Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 (Có đáp án)

1. ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MÔN : Toán 8. Thời gian làm bài: 120 phút x 3 3x x 4 Câu 1. (2 điểm) Cho biểu thức A x 1 x2 x 1 x3 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh rằng giá trị của Aluôn dương với mọi x 1 Câu 2. (3 điểm) a) Chứng minh rằng: Với mọi x ¤ thì giá trị của đa thức : M x 2 x 4 x 6 x 8 16là bình phương của một số hữu tỉ b) Giải phương trình : x 1 x x 1 Câu 3. (1,5 điểm) Đa thức P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1. Biết P(1) 0; P(3) 0;P(5) 0. Hãy tính giá trị của biểu thức Q P 2 7P 6 Câu 4. (2,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD. Vẽ hình vuông MNPQ có M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P và Q thuộc cạnh BC. Gọi E và F lần lượt là giao điểm của BN và MQ; CM và NP. Chứng minh rằng a) DE song song với AC b) DE DF; AE AF Câu 5. (1 điểm) Chứng minh bất đẳng thức: a b c 3 với a b c 0 a b b c c a 2
2. ĐÁP ÁN Câu 1. a) 2 x 3 3x x 4 x x x 1 x 1 3 3x x 4 A x 1 x2 x 1 x3 1 x 1 x2 x 1 2 x3 2x2 2x 1 x 1 x x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x2 x 1 2 1 3 2 x x x 1 2 4 b) Với mọi x 1thì A 2 2 x x 1 1 3 x 2 4 2 2 1 3 1 3 Vì x 0; x 0,x 1 A 0,x 1 2 4 2 4 Câu 2. a) Ta có: M x2 10x 16 x2 10x 24 16 Đặt a x2 10x 16 Suy ra M a a 8 16 a2 8a 16 a 4 2 2 Vậy M x2 10x 20 (dpcm) b / x 1 x x 1 x x 1 x 1 0 x . x 1 x 1 0 x 1. x 1 0 x 1 0 x 1 0 x 1 x 1 0 x 1 x 1 Câu 3. Ta có: P(x)(x 1), x 3 , x 5 Nên P x có dạng P x x 1 x 3 x 5 x a Khi đó: P( 2) 7.P(6) 3 . 5 . 7 . 2 a 7.5.3.1. 6 a 105. 2 a 105. 6 a 105. 2 a 6 a 840
3. Câu 4. A M N F E 2 1 C B Q D P BE BQ BQ AB BD a) Chứng minh được DE / /NC hay EN QP MQ AC DC DE / / AC DE BD BD b) Do DE / / AC DE .CN (1) CN BC BC CD Tương tự: DF .BM (2) BC DE BD CN Từ (1) và (2) suy ra . DF CD BM BD AB CN AC DE Mà và nên 1 DE DF CD AC BM AB DF µ · · ¶ Ta có: D1 DAC DAB D2 ADE ADF AE AF
4. Câu 5. Gọi vế trái là A,ta có: 3 a 1 b 1 c 1 A 2 a b 2 b c 2 c a 2 a b b c c a 2 a b 2 b c 2 c a a b b a a c c a 2 a b 2 b c 2 c a a b 1 1 a c 1 1 . . 2 a b b c 2 b c c a a b c a a c a b . . 2 a b b c 2 b c . c a a b a c 1 1 . 2 b c a b c a a b a c b c 0(Do a b c 0) 2 b c a b c a 3 Vậy A 2