Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Hình học - Chuyên đề 7: Đường kính và dây của đường tròn. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Nội dung text: Chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và ôn thi vào 10 - Phần Hình học - Chuyên đề 7: Đường kính và dây của đường tròn. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

1. CHƯƠNG 10: Chuyên đề7. ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN. LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY. A. Kiến thức cần nhớ 1. Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính. 2. Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. Đảo lại, trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy (h.7.1). 3. Trong một đường tròn: • Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm; • Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. 4. Trong hai dây của một đường tròn: • Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn; • Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn (h.7.2). OH  AB;OK  CD AB CD OH OK. B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho nửa đường tròn đường kính AB và ba dây AC, AD, AE không qua tâm. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của D trên AC và AE. Chứng minh rằng HK AB . Giải Gọi I là trung điểm của AD. AD Ta có IH IK IA ID . 2 Suy ra bốn điểm K, H, A, D cùng nằm trên một đường tròn đường kính AD. Mặt khác, H· AK 90 nên KH là dây cung không qua tâm của đường tròn đường kính AD. Trong đường tròn, đường kính là dây lớn nhất nên HK AD. Mặt khác, AD AB nên HK AB .
2. Nhận xét: Phương pháp giải ví dụ này là dùng AD làm trung gian, AD là đường kính của đường tròn này nhưng lại là dây cung của đường tròn khác. Ví dụ 2. Cho đường tròn (O), hai dây AB, CD bằng nhau và song song. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Giải Tứ giác ABCD có AB // CD và AB CD nên là hình bình hành. Suy ra AC // BD và AC BD. Qua O vẽ một đường thẳng vuông góc với AC tại H, cắt BD tại K. Vì AC // BD nên OK  BD. 1 1 Ta có HA AC; KB BD (tính chất đường kính 2 2 vuông góc với dây cung). Suy ra HA KB (vì AC BD ). Tứ giác ABKH có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành. Hình bình hành này có Hµ 90 nên là hình chữ nhật, suy ra µA 90 . Do đó hình bình hành ABDC là hình chữ nhật. Nhận xét: Dễ thấy, tứ giác ABCD là hình bình hành. Chỉ còn phải chứng minh µA 90 . Muốn vậy, qua O ta vẽ HK vuông góc với AC và BD. Bây giờ phải chứng minh ABKH là hình chữ nhật để suy ra µA 90 . Ví dụ 3. Cho đường tròn (O) và một điểm M ở trong đường tròn M O . Qua M vẽ hai dây, dây AB  OM và dây CD bất kì không vuông góc với OM. Chứng minh rằng AB CD. Giải Vẽ OH  CD. Xét HOM vuông tại H có OH OM ( cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền). Suy raCD AB ( dây nào gần tâm hơn thì lớn hơn). Do đó AB CD. Nhận xét: Trong các dây đi qua một điểm M ở bên trong đường tròn (O), dây ngắn nhất là dây vuông góc với OM.
3. R Ví dụ 4. Cho đường tròn (O; R) và một điểm M cách O một khoảng . Trên đường tròn lấy một 2 điểm A. Tìm giá trị lớn nhất của góc OAM. Giải Vẽ dây AB đi qua M. ·AOB OAB cân tại O nên µA Bµ 180 . 2 µA lớn nhất ·AOB nhỏ nhất. AB nhỏ nhất AB  OM. OM R 1 Khi đó sin A= ; R . OA 2 2 Suy ra µA 30. Vậy maxµA 30 khi AM  OM. Ví dụ 5. Cho đường tròn (O), dây AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai dây AC, BD bằng nhau, cắt nhau tại E. Chứng minh OE  AB. Giải Vẽ OH  AC;OK  BD. Vì AC BD nên OH OK. Ta có HOE KOE H· OE K· OE; HOA KOB H· OA K· OB; Do đó ·AOE B· OE; Xét AOB cân tại O, có OE là đường phân giác nên OE đồng thời là đường cao. Suy ra OE  AB. C. Bài tập vận dụng • Đường kính và dây cung 7.1. Chứng minh rằng trong một đường tròn hai dây không đi qua tâm không thể cắt nhau tại trung điểm của mỗi dây. 7.2. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên các bán kính OA, OB lần lượt lấy các điểm M và N sao cho OM ON. Từ M và N vẽ hai tia song song cắt nửa đường tròn lần lượt tại C và D. Chứng minh rằng MC  CD.
