Chuyên đề luyện thi vào Lớp 10 môn Toán - Chuyên đề 1: Biến đổi đại số

Nội dung text: Chuyên đề luyện thi vào Lớp 10 môn Toán - Chuyên đề 1: Biến đổi đại số

1. Chuyên đề 1: Biến đổi đại số 1.1 CĂN THỨC BẬC 2 Kiến thức cần nhớ: • Căn bậc hai của số thực a là số thực x sao cho x2 a . • Cho số thực a không âm. Căn bậc hai số học của a kí hiệu là a là một số thực không âm x mà bình phương của nó bằng a : a 0 x 0 2 a x x a • Với hai số thực không âm a,b ta có: a b a b . • Khi biến đổi các biểu thức liên quan đến căn thức bậc 2 ta cần lưu ý: 2 A A 0 + A A nếu A A 0 + A2 B A B A B với A, B 0 ; A2 B A B A B với A 0; B 0 A A.B A.B + với AB 0, B 0 B B2 B M M. A + với A 0 ;(Đây gọi là phép khử căn thức ở mẫu) A A M M A  B + với A, B 0, A B (Đây gọi là phép A B A B trục căn thức ở mẫu) 1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n. 1.2.1 CĂN THỨC BẬC 3. Kiến thức cần nhớ: • Căn bậc 3 của một số a kí hiệu là 3 a là số x sao cho x3 a 3 • Cho a R; 3 a x x3 3 a a • Mỗi số thực a đều có duy nhất một căn bậc 3. • Nếu a 0 thì 3 a 0 . 1
2. • Nếu a 0 thì 3 a 0 . • Nếu a 0 thì 3 a 0 . a 3 a • 3 với mọi b 0 . b 3 b • 3 ab 3 a.3 b với mọi a,b . • a b 3 a 3 b . • A 3 B 3 A3B . A 3 AB2 • 3 với B 0 B B 3 A A • 3 B B3 1 3 A2  3 AB 3 B2 • với A B . 3 A 3 B A B 1.2.2 CĂN THỨC BẬC n. Cho số a R,n N;n 2 . Căn bậc n của một số a là một số mà lũy thừa bậc n của nó bằng a. • Trường hợp n là số lẻ: n 2k 1,k N Mọi số thực a đều có một căn bậc lẻ duy nhất: 2k 1 a x x2k 1 a , nếu a 0 thì 2k 1 a 0 , nếu a 0 thì 2k 1 a 0 , nếu a 0 thì 2k 1 a 0 • Trường hợp n là số chẵn: n 2k,k N . Mọi số thực a 0 đều có hai căn bậc chẵn đối nhau. Căn bậc chẵn dương kí hiệu là 2k a (gọi là căn bậc 2k số học của a ). Căn bậc chẵn âm kí hiệu là 2k a , 2k a x x 0 và x2k a ; 2k a x x 0 và x2k a . Mọi số thực a 0 đều không có căn bậc chẵn. Bài tập 1: Phân tích các biểu thức sau thành tích: a) P x4 4 b) P 8x3 3 3 c) P x4 x2 1 2
3. Lời giải: a) P x2 2 x2 2 x 2 x 2 x2 2 . 3 b) P 2x 3 3 2x 3 4x2 2 3x 3 . 2 c) P x2 1 x2 x2 x 1 x2 x 1 . Bài tập 2: Rút gọn các biểu thức: 1 a) A x x x khi x 0 . 4 1 b) B 4x 2 4x 1 4x 2 4x 1 khi x . 4 c) C 9 5 3 5 8 10 7 4 3 Lời giải: 2 1 1 1 a) A x x x x x x x 4 2 2 1 1 1 1 1 + Nếu x x thì x x A . 2 4 2 2 2 1 1 1 1 1 + Nếu x 0 x thì x x A 2 x 2 4 2 2 2 b) B 4x 2 4x 1 4x 2 4x 1 4x 1 2 4x 1 1 4x 1 2 4x 1 1 2 2 Hay B 4x 1 1 4x 1 1 4x 1 1 4x 1 1 4x 1 1 4x 1 1 1 + Nếu 4x 1 1 0 4x 1 1 x thì 4x 1 1 4x 1 1 suy 2 ra B 2 4x 1 . 3
