Đề khảo sát học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD&ĐT Vũ Thư (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD&ĐT Vũ Thư (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN VŨ THƯ ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO Môn: TOÁN – Lớp 8 Năm học: 2016-2017 Bài 1. (3 điểm) x3 1 x2 4 2 x x 1 Cho biểu thức A 2 2 : với x 0; x 1; x 2; x 1 x x x 2x x x 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tính Abiết x thỏa mãn x3 4x2 3x 0. Bài 2. (4 điểm) 1. Tìm m sao cho phương trình ẩn x : m 1 x 3m 2 0 có nghiệm duy nhất thỏa mãn x 1 9x2 2. Giải phương trình x2 40 x 3 2 Bài 3. (4 điểm) 1) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x2 8y2 4xy 2x 4y 4 2) Cho đa thức h(x) bậc 4, hệ số của bạ cao nhất là 1, biết h 1 2;h 2 5; h 4 17;h 3 10. Tìm đa thức h x Bài 4. (2 điểm) Cho hai số dương a,bthỏa mãn: a2 b2 2 a3 b3 Tìm giá trị nhỏ nhất của M 2016a 2017b 2017a 2016b Bài 5. (4 điểm) Cho hình bình hành ABCD AC BD , hình chiếu vuông góc của C lên AB, AD lần lượt là E và F. Chứng minh: 1) CE.CD CB.CF và ABC đồng dạng với FCE 2) AB.AE AD.AF AC 2 Bài 6 (2 điểm) Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhâu tại O. Một đường thẳng kẻ qua Acắt cạnh BC tại M và cắt đường thẳng CD tại N. Gọi K là giao của OM và DN.Chứng minh CK vuông góc với BN. Bài 7 (1 điểm) Cho hình vuông ABCD có 13 đường thẳng bất kỳ có cùng tính chất là mỗi 2 đường thẳng chia hình vuông thành hai tứ giác có tỉ số diện tích là .Chứng minh 5 rằng có ít nhất 4 đường thẳng trong 13 đường thẳng đó cùng đi qua một điểm.
2. ĐÁP ÁN Câu 1. 1.1 x2 x 1 x 2 2 x x x2 3x 1 A . x x x x 1 x 1 1.2 x3 4x2 3x 0 x x 1 x 3 0 x 0(ktm) x 1(ktm) x 3(tm) 32 3.3 1 19 Thay x 3vào biểu thức có A 3 1 4 19 Vậy A 4 Câu 2. 2.1 m 1phương trình đã cho trở thành 1=0 (vô lý) nên phương trình vô nghiệm, loại 3m 2 m 1phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x m 1 3m 2 4m 3 3 x 1 1 0 m 1 m 1 m 1 4 3 Kết hợp điều kiện ta có m 1 thì m 1 x 3m 2 0có nghiệm duy nhất 4 thỏa mãn x 1 2.2 ĐKXĐ: x 3
3. 2 2 2 2 2 2 9x 3x 6x x 6x x 2 40 x 40 40 0 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x2 10 x2 x2 x 3 10 . 4 0 x 3 x 3 x2 4 x 3 x 5 2 5(VN) x2 10x 30 0 2 2 x 6(tm) x 4x 12 0 x 2 16 x 2(tm) Vậy tập nghiệm phương trình S 2;6 Câu 3. 3.1 x2 8y2 4xy 2x 4y 4 x 2y 1 2 4y2 5 4y2 4 2 2 2 Do 4y 4; x 2y 1 0;4y 0 x, y nên 2 x 2y 1 1 y 1 y 1 x 0 y 1 2 x 1 1 x 2 y 1 thỏa mãn x, y nguyên 2 y 1 y 1 x 2y 1 1 2 x 2 x 3 1 x 4 Vậy x; y 0;1 ; 2;1 ; 2; 1 ; 4; 1  3.2 Xét g(x) x2 1có g 1 2; g 2 5; g 4 17; g 3 10 Ta có f (x) h(x) g(x) thì f (x) bậc 4 hệ số của x4 là 1 và f 1 f 2 f 4 f 3 f (x) x 1 x 2 x 4 x 3 f (x) x2 3x 2 x2 x 12 x4 4x3 7x2 34x 24 h(x) x4 4x3 6x2 34x 23
4. Vậy h(x) x4 4x3 6x2 34x 23 Câu 4. a3 a 2016a 2017b M 2 2016a 2017b 4033 2 2 b3 b 2017a 2016b 2016 a b 4034ab 2 2 2017a 2016b 4033 4033 2 2 2 2 a b 2a2 2b2 2016 a b 4034. a2 b2 2 2 4033 4033 40332 4033 4033 2 M . Dấu " "xảy ra a b 1 4033 2 Vậy GTNN của M a b 1 4033
5. Câu 5. E B C H K A D F 5.1 CE BC CE BC Chứng minh EBC : FDC(g.g) ,DC AB CF DC CF BA Chứng minh ·ABC F· CE ABC : FCE 5.2 H, K là hình chiếu vuông góc của D,B lên AC Chứng minh AB.AE AK.AC; AD.AF AH.AC Chứng minh KC AH AB.AE AD.AF AC 2
6. Câu 6. A I B O K M D C N Trên cạnh AB lấy I sao cho IB CM. Xét IBO và MCO có: IB CM ;I·BO M· CO 450;BO CO IBO MCO(c.g.c) OI OM ,I·OB M· OC B· OI B· OM B· OM M· OC 900 M· OI 900 MOI vuông cân tại O nên O· MI O· IM 450 BI CM CM NM Vì IB CM , AB CB nên (1) và AB / /CN nên (2) BA CB CB NA BI NM Từ (1) và (2) IM / /BN (Talet đảo) do đó O· KB O· MI 450 (đồng BA NA vị) MC MO OMC : BMK(g.g) MK MB MC MO Xét CMK và OMB có: cmt và C· MK O· MB (đối đỉnh) MK MB
7. CMK : OMB(c.g.c) M· KC M· OB mà M· BO 450 M· KC 450 C· KB M· KB M· KC 450 450 900 Vậy CK vuông góc với BN Câu 7. A E B M H F P N Q D G C Đường thẳng chia hình vuông thành hai tứ giác nên đường thẳng phải cắt hai cạnh đối của hình vuông và không đi qua đỉnh hình vuông. E,F,G,H là trung điểm AB,BC,CD,DA Xét một đường thẳng chia hình vuông thành hai tứ giác, cắt HF tại N NF Nên tỉ số diện tích hai tứ giác tạo thành bằng . NH 2 NH 2 Nếu tỉ số diện tích hai tứ giác tạo thành là .Như vậy N cố định và có 5 NF 5 4 điểm vai trò như điểm N là M, N, P,Q như hình vẽ Có 13 đường thẳng mỗi đường phải đi qua 1 trong 4 điểm phân biệt M , N,P,Q 13 3.4 1Theo nguyên tắc Dirichle sẽ tồn tại ít nhất 4 đường thẳng cùng đi qua một điểm trong 4 điểm M,N,P,Q.