4. 7.3. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và dây CD nằm về một phía của AB (C, D không trùng với A hoặc B). Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A và B trên đường thẳng CD. Chứng minh rằng: a) H và K nằm ngoài đường tròn (O); b) CH DK 7.4. Cho đường tròn (O; R). Một dây AB chuyển động trong đường tròn sao cho ·AOB 120. Gọi M là trung điểm của AB. Hỏi điểm M đi động trên đường nào? 7.5. Cho bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên đường tròn (O; R) theo thứ tự đó. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ABCD. • Khoảng cách từ tâm đến dây 7.6. Cho đường tròn (O; 5cm) và hai dây AB, CD song song với nhau, cách nhau 7cm. Biết AB = 6cm, tính diện tích tứ giác có bốn đỉnh là A, B, C, D. 7.7. Cho đường tròn (O; 10cm). Hai dây AB, CD song song với nhau, tâm O cách dây AB là 8cm và cách dây CD là 6cm. Biết dây AB và tâm O thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ CD, tính chu vi tứ giác có bốn đỉnh là A, B, C, D. 7.8. Cho đường tròn (O; 5cm) và một điểm P sao cho OP = 3cm. Qua P vẽ một dây có độ dài là một số nguyên. Hỏi vẽ được tất cả bao nhiêu dây như vậy? • Dựng hình 7.9. Cho đường tròn (O) và một điểm A ở bên trong đường tròn . Dựng hình thoi ABCD sao cho B, C, D nằm trên đường tròn (O). 7.10. Cho đường tròn (O; R) và một đoạn thẳng AB < 2R. Hãy dựng dây CD sao cho bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình bình hành. 7.11. Cho đường tròn (O; R) và một đoạn thẳng AB sao cho ba điểm A, O, B không thẳng hàng. Qua A và B hãy dựng hai đường thẳng song song cắt đường tròn lần lượt tại C, D, E, F sao cho bốn điểm C, D, E, F là bốn đỉnh của một hình chữ nhật. 7.12. Cho đường tròn (O) và 100 đường kính. Tại mỗi đường kính viết một trong các số tự nhiên từ 1 đến 99. Chứng minh rằng tồn tại bốn điểm A, B, C, D là các đầu đường kính đã vẽ mà AB = CD và a + b = c + d (a, b, c, d là các số được viết tương ứng tại A, B, C, D).
5. HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ 7.1. Giả sử hai dây AB vàCD cắt nhau tại trung điểm mỗi dây. Khi đóOM ^ AB;OM ^ CD (tính chất đường kính đi qua trung điểm của một dây). Điều này vô lí vì qua điểm M có hai đường thẳng AB vàCD cùng vuông góc vớiOM .
6. 7.2. Gọi H là trung điểm của CD. Khi đó OH là đường trung bình của hình thang MCND, Suy raOH / /MC . Ta cóOH ^ CD (đường kính đi qua trung điểm của một dây). Suy ra MC ^ CD . 7.3. a) Ta có AH / /BK (vì cùng vuông góc với CD ). Suy ra O·AH + O·BK = 180o. Do đó O·AH hoặcO·BK có số đo lớn hơn hoặc bằng90o . Giả sử O·AH ³ 90o . XétDOAH có góc OAH là góc lớn nhất nên OH là cạnh lớn nhất. Suy ra OH > OA = R . Vậy điểm H nằm ngoài đường tròn (O). VẽOM ^ CD ta đượcOM / / AH / /BK. Mặt khác,OA = OB nên MH = MK XétDOHK cóOM vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến nên là tam giác cân. Suy raOK = OH > R. Do đó điểm K nằm ngoài đường tròn (O). b) Ta có MH = MK;MC = MD (tính chất đường kính vuông góc với dây). Suy ra MH - MC = MK - MD hayCH = DK. 7.4. Ta có MA = MB suy raOM ^ AB . XétDAOB cân tại O; ·AOB = 120o nên Aµ= 30o . XétDAOM vuông tại M có Aµ= 30o nên: 1 1 OM = OH = R. 2 2 æ 1 ö Vậy điểm M di động trên đường trònçO; R÷. èç 2 ø÷ 7.5. Gọi E là giao điểm của AC và BD . Vẽ AH ^ BD;CK ^ BD. Ta có AH £ AE;CK £ CE.
7. Suy ra AH + CK £ AE + CE = AC. Diện tích tứ giác ABCD là: 1 1 S = S + S = BD.AH + BD.CK ABD CBD 2 2 1 1 = BD(AH + CK) = BD.AC. 2 2 Ta có AC và BD là các dây cung của đường tròn (O; R) nên AC £ 2R; BD £ 2R. 1 Do đó S £ .2R.2R = 2R2. 2 ïì BD = 2R ï Dấu “=” xảy ra khiíï AC = 2R Û AC và BD là hai đường kính. ï îï H º K º E Vậy maxS= 2R2. 7.6. VẽOH ^ AB . Đường thẳngOH cắtCD tại K Khi đóOK ^ CD (vì AB / /CD ) 1 Suy ra HA = 3cm vàCK = CD. 2 Ta cóOH 2 = OA2 - HA2 = 52 - 32 = 42 Þ OH = 4(cm). Do đó OK = 7- 4 = 3(cm). Ta cóCK 2 = OC 2 - OK 2 = 52 - 32 = 16 Þ CK = 4(cm) Þ CD = 8cm. 1 1 Diện tích hình thang ABCD là: S = (AB + CD)HK = (6+ 8)7 = 49(cm2 ). 2 2 7.7. VẽOH ^ AB cắtCD tại K . Vì AB / /CD nênOH ^ CD Ta cóOH = 8cm;OK = 6cm suy ra HK = 2cm. Vẽ AE ^ CD thì AE = HK = 2cm. Ta có HA2 = OA2 - OH 2 = 102 - 82 = 36 Þ HA = 6(cm) Þ AB = 12cm. KC 2 = OC 2 - OK 2 = 102 - 62 = 64 Þ KC = 8(cm) Þ CD = 16cm Ta cóCE = KC - KE = 8- 6 = 2(cm). XétDAEC vuông tại E có AC 2 = AE 2 + CE 2 = 22 + 22 = 8.
