Chuyên đề luyện thi vào Lớp 10 môn Toán - Chuyên đề 2: Hàm số bậc nhất, hàm số bậc 2

Nội dung text: Chuyên đề luyện thi vào Lớp 10 môn Toán - Chuyên đề 2: Hàm số bậc nhất, hàm số bậc 2

1. Chuyên đề 2: Hàm số bậc nhất, hàm số bậc 2 Vấn đề 1: Hàm số bậc nhất Kiến thức cần nhớ: 1. Định nghĩa: + Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức: y ax b trong đó a và b là các số thực cho trước và a 0 . + Khi b 0 thì hàm số bậc nhất trở thành hàm số y ax , biểu thị tương quan tỉ lện thuận giữa y và x . 2. Tính chất: a) Hàm số bậc nhất , xác định với mọi giá trị x R . b) Trên tập số thực, hàm số y ax b đồng biến khi a 0 và nghịch biến khi a 0 . 3. Đồ thị hàm số y ax b với a 0 . + Đồ thị hàm số y ax b là đường thẳng cắt trục tung tại điểm có b tung độ bằng b và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng . a + a gọi là hệ số góc của đường thẳng y ax b 4. Cách vẽ đồ thị hàm số y ax b . + Vẽ hai điểm phân biệt của đồ thị rồi vẽ đường thẳng đi qua 2 điểm. + Thường vẽ đường thẳng đi qua 2 giao điểm của đồ thị với các trục b tọa độ là A ;0 , B 0;b . a 1
2. + Chú ý: Đường thẳng đi qua M m;0 song song với trục tung có phương trình: x m 0 , đường thẳng đi qua N 0;n song song với trục hoành có phương trình: y n 0 5. Kiến thức bổ sung. Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A x1; y1 , B x2; y2 thì 2 2 AB x2 x1 y2 y1 . Điểm M x; y là trung điểm của AB thì x x y y x 1 2 ; y 1 2 . 2 2 6. Điều kiện để hai đường thẳng song song , hai đường thẳng vuông góc. Cho hai đường thẳng d1 : y ax b và đường thẳng d2 : y a' x b' với a,a' 0 . • (d1) / /(d2 ) a a' và b b' . • (d1)  (d2 ) a a' và b b'. • d1 cắt d2 a a'. • (d1)  (d2 ) a.a' 1 Chú ý: Gọi là góc tạo bởi đường thẳng y ax b và trục Ox , nếu a 0 thì tan a . Dạng 1: Một số bài toán trên mặt phẳng tọa độ: Bài tập 1: Cho đường thẳng d1 : y x 2 và đường thẳng 2 2 d2 : y 2m m x m m . a) Tìm m để (d1) / /(d2 ) . b) Gọi A là điểm thuộc đường thẳng (d1) có hoành độ x 2 . Viết phương trình đường thẳng (d3 ) đi qua A vuông góc với (d1) . 2
3. c) Khi (d1) / /(d2 ) . Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d1), d2 . d) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d1) và tính diện tích tam giác OMN với M , N lần lượt là giao điểm của (d1) với các trục tọa độ Ox,Oy . Lời giải: a) Đường thẳng (d1) / /(d2 ) khi và chỉ khi 2m2 m 1 m 1 2m 1 0 1 m . 2 m m 2 m 1 m 2 0 2 1 Vậy với m thì (d ) / /(d ) . 2 1 2 b) Vì A là điểm thuộc đường thẳng (d1) có hoành độ x 2 suy ra tung độ điểm A l y 2 2 4 A 2;4 . Đường thẳng d1 có hệ số góc là a 1, đường thẳng d2 có hệ số góc là a' a'.1 1 a' 1 . Đường thẳng d3 có dạng y x b . Vì d3 đi qua A 2;4 suy ra 4 2 b b 6 . Vậy đường thẳng d3 là y x 6 . c) Khi (d1) / /(d2 ) thì khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 và d2 cũng chính là khoảng cách giữa hai điểm A, B lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho AB  (d1), AB  d2 . (d3) Hình vẽ: Gọi B là giao điểm của đường thẳng A (d1) (d3 ) và (d2 ) . Phương trình hoành độ giao điểm B (d2) của d2 và d3 là: 1
4. 1 25 23 25 23 x 6 x x y B ; . 4 8 8 8 8 2 2 25 23 9 2 Vậy độ dài đoạn thẳng AB là: AB 2 4 . 8 8 8 d) Gọi M , N lần lượt là giao điểm của đường thẳng d1 với các trục tọa độ Ox,Oy . Ta có: Cho y 0 x 2 A 2;0 , cho y 0 x 2 N 2;0 . Từ đó suy ra OM ON 2 MN 2 2 .Tam giác OMN vuông cân tại O . 1 Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên MN ta có OH MN 2 2 1 và S OM.ON 2 ( đvdt). OMN 2 Chú ý 1: Nếu tam giác OMN không vuông cân tại O ta có thể tính OH theo cách: y Trong tam giác vuông OMN ta có: 1 1 1 N (*). Từ đó để khoảng cách từ điểm O OH 2 OA2 OB2 H đến đường thẳng (d) ta làm theo cách: O M x + Tìm các giao điểm M , N của (d) với các trục tọa độ + Áp dụng công thức tính đường cao từ đỉnh góc vuông trong tam giác vuông OMN (công thức (*)) để tính đoạn OH . Bằng cách làm tương tự ta có thể chứng minh được công thức sau: 2
5. Cho M x0; y0 và đường thẳng ax by c 0. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng là: ax by c d 0 0 . a2 b2 Bài tập 2:Cho đường thẳng mx 2 3m y m 1 0 (d) . a) Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. b) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất. c) Tìm m để đường thẳng (d) cắt các trục tọa độ Ox,Oy lần lượt tại A, B sao cho tam giác OAB cân. Lời giải: a) Gọi I x0; y0 là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua với mọi m khi đó ta có: mx0 2 3m y0 m 1 0m m x0 3y0 1 2y0 1 0m 1 x0 x0 3y0 1 0 2 1 1 . Hay I ; . 2y 1 0 1 2 2 0 y 0 2 b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng (d) . Ta có: OH OI suy ra OH lớn nhất bằng OI khi và chỉ khi H  I OI  (d) . Đường thẳng qua O có phương trình: y ax do 1 1 1 1 I ; OI a. a 1 OI : y x . 2 2 2 2 Đường thẳng (d) được viết lại như sau: mx 2 3m y m 1 0 2 3m y mx 1 m . 1
6. Chuyên đề 2: Hàm số bậc nhất, hàm số bậc 2 Vấn đề 1: Hàm số bậc nhất Kiến thức cần nhớ: 1. Định nghĩa: + Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức: y ax b trong đó a và b là các số thực cho trước và a 0 . + Khi b 0 thì hàm số bậc nhất trở thành hàm số y ax , biểu thị tương quan tỉ lện thuận giữa y và x . 2. Tính chất: a) Hàm số bậc nhất , xác định với mọi giá trị x R . b) Trên tập số thực, hàm số y ax b đồng biến khi a 0 và nghịch biến khi a 0 . 3. Đồ thị hàm số y ax b với a 0 . + Đồ thị hàm số y ax b là đường thẳng cắt trục tung tại điểm có b tung độ bằng b và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng . a + a gọi là hệ số góc của đường thẳng y ax b 4. Cách vẽ đồ thị hàm số y ax b . + Vẽ hai điểm phân biệt của đồ thị rồi vẽ đường thẳng đi qua 2 điểm. + Thường vẽ đường thẳng đi qua 2 giao điểm của đồ thị với các trục b tọa độ là A ;0 , B 0;b . a 1