Chuyên đề luyện thi vào Lớp 10 môn Toán - Chuyên đề 8: Cực trị hình học (Bất đẳng thức hình học)

Nội dung text: Chuyên đề luyện thi vào Lớp 10 môn Toán - Chuyên đề 8: Cực trị hình học (Bất đẳng thức hình học)

1. Chuyên đề 8: Cực trị hình học (Bất đẳng thức hình học) Dạng 1: Sử dụng các tính chất hình học đơn giản 1) Bất đẳng thức liên hệ giữa độ dài các cạnh một tam giác. AB - AC < BC < AB + BC Chú ý rằng: a). Với 3 điểm A,B,C bất kỳ ta luôn có: AB + BC ³ AC . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A,B,C thẳng hàng và điểm B nằm giữa hai điểm A,C . b) Với 3 điểm A,B,C bất kỳ ta luôn có: AB - AC £ BC . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A,B,C thẳng hàng và điểm B nằm giữa hai điểm A,C . c) Cho hai điểm A,B nằm về một phía đường thẳng (d) . Điểm M chuyển động trên đường thẳng (d) . Gọi A ' là điểm đối xứng với A qua (d) . Ta có kết quả sau: B A M0 (d) M1 M A' 1
2. + MA + MB = MA '+ MB ³ A 'B . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm cuả A 'B và đường thẳng (d) .( M trùng với M 0 ) + MA - MB £ AB . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm cuả AB và đường thẳng (d) ( M trùng với M 1 ). d) Cho hai điểm A,B nằm về hai phía đường thẳng (d) . Điểm M chuyển động trên đường thẳng (d) . Gọi A ' là điểm đối xứng với A qua (d) . Ta có kết quả sau: B A' M0 (d) M1 M A + MA + MB ³ AB . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm cuả AB và đường thẳng (d) .( M trùng với M 0 ) + MA - MB = MA '- MB £ A 'B . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm cuả A 'B và đường thẳng (d) ( M trùng với M 1 ). e) Trong quá trình giải toán ta cần lưu ý tính chất: Đường vuông góc luôn nhỏ hơn hoặc bằng đường xiên. A Trong hình vẽ: AH £ AB 2 H B
3. 2) Trong một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất 3) Cho đường tròn (O;R) và một điểm A . Đường thẳng AO cắt đường tròn tại hai điểm M 1,M 2 . Giả sử AM 1 £AM 2 . Khi đó với mọi điểm M nằm trên đường tròn ta luôn có: AM 1 £ AM £ AM 2 Bài tập 1:Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác . Chứng minh rằng: a) MB + MC < AB + AC 1 b) (AB + BC + CA)< MA + MB + MC < AB + BC + CA 2 c) BM + MN + NC < AB + AC trong đó điểm N nằm trong tam giác sao cho MN cắt hai cạnh AB,AC HD: A a) Đường thẳng BM cắt AC ở P . P Áp dụng BĐT(1) ta có: N F M E MB + MC < MB + MP + PC B C = BP + PC < AB + AP + PC = AB + AC b) Theo trên ta có: BC < MB + MC < AB + AC;CA < MC + MA < AB + BC; AB < MA + MB < AC + BC . Cộng theo từng vế các BĐT trên ta có điều phải chứng minh. 1
4. c) Áp dụng câu 1) ta có: BM + MN + NC AB - BM ,AM > AC - MC Suy ra 2AM > AB + AC - (MC + MC) Û 2AM > AB + AC - BC + Gọi D là điểm đối xứng với A qua M thì ABDC là hình bình hành nên AB = CD và AD = 2AM . Trong tam giác ACD ta có: AD < AC + CD Û 2AM < AB + AC AB + AC - BC AB + AC Như vậy: < AM < . 2 2 2
5. b). Áp dụng bất đẳng thức ở câu a) Cho 3 đường trung tuyến AB + AC - BC AB + AC AM ,BN,CP ta có: AC thì BH > CH Þ BM A·DC Þ A·DB tù. Do đó D thuộc đoạn BH . Lấy điểm P trên AB sao cho AP = AC Þ DADP = DADC (c.g.c) Þ DP = DC,A·PD = A·CD . + Nếu A·CB £ 900 (hình) thì A·PD = A·CB £ 900 Þ B·PD ³ 900 > A·CB > P·BD 1
6. Þ BD > PD = CD Þ BM DH Þ AM > AD . + Nếu A·CB > 900 (hình) thì B·PD = A·CH > A·DC > A·BC Þ BD > PD = CD Þ BM DH Þ AM > AD . Bài tập 3: a) Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm là điểm H . Chứng 2 minh rằng: HA + HB + HC < (AB + BC + CA) 3 HD: Dựng đường thẳng qua H song song với A AB cắt AC tại D . Dựng đường thẳng D qua H song song AC cắt AB tại E . E Tứ giác AEHD là hình bình hành nên H AD = HE,AE = HD B C A' Xét tam giác AHD ta có: HA < HD + AD Û HA < AE + AD (1) . Vì HE / / AC mà AC ^ BH Þ HE ^ BH . Trong tam giác vuông HBE ta có: HB < BE (2) Tương tự ta có: HC < DC (3). Cộng các bất đẳng thức cùng chiều (1),(2),(3) ta suy ra HA + HB + HC < (AE + EB) + (AD + DC) = AB + AC Tương tự ta cũng có: HA + HB + HC < AC + BC,HA + HB + HC < AB + BC 2 Suy ra HA + HB + HC < (AB + BC + CA). 3 2
7. Bài tập 4) Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 3a . M là một điểm tùy ý trên cạnh BC , gọi P,Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên AB,AC . Tìm vị trí điểm M để: a) PQ có độ dài nhỏ nhất b) Dựng một đường thẳng song song với BC cắt AB,AC tại E,F sao cho AE = 2a .Tìm vị trí điểm M sao cho MA + ME + MF nhỏ nhất. HD: a). Hạ PH ^ BC,QK ^ BC . Ta có SDABC = SDABM + SDAMC Û 9a2 3 3a = (MP + MQ) 4 2 3a 3 Þ MP + MQ = 2 Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông MPB,MQC ta tính được: MP 3 MQ 3 HM = ,MK = Þ 2 2 3 9a HK = MH + MK = (MP + MQ) = . 2 4 Vì PQ ³ HK . Nên PQ nhỏ nhất bằng HK khi và chỉ khi PQ / / HK Û M là trung điểm của BC b). Gọi R là điểm đối xứng với E qua BC , I là trung điểm của BC . Ta dễ chứng minh được R,I ,F thẳng hàng. 1
8. Chuyên đề 8: Cực trị hình học (Bất đẳng thức hình học) Dạng 1: Sử dụng các tính chất hình học đơn giản 1) Bất đẳng thức liên hệ giữa độ dài các cạnh một tam giác. AB - AC < BC < AB + BC Chú ý rằng: a). Với 3 điểm A,B,C bất kỳ ta luôn có: AB + BC ³ AC . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A,B,C thẳng hàng và điểm B nằm giữa hai điểm A,C . b) Với 3 điểm A,B,C bất kỳ ta luôn có: AB - AC £ BC . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A,B,C thẳng hàng và điểm B nằm giữa hai điểm A,C . c) Cho hai điểm A,B nằm về một phía đường thẳng (d) . Điểm M chuyển động trên đường thẳng (d) . Gọi A ' là điểm đối xứng với A qua (d) . Ta có kết quả sau: B A M0 (d) M1 M A' 1