Chuyên đề luyện thi vào Lớp 10 môn Toán - Chuyên đề 9: Quỹ tích

Nội dung text: Chuyên đề luyện thi vào Lớp 10 môn Toán - Chuyên đề 9: Quỹ tích

1. Chuyên đề 9: Quỹ Tích Phương pháp chung để giải bài toán quỹ tích I). Định nghĩa: Một hình H được gọi là tập hợp điểm ( Quỹ tích) của những điểm M thỏa mãn tính chất A khi và chỉ khi nó chứa và chỉ chứa những điểm có tính chất A . II). Phương pháp giải toán: Để tìm một tập hợp điểm M thỏa mãn tính chất A ta thường làm theo các bước sau: Bước 1: Tìm cách giải: + Xác định các yếu tố cố định, không đổi, các tính chất hình học có liên quan đến bài toán + Xác định các điều kiện của điểm M + Dự đoán tập hợp điểm. Bước 2: Trình bày lời giải: A. Phần thuận:Chứng minh điểm M thuộc hình H B. Giới hạn: Căn cứ vào các vị trí đặc biệt của điểm M để chứng minh điểm M chỉ thuộc một phần B của hình H ( Nếu có) C. Phần đảo: Lấy điểm M bất kỳ thuộc B . Ta chứng minh điểm M thoả mãn các tính chất A D. Kết luận: Tập hợp các điểm M là hình B . (Nêu rõ hình dạng và cách dựng hình B ) III). MỘT SỐ DẠNG QUỸ TÍCH CƠ BẢN TRONG CHƯƠNG TRÌNH THCS 1
2. Dạng 1: Tập hợp điểm là đường trung trực Tập hợp các điểm M cách đều hai điểm A, B cho trước là đường trung trực của đoạn thẳng AB Bài tập 1: Cho góc xOy cố định và điểm A cố định nằm trên tia Ox . B là điểm chuyển động trên tia Oy , Tìm tập hợp trung điểm M của AB a) Phần thuận: + Xét tam giác vuông OAB ta có : y B OM MA MB nên z tam giác OAM cân tại M . Mặt khác OA cố định M suy ra M nằm trên đường trung trực của đoạn O x M1 A thẳng OA . b) Giới hạn: + Khi B trùng với O thì M  M1 là trung điểm OA + Khi B chạy xa vô tận trên tia OB thì M chạy xa vô tận trên tia M1z c) Phần đảo . Lấy M bất kỳ thuộc tia M1z , AM cắt Oy tại B . Suy ra MO MA M· AO M· OA. Mặt khác O· BM B· OM (cùng phụ với góc M· AO M· OA ) MO MB . Suy ra MO MA MB . Hay M là trung điểm của AB . d) Kết luận: Tập hợp các trung điểm M của AB là đường trung trực của đoạn OA . 2
3. Dạng 2: Tập hợp điểm là tia phân giác Tập hợp các điểm M nằm trong góc xOy khác góc bẹt và cách đều hai cạnh của góc xOy là tia phân giác của góc xOy . y z M O x Bài tập 1) Cho góc xOy trên tia Ox lấy điểm A cố định . B là điểm chuyển động trên tia Oy . Tìm tập hợp các điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại C . Giải: y a) Phần thuận: z B Dựng CH,CK lần lượt vuông góc với Ox,Oy K C thì vCAH vCBK CH CK . C1 Mặt khác góc xOy cố định x O A H suy ra C tia phân giác Oz của góc xOy b) Giới hạn, Phần đảo: Dành cho học sinh. c) Kết luận:Tập hợp điểm C là tia phân giác Oz của góc xOy Dạng 3: Tập hợp điểm là đường thẳng, đường thẳng song song Ta thường gặp các dạng tập hợp cơ bản như sau: 1
4. 1. Tập hợp các điểm M nằm trên đường thẳng đi qua các điểm cố định A, B là đường thẳng AB 2. Tập hợp các điểm M nằm trên đường thẳng đi qua điểm cố định A tạo với đường thẳng (d) một góc không đổi 3. Tập hợp các điểm M cách đường thẳng (d) cho trước một đoạn không đổi h là các đường thẳng song song với (d) và cách đường thẳng (d) một khoảng bằng h Bài tập 1: Cho tam giác ABC .Tìm tập hợp các điểm M sao cho S MAB a 0 cho trước. SMAC Hướng dẫn: A Phần thuận: Gọi D là giao điểm của AM và BC . M H BH,CK Vẽ lần lượt vuông góc D B C với AM , H, K AM K S BH S DB Ta có: MAB ABD a . SMAC CK SACD DC BD a 1 a Suy ra 1 DB BC D là điểm cố định . CD a a 1 Vậy điểm M nằm trên đường thẳng (d) cố định đi qua A, D . Phần còn lại dành cho học sinh. Bài tập 2: Cho tam giác ABC và điểm K chuyển động trên cạnh AC, P là điểm chuyển động trên trung tuyến BD của tam giác ABC sao cho SAPK SBPC . Gọi M là giao điểm của AP, BK Tìm tập hợp các điểm M . 2
