Chuyên đề luyện thi vào Lớp 10 môn Toán - Chuyên đề 6: Một số phương pháp giải hệ phương trình

Nội dung text: Chuyên đề luyện thi vào Lớp 10 môn Toán - Chuyên đề 6: Một số phương pháp giải hệ phương trình

1. Chuyên đề 6: Một số phương pháp giải hệ phương trình Dạng 1: Hệ đối xứng loại 1 1) Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 1 nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình đó không đổi 2) Tính chất Nếu x0 , y0 là một nghiệm thì hệ y0 , x0 cũng là nghiệm S x y 2 3) Cách giải: Đặt điều kiện S 4P quy hệ phương P x.y trình về 2 ẩn S, P Chú ý: Trong một số hệ phương trình đôi khi tính đối xứng chỉ thể hiện trong một phương trình. Ta cần dựa vào phương trình đó để tìm quan hệ S, P từ đó suy ra qua hệ x, y . Bài tập 1: Giải các hệ phương trình sau: 3 3 x y 2xy 2 x y 19 a) 3 3 b) x y 8 x y 8 xy 2 3 2 3 2 2 x y 3 x y xy x y xy 3 c) d) 3 3 x 1 y 1 4 x y 6 HD: S x y 2 a) Đặt điều kiện S 4P hệ phương trình đã cho trở thành: P x.y 2 S P S 2P 2 2 2 S S 3P 8 2 6 3S S S 8 2 2S 3 3S 2 6S 16 0 S 2 2S 2 7S 8 0 S 2 P 0 Suy ra x, y là hai nghiệm của phương trình: X 2 2X 0 X 0, X 2 1
2. x 0 x 2  y 2 y 0 S x y 2 b) Đặt điều kiện S 4P hệ phương trình đã cho trở thành: P x.y 2 S S 3P 19 SP 8S SP 8S S 1 S 3 3 2 8S 19 3 P 6 S 8 P 2 S 24S 25 0 . Suy ra x, y là hai nghiệm của phương trình: 2 X X 6 0 X1 3; X 2 2 Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm x; y 2;3 , 3; 2 3 3 2 2 2 a b 3 a b b a c) Đặt a 3 x,b 3 y hệ đã cho trở thành: . a b 6 S a b 2 Đặt điều kiện S 4P thì hệ đã cho trở thành. P ab 3 2 S 3SP 3SP 2 36 3P 3P S 6 . S 6 S 6 P 8 Suy ra a,b là 2 nghiệm của phương trình: 2 a 2 x 8 a 4 x 64 X 6X 8 0 X1 2; X 2 4  b 4 y 64 b 2 y 8 Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm x; y 8;64 , 64;8 xy 0 S x y 2 d) Điều kiện: . Đặt điều kiện S 4P hệ phương x, y 1 P x.y trình đã cho trở thành: 2
3. 2 S P 3 S 3; P S 3 2 S 2 2 S P 1 16 2 S S 3 1 14 S 2 3 S 14; P S 3 3 S 14; P S 3 2 2 2 4 S 8S 10 196 28S S S 30S 52 0 S 6 . Vậy hệ đã cho có nghiệm x; y 3;3 . P 9 x y 3 Bài tập 2: Giải các hệ phương trình sau: 2 2 2xy x2 y2 2xy 8 2 x y 1 a) c) x y x y 4 2 x y x y 1 x y 1 5 3 2 2 3 xy x y 1 y x y 2 y xy 30 0 b) d) 1 x2 y x 1 y y2 y 11 0 x2 y2 1 9 2 2 x y HD: a) Đặt x a, y b điều kiện a,b 0 . a4 b4 2ab 8 2 Hệ phương trình trở thành: . Ta viết lại hệ a b 4 (a b)4 4ab(a b)2 2a2b2 2ab 8 2 phương trình thành: a b 4 S a b S 2 4P Đặt điều kiện thì hệ đã cho trở thành. P ab S, P 0 256 64P 6P2 2P 8 2 S P 4 a b 2 x y 4 S 4 Ngoài ra ta cũng có thể giải ngắn gọn hơn như sau: 1
