 2 2cos 1 A 5.17. Ta có 2 (bài 5.11) AB AC AD 1 1 2cos360 10 2cos360 Do đó 4,7 5,3 AD 4,7.5,3 AD 4,7.5,3.2.cos360 Suy ra AD 4,0 cm 10 2cos 1 A 5.18. Ta có 2 AB AC AD 1 1 2cos600 1 1 Do đó AD 4 cm 6 12 AD 4 AD 5.19. Vì cạnh CA là cạnh lớn nhất nên góc B là góc lớn nhất trong ABC.
14. Ta thấy AC 2 AB2 BC 2 (vì 82 52 72 ) nên góc B là góc nhọn, do dó ABC là tam giác nhọn. Theo định lí côsin ta có: BC 2 AB2 AC 2 2bc cos A 72 52 82 2.5.8cos A 1 Do đó cos A µA 600 2 1 A 2cos300 Ta có: AB AC AD 3 2. 1 1 13 3 40 3 2 AD cm 5 8 AD 40 AD 13 2cos 1 1 5.20. Ta đặt B· AC . Ta có 2 AB AC AD 1 1 1 Mặt khác AB AC AD 2cos 1 1 Suy ra 2 . Do đó 2cos 1 cos cos600 AD AD 2 2 2 Do đó cos600 1200 2