5. Hướng dẫn: Bài toán liên quan đến diện tích nên ta A dựng các đường cao F E K MF  AC, BE  AC, AH  BD,CI  BD I M1 M D Ta dễ chứng minh được: H P SABK MK MF SABD AH AD B C , 1 M2 SAMK BK BE SBDC CI DC SAPB AH Mặt khác ta cũng có: 1. Từ giả thiết ta suy ra SAPK SAPB . SBPC CI S MK 1 Nhưng APK 1 BM BK SAPB BM 2 Vậy tập hợp điểm M là đường trung bình song song với cạnh AC của tam giác ABC trừ hai trung điểm M1, M 2 của tam giác ABC điểm I . Bài tập 3: Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB,CD vuông góc với nhau . Một điểm M chuyển động trên đoạn thẳng AB ( M không trùng với O,A,B) . Đường thẳng CM cắt (O) tại giao điểm thứ 2 là N . Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của (O) ở điểm P . Chứng minh rằng điểm P luôn chạy trên một đoạn thẳng cố định: Hướng dẫn: C Điểm M,N cùng nhìn đoạn OP dưới một góc vuông nên tứ giác MNPO nội A M O tiếp suy ra M· NO M· PO M· DO . Từ đó B suy ra MODP là hình chữ nhật . Do đó N 1 P D
6. MP OD R . Vậy điểm P nằm trên đường thẳng song song với AB cách AB một khoảng không đổi R Giới hạn: P thuộc đoạn thẳng nằm giữa hai tiếp tuyến tại A,B của (O) Bài tập 4: Cho nữa đường tròn đường kính BC trên nữa đường tròn lấy điểm A ( Khác B,C ) . Kẻ AH vuông góc với BC(H BC) . Trên cung AC lấy điểm D bất kỳ (khác A,C) . Đường thẳng BD cắt AH tại điểm I.Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AID luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi D thay đổi trên cung AC . Hướng dẫn: · 0 · · D Ta có: BDC 90 , BAH ACB A cùng phụ với góc Bµ . Mặt khác A· DB A· CB K I (cùng chắn cung AB ). Suy ra C B H O B· AI A· DI suy ra AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADI . Mặt khác AC cố định AC  AB nên tâm K của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADI luôn thuộc đường thẳng AC . Dạng 4: Tập hợp điểm là đường tròn, cung chứa góc 1. Nếu A, B cố định. Thì tập hợp các điểm M sao cho ·AMB 900 là đường tròn đường kính AB ( Không lấy các điểm A, B ) 2. Nếu điểm O cố định thì tập hợp các điểm M cách O một khoảng không đổi R là đường tròn tâm O bán kính R . 3. Tập hợp các điểm M tạo thành với 2 đầu mút của đoạn thẳng AB cho trước một góc M· AB không đổi 0 1800 là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB . Gọi tắt là ‘’cung chứa góc ‘’ 2
7. Chuyên đề 9: Quỹ Tích Phương pháp chung để giải bài toán quỹ tích I). Định nghĩa: Một hình H được gọi là tập hợp điểm ( Quỹ tích) của những điểm M thỏa mãn tính chất A khi và chỉ khi nó chứa và chỉ chứa những điểm có tính chất A . II). Phương pháp giải toán: Để tìm một tập hợp điểm M thỏa mãn tính chất A ta thường làm theo các bước sau: Bước 1: Tìm cách giải: + Xác định các yếu tố cố định, không đổi, các tính chất hình học có liên quan đến bài toán + Xác định các điều kiện của điểm M + Dự đoán tập hợp điểm. Bước 2: Trình bày lời giải: A. Phần thuận:Chứng minh điểm M thuộc hình H B. Giới hạn: Căn cứ vào các vị trí đặc biệt của điểm M để chứng minh điểm M chỉ thuộc một phần B của hình H ( Nếu có) C. Phần đảo: Lấy điểm M bất kỳ thuộc B . Ta chứng minh điểm M thoả mãn các tính chất A D. Kết luận: Tập hợp các điểm M là hình B . (Nêu rõ hình dạng và cách dựng hình B ) III). MỘT SỐ DẠNG QUỸ TÍCH CƠ BẢN TRONG CHƯƠNG TRÌNH THCS 1