Chuyên đề luyện thi vào Lớp 10 môn Toán - Chuyên đề 7: Bất đẳng thức Cauchy - Côsi

Nội dung text: Chuyên đề luyện thi vào Lớp 10 môn Toán - Chuyên đề 7: Bất đẳng thức Cauchy - Côsi

1. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY - CÔ SI (AM – GM) I.LÝ THUYẾT 1. Tên gọi: Bất đẳng thức Cauchy (AM- GM) hay còn gọi là BĐT Trung bình cộng và Trung bình Nhân. Ngoài ra còn 1 số sách và 1 số giáo viên thường gọi là Cô si. 2. Định nghĩa: Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau. 3. Tổng quát: Ở cấp THCS, Tài liệu xin phép chỉ đưa ra hai công thức tổng quát sau: a b Với a,b 0 thì ab , Dấu “ = “ khi và chỉ khi a b 2 a b c Với a,b,c 0 thì 33 abc , Dấu “ = “ khi và chỉ khi a b c 3 II.CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP CÔNG THỨC Bài 1: Cho x, y, z 0 , CMR : x y y z z x 8xyz HD: Áp dụng Cô si cho hai số x, y 0 , ta có: x y 2 xy , y z 2 yz Làm tương tự ta sẽ có : , Nhân theo vế ta được: x y y z z x 8xyz z x 2 zx x y Dấu “ = “ khi và chỉ khi: y z x y z z x Bài 2: Cho a,b,c 0 và abc 1 , CMR: a 1 b 1 c 1 8 HD : Áp dụng Cô si cho hai số không âm a,1 , ta có : a 1 2 a b 1 2 b Tương tự ta sẽ có : a 1 b 1 c 1 8 abc 8 c 1 2 c Dấu “ = “ khi và chỉ khi: a b c 1 Bài 3: Cho a,b không âm. CMR: a b ab 1 4ab HD : Áp dụng Cô si cho hai số không âm a,b , ta có : a b 2 ab Tương tự : ab 1 2 ab , nhân theo vế ta được : a b ab 1 4ab a b Dấu “ = “ khi và chỉ khi a b 1 ab 1 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1
2. x y z Bài 4: Cho 3 số x,y,z >0, CMR: 3 y z x HD: x2 yz x y z x y z x y z 2 Ta có: 33 . . 3, Dấu bằng khi y xz x y z y z x y z x y z x 2 z xy Bài 5: CMR: a4 b4 c4 d 4 4abcd , Với mọi a,b,c,d HD : 4 Vì a4,b4,c4,d 4 là 4 số dương => a4 b4 c4 d 4 4 4 abcd 4abcd Dấu “ = “ khi và chỉ khi a b c d Bài 6: Cho a,b,c,d 0;abcd 1. CMR: a2 b2 c2 d 2 ab cd 6 HD : a2 b2 2ab Ta có : a2 b2 c2 d 2 ab cd 3 ab cd 3.2 abcd 6 2 2 c d 2cd Dấu “ = “ khi và chỉ khi a=b=c=1. a2 b2 c2 c b a Bài 7: CMR: b2 c2 a2 b a c HD: a2 b2 a2 b2 a Áp dụng Cô si cho hai số không âm ; , ta có : 2. , b2 c2 b2 c2 c b2 c2 b c2 a2 c Tương tự : 2. , và 2. c2 a2 a a2 b2 b a2 b2 c2 a b c Cộng theo vế ta được : 2 2 2 2 2 VT VP b c a c a b Dấu “ = “ xảy ra khi: a b c bc ca ab Bài 8: Cho a,b,c > 0. CMR: a b c a b c HD : bc ca b a Ta có: c 2c , a b a b ca ab c b Tương tự: a 2a b c b c ab bc a c b 2b c a c a Cộng theo vế ta được: 2VT 2VP a b c 1 1 1 1 Bài 9: Cho a,b,c 0 . CMR : 2 2 2 2 2 2 a b b c c a 2 a b c HD: Áp dụng Cô si cho hai số a2 ,b2 0 , ta có: a2 b2 2ab 2 2 b c 2bc a b c 1 1 1 1 1 1 1 Làm tương tự ta sẽ có VT 2 2 c a 2ca 2ab 2bc 2ca 2b 2c 2a 2 a b c Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 2