4. 1 1 + Nếu 4x 1 1 0 4x 1 1 x thì 4 2 4x 1 1 4x 1 1 suy ra B 2 . 2 c) Để ý rằng: 7 4 3 2 3 7 4 3 2 3 Suy ra C 9 5 3 5 8 10(2 3) 9 5 3 5 28 10 3 2 9 5 3 5 5 3 .Hay C 9 5 3 5(5 3) 9 25 9 5 4 2 Bài tập 3: Chứng minh: a) A 7 2 6 7 2 6 là số nguyên. 84 84 b) B 3 1 3 1 là một số nguyên 9 9 a 1 8a 1 a 1 8a 1 c) Chứng minh rằng: x 3 a 3 a với 3 3 3 3 1 a là số tự nhiên. 8 d) Tính x y biết x x2 2015 y y2 2015 2015. Lời giải: a) Dễ thấy A 0, Tacó 2 A2 7 2 6 7 2 6 7 2 6 7 2 6 2 7 2 6. 7 2 6 14 2.5 4 Suy ra A 2 . b) Áp dụng hằng đẳng thức: u v 3 u3 v3 3uv u v . Ta có: 4
5. 3 84 84 84 84 84 84 B3 3 1 3 1 1 1 3 3 1 .3 1 9 9 9 9 9 9 84 84 3 1 3 1 . Hay 9 9 84 84 84 3 3 3 3 3 B 2 33 1 1 .B B 2 3 1 B B 2 B B B 2 0 9 9 81 2 2 2 1 7 B 1 B B 2 0 mà B B 2 B 0 suy ra B 1. 2 4 Vậy B là số nguyên. c) Áp dụng hằng đẳng thức: u v 3 u3 v3 3uv u v Ta có x3 2a 1 2a x x3 2a 1 x 2a 0 x 1 x2 x 2a 0 Xét đa thức bậc hai x2 x 2a với 1 8a 0 1 1 1 + Khi a ta có x 3 3 1 . 8 8 8 1 + Khi a , ta có 1 8a âm nên đa thức (1) có nghiệm duy nhất x 1 8 1 a 1 8a 1 a 1 8a 1 Vậy với mọi a ta có: x 3 a 3 a 1 là 8 3 3 3 3 số tự nhiên. d) Nhận xét: x2 2015 x x2 2015 x x2 2015 x2 2015 . Kết hợp với giả thiết ta suy ra x2 2015 x y2 2015 y y2 2015 y x2 2015 x x2 2015 x y2 2015 y x y 0 Bài tập 4: 5
6. a) Cho x 4 10 2 5 4 10 2 5 . Tính giá trị biểu thức: x4 4x3 x2 6x 12 P . x2 2x 12 b) Cho x 1 3 2 . Tính giá trị của biểu thức B x4 2x4 x3 3x2 1942 . c) Cho x 1 3 2 3 4 . Tính giá trị biểu thức: P x5 4x4 x3 x2 2x 2015 Giải: a) Ta có: 2 2 x 4 10 2 5 4 10 2 5 8 2 4 10 2 5 . 4 10 2 5 2 2 x2 8 2 6 2 5 8 2 5 1 8 2 5 1 6 2 5 5 1 x 5 1. Từ đó ta suy ra x 1 2 5 x2 2x 4 . 2 2 2 x 2x 2 x 2x 12 42 3.4 12 Ta biến đổi: P 1. x2 2x 12 4 12 b) Ta có x 1 3 2 x 1 3 2 x3 3x2 3x 3 0 . Ta biến đổi biểu thức P thành: P x2 (x3 3x2 3x 3) x x3 3x2 3x 3 x3 3x2 3x 3 1945 1945 c) Để ý rằng: x 3 22 3 2 1 ta nhân thêm 2 vế với 3 2 1 để tận dụng hằng đẳng thức: a3 b3 a b a2 ab b2 . Khi đó ta có: 3 2 1 x 3 2 1 3 22 3 2 1 3 2 1 x 1 3 2x x 1 2x3 x 1 3 x3 3x2 3x 1 0 . Ta biến đổi: P x5 4x4 x3 x2 2x 2015 x2 x 1 x3 3x2 3x 1 2016 2016 6
7. Chuyên đề 1: Biến đổi đại số 1.1 CĂN THỨC BẬC 2 Kiến thức cần nhớ: • Căn bậc hai của số thực a là số thực x sao cho x2 a . • Cho số thực a không âm. Căn bậc hai số học của a kí hiệu là a là một số thực không âm x mà bình phương của nó bằng a : a 0 x 0 2 a x x a • Với hai số thực không âm a,b ta có: a b a b . • Khi biến đổi các biểu thức liên quan đến căn thức bậc 2 ta cần lưu ý: 2 A A 0 + A A nếu A A 0 + A2 B A B A B với A, B 0 ; A2 B A B A B với A 0; B 0 A A.B A.B + với AB 0, B 0 B B2 B M M. A + với A 0 ;(Đây gọi là phép khử căn thức ở mẫu) A A M M A  B + với A, B 0, A B (Đây gọi là phép A B A B trục căn thức ở mẫu) 1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n. 1.2.1 CĂN THỨC BẬC 3. Kiến thức cần nhớ: • Căn bậc 3 của một số a kí hiệu là 3 a là số x sao cho x3 a 3 • Cho a R; 3 a x x3 3 a a • Mỗi số thực a đều có duy nhất một căn bậc 3. • Nếu a 0 thì 3 a 0 . 1