4. 2 2 2 x y 2 xy 16 x y 2 xy 16 2 x2 y2 x y (x y)2 0 x y 2 x 4 x 4 Vậy hệ có một cặp nghiệm duy nhất x; y 4;4 b) Điều kiện: x y 0 . Biến đổi phương trình (1): 2xy 2 2xy x2 y2 1 x y 1 2xy 0 x y x y 2P Đặt x y S, xy P ta có phương trình: S 2 2P 1 0 S S 3 2P 2SP S 0 S(S 2 1) 2P(S 1) 0 (S 1)(S 2 S 2P) 0 . Vì S 2 4P, S 0 suy ra S 2 S 2P 0 . Do đó S 1 Với x y 1 thay vào (2) ta được: 1 1 y 2 y y 0, y 3 2xy Xét x y 1 x y 1 1 x2 y2 x2 y2 x y 0 (khôn x y g thỏa mãn điều kiện). Vậy hệ đã cho có nghiệm x; y 1;0 , 2;3 . c) Điều kiện: xy 0 . Hệ đã cho tương đương: 1 1 1 1 x y 5 x y 5 x y x y . 1 1 2 2 x2 y2 9 1 1 x2 y2 x y 9 x y 1 1 x y S x y Đặt 1 1 x . y P x y Hệ trở thành: 2
5. 1 1 x 2; y 3 S 2 2P 9 x y S 5, P 6 . S 5 1 1 x 3; y 2 x y 3 5 x 1; y 2 . Vậy hệ đã cho có nghiệm: 3 5 x ; y 1 2 3 5 3 5 x; y 1; , ;1 . 2 2 xy x y x y xy 30 d) Hệ tương đương với : . xy x y x y xy 11 Đặt xy x y a; xy x y b . Ta thu được hệ: xy x y 5 ab 30 a 5;b 6 xy x y 6 . a b 11 a 6;b 5 xy x y 6 xy x y 5 xy 2 xy x y 6 x y 3 x 2; y 1 TH1: xy x y 5 xy 3 x 1; y 2 (L) x y 2 xy 5 5 21 5 21 (L) x ; y xy x y 5 x y 1 2 2 TH2: . xy x y 6 xy 1 5 21 5 21 x ; y x y 5 2 2 5 21 5  21 Vậy hệ có nghiệm: x; y 1;2 , 2;1 , ; . 2 2 1
6. Chuyên đề 6: Một số phương pháp giải hệ phương trình Dạng 1: Hệ đối xứng loại 1 1) Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 1 nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình đó không đổi 2) Tính chất Nếu x0 , y0 là một nghiệm thì hệ y0 , x0 cũng là nghiệm S x y 2 3) Cách giải: Đặt điều kiện S 4P quy hệ phương P x.y trình về 2 ẩn S, P Chú ý: Trong một số hệ phương trình đôi khi tính đối xứng chỉ thể hiện trong một phương trình. Ta cần dựa vào phương trình đó để tìm quan hệ S, P từ đó suy ra qua hệ x, y . Bài tập 1: Giải các hệ phương trình sau: 3 3 x y 2xy 2 x y 19 a) 3 3 b) x y 8 x y 8 xy 2 3 2 3 2 2 x y 3 x y xy x y xy 3 c) d) 3 3 x 1 y 1 4 x y 6 HD: S x y 2 a) Đặt điều kiện S 4P hệ phương trình đã cho trở thành: P x.y 2 S P S 2P 2 2 2 S S 3P 8 2 6 3S S S 8 2 2S 3 3S 2 6S 16 0 S 2 2S 2 7S 8 0 S 2 P 0 Suy ra x, y là hai nghiệm của phương trình: X 2 2X 0 X 0, X 2 1