3. a b Dấu “ = “ khi và chỉ khi: b c a b c c a 1 1 1 Bài 10: CMR: Với mọi a,b,c 0 , thì P a b c 9 a b c HD: Áp dụng Cô si cho ba số dương, ta có: a b c 33 abc 1 1 1 1 33 a b c abc 1 1 1 Nhân theo vế ta được: a b c 9 a b c a b c Dấu “ = “ khi và chỉ khi: 1 1 1 a b c a b c 1 1 1 9 Chú ý: Với A, B, C dương ta có: A B C A B C Bài 11: Cho a,b,c 0 và a b c 3 a b c 3 1 1 1 CMR : 1 a2 1 b2 1 c2 2 1 a 1 b 1 c HD: a 1 2 2 1 a 2 1 a 2a 2 b 1 1 b 2b 1 b2 2 * Ta có: 2 1 c 2c c 1 2 1 c 2 a b c 1 1 1 3 1 a2 1 b2 1 c2 2 2 2 2 1 a x 1 * Đặt 1 b y x y z a b c 3 6 6 x y z 1 c z 1 1 1 3 Cần chứng minh: B x y z 2 1 1 1 1 1 1 9 9 3 Ta có: x y z 9 x y z x y z x y z 6 2 1 1 1 3 Suy ra B x y z 2 a b c 3 Bài 12: Cho a,b,c là ba số dương, CMR: b c c a a b 2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 3
4. HD: 1 1 1 Ta có: Áp dụng bất đẳng thức : x y z 9 x y z x a b 1 1 1 Đặt y b c 2 a b c 9 a b b c c a z c a a b c a b c a b c 9 a b c 9 3 3 a b b c c a 2 b c c a a b 2 2 a b 1 3 Bài 13: Cho a,b > 0, CMR: b 1 a 1 a b 2 HD : a b 1 1 1 1 VT 1 1 1 3 a b 1 3 b 1 a 1 a b b 1 a 1 a b 1 1 1 1 9 3 a 1 b 1 a b 3 3 2 a 1 b 1 a b 2 2 a b c Bài 14: Với a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác CMR: 3 b c a c a b a b c HD : abc Ta có : VT 33 b c a c a b a b c Lại có : b c a c a b 2 b c a c a b 2c 2 b c a c a b , Tương tự ta có : a c a b a b c và b b c a a b c abc => abc b c a c a b a b c => 1 VT 33 1 3 b c a c a b a b c 1 1 1 a b c Bài 15: Cho a,b,c > 0, CMR: a2 bc b2 ac c2 ab 2abc HD : Co si cho hai số : a2 ,bc , Ta được: 2 1 1 2 1 1 1 a bc 2a bc 2 2 a bc 2a bc a bc 2 ab bc Tương tự ta có : 2 1 1 1 2 1 1 1 2 và 2 b ac 2 ab bc c ab 2 ca cb 1 1 1 a b c a b c Cộng theo vế ta được : 2VT VT ab bc ca abc 2abc Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 4
5. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY - CÔ SI (AM – GM) I.LÝ THUYẾT 1. Tên gọi: Bất đẳng thức Cauchy (AM- GM) hay còn gọi là BĐT Trung bình cộng và Trung bình Nhân. Ngoài ra còn 1 số sách và 1 số giáo viên thường gọi là Cô si. 2. Định nghĩa: Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau. 3. Tổng quát: Ở cấp THCS, Tài liệu xin phép chỉ đưa ra hai công thức tổng quát sau: a b Với a,b 0 thì ab , Dấu “ = “ khi và chỉ khi a b 2 a b c Với a,b,c 0 thì 33 abc , Dấu “ = “ khi và chỉ khi a b c 3 II.CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP CÔNG THỨC Bài 1: Cho x, y, z 0 , CMR : x y y z z x 8xyz HD: Áp dụng Cô si cho hai số x, y 0 , ta có: x y 2 xy , y z 2 yz Làm tương tự ta sẽ có : , Nhân theo vế ta được: x y y z z x 8xyz z x 2 zx x y Dấu “ = “ khi và chỉ khi: y z x y z z x Bài 2: Cho a,b,c 0 và abc 1 , CMR: a 1 b 1 c 1 8 HD : Áp dụng Cô si cho hai số không âm a,1 , ta có : a 1 2 a b 1 2 b Tương tự ta sẽ có : a 1 b 1 c 1 8 abc 8 c 1 2 c Dấu “ = “ khi và chỉ khi: a b c 1 Bài 3: Cho a,b không âm. CMR: a b ab 1 4ab HD : Áp dụng Cô si cho hai số không âm a,b , ta có : a b 2 ab Tương tự : ab 1 2 ab , nhân theo vế ta được : a b ab 1 4ab a b Dấu “ = “ khi và chỉ khi a b 1 ab 1 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1