8. Suy ra AC = 8 = 2 2(cm). Tương tự BD = 2 2cm. Vậy chu vi tứ giác ABCD là:12+ 16+ 2.2 2 = 28+ 4 2(cm). 7.8. Qua P vẽ đường kínhCD và dây AB ^ OP . Ta đượcCD là dây dài nhất và AB là dây ngắn nhất (qua P ). Ta cóCD = 10cm PB2 = OB2 - OP2 = 52 - 32 = 16 Þ PB = 4(cm) . Do đó AB = 8cm. Khi dây AB quay quanh P , độ dài của nó thay đổi và nhận mọi giá trị thực từ 8 đến 10. Giá trị AB = 9 nhận được hai lần( do tính đối xứng quaCD ) Vậy số dây có độ dài là một số nguyên là:1+ 1+ 2 = 4 (dây). 7.9. a) Phân tích: Giả sử đã dựng được hình thoi ABCD , hai đường chéo cắt nhau tại K . Ta có AC là đường trung trực của BD và BD là đường trung trực của AC , do đó AC đi quaO . b) Cách dựng: - Dựng đường thẳngOA cắt đường tròn tạiC vàC '. - Dựng đường trung trực của AC cắt đường tròn tại B và D . - Nối AB, BC,CD, DA ta được tứ giác ABCD là hình thoi. c) Chứng minh: Bạn đọc tự giải. d) Biện luận: Bài toán có hai nghiệm hình là hình thoi ABCD và AB 'C ' D ' . 7.10. a) Phân tích: Giả sử đã dựng được hình bình hành ABCD thỏa mãn đề bài, ta có AB / /CD và AB = CD Vẽ đường kính vuông góc với đường thẳng AB tại H , cắtCD tại K .
9. Vẽ dây PQ = AB và vẽOE ^ PQ . Khi đó PQ = CD vàOE = OK b) Cách dựng: - Dựng dây PQ = AB và dựngOE ^ PQ . - Dựng đường thẳng vuông góc với AB tại H . Trên đường thẳng này lấy điểm K sao choOK = OE -Qua K dựng dây CD ^ OH Khi đó bốn điểm A, B,C, D là bốn đỉnh của một hình bình hành. c) Chứng minh: Ta có CD = PQ (vì hai dây này cách đều tâm).Do đóCD = AB , Mặt khác,CD / / AB (vì cùng vuông góc vớiOH ). Vậy bốn điểm A, B,C, D là bốn đỉnh của một hình bình hành. d) Biện luận: - NếuOH ¹ OK thì bài toán có hai nghiệm hình. - NếuOH = OK thì bài toán có một nghiệm hình. 7.11. * Cách dựng: - Dựng trung điểm M của AB. - Dựng đường thẳng MO . - Qua A và B dựng hai đường thẳng song song vớiOM , chúng cắt đường tròn lần lượt tạiC, D, E và F . Khi đóCDEF là hình chữ nhật. * Chứng minh: QuaO vẽ một đường thẳng vuông góc vớiCD tại H , cắt EF tại K . Do AH / /BK và MA = MB nên tứ giác CDEF là hình chữ nhật ( xem ví dụ 2). 7.12. Hiệu hai số ở đầu đường kính có giá trị nhỏ nhất là 0 ( nếu hai số ở hai đầu đường kính bằng nhau), có giá trị lớn nhất là 98 ( vì 99- 1= 98 ) . Có 99 hiệu và 100 đường kính, theo
10. nguyên lí Đirichlê, tồn tại hai đường kính có hiệu số ở hai đầu bằng nhau. Gọi hai đường kính đó là AC và BD . Ta có| a- c |= | b- d | Giả sử a ³ c;d ³ b thế thì a- c = d - b Þ a + b = c + d. Tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau, cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình chữ nhật. Do đó AB = CD. Nhận xét. Phương pháp giải bài toán trên là sử dụng nguyên lí Đirichlê. Ưu điểm của phương pháp này là nó khẳng định được một sự kiện nào đó mà không cần một mô hình cụ thể.