Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD&ĐT Thái Thụy (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD&ĐT Thái Thụy (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN THÁI THỤY NĂM HỌC : 2015—2016 Môn: Toán 8 Bài 1. (4,0 điểm) 2x5 x4 2x 1 8x2 4x 2 Cho biểu thức : P 4x2 1 8x3 1 a) Rút gọn P b) Tìm các giá trị của x để P 6 Bài 2. (4,0 điểm) a) Cho các số a,b,c,d nguyên dương đôi một khác nhau và thỏa mãn: 2a b 2b c 2c d 2d a 6.Chứng minh A abcd là số chính phương. a b b c c d d a b) Tìm a nguyên để a3 2a2 7a 7 chia hết cho a2 3 Bài 3. (3,0 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x 1 2x 1 2x2 3x 1 2017 b) Tìm a nguyên để a3 2a2 7a 7 chia hết cho a2 3 Bài 4. (3,0 điểm) a) Gọi a,b,clà độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn a3 b3 c3 3abc. Chứng minh tam giác đều b) Cho x, y, z dương và x y z 1.Chứng minh rằng : 1 1 1 9 x2 2yz y2 2xz z2 2xy Bài 5. (5,0 điểm) Cho O là trung điểm của đoạn AB.Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là cạnh AB vẽ tia Ax,By cùng vuông góc với AB.Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D a) Chứng minh AB2 4AC.BD b) Kẻ OM  CD tại M. Chứng minh AC CM. c) Từ M kẻ MH vuông góc với AB tại H. Chứng minh BC đi qua trung điểm MH d) Tìm vị trí của C trên tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất Bài 6. (1,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 2016 x y 2015 2 x y y 2015 4031 x 2016
2. ĐÁP ÁN Bài 1. 2x5 x4 2x 1 8x2 4x 2 a)P 4x2 1 8x3 1 x4. 2x 1 2x 1 2 4x2 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 4x2 2x 1 4 x 1 2x 1 2 x4 1 2 x4 1 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 x4 1 Vậy P 2x 1 1 b) ĐK: x 2 x4 1 P 6 6 x4 1 12x 6 2x 1 x4 4x2 4 4x2 12x 9 2 x2 2 2x 3 2 x2 2 2x 3 (1) hoac x2 2 2x 3 (2) Ta có 1 x2 2x 1 2 x 1 2 2 x 1 2 x 1 2 (tmdk) x 1 2 x 1 2 2 x2 2x 1 4 x 1 2 4(VN) Vậy S 1 2 Bài 2. 2a b 2b c 2c d 2d a a) 6 a b b c c d d a a b c d 1 1 1 1 6 a b b c c d d a a b c d 2 a b b c c d d a a b c d 1 1 0 a b b c c d d a
3. b b d d 0 a b b c c d d a b c a d a c 0 a b b c c d d a b c d d a d a b b c 0 abc acd bd 2 b2d 0 b d ac bd 0 b d ac bd 0 ac bd 0 ac bd Vậy A abcd ac 2 là số chính phương b) Thực hiện phép chia a3 2a2 7a 7 cho a2 3 được kết quả: a3 2a2 7a 7 a2 3 a 2 4a 1 Để phép chia hết thì 4a 1phải chia hết cho a2 3 4a 1 M a2 3 4a 1 4a 1 M a2 3 (a ¢ 4a 1 ¢ ) 16a2 1 M a2 3 49M a2 3 Tìm a,thử lại và kết luận a 2;2 Bài 3. a)A x 1 2x 1 2x2 3x 1 2017 2x2 3x 1 2x2 3x 1 2017 2 2 2x2 3x 1 2017 2x2 3x 2016 2016 x 0 2 Dấu " "xảy ra 2x 3x 0 x 2x 3 0 3 x 2 x 0 Vậy Amin 2016 3 x 2
4. 2 2 x 1 x 1 x 2 b) 12 0 (*) x 2 x 4 x 4 x 1 x 2 x 1 Đặt a và b ab x 2 x 4 x 4 Phương trình (*) trở thành: a2 ab 12b2 0 a 3b a 3b a 4b 0 a 4b x 1 x 2 2 +Nếu a 3b thì 3. x 1 x 4 3 x 2 (VN) x 2 x 4 x 3(tm) x 1 x 2 2 +Nếu a 4bthì 4. x 1 x 4 4 x 2 4 x 2 x 4 x (tm) 5 4 Vậy S 3;  5 Bài 4. a) C/m:a3 b3 c3 3abc a b c a2 b2 c2 ab bc ca +)Từ giả thiết suy ra : a b c a2 b2 c2 ab bc ca 0 a2 b2 c2 ab ac bc 0 (a b c 0) Biến đổi được kết quả: a b 2 b c 2 c a 2 0 a b 0 b c 0 a b c Tam giác đó là đều (đpcm) c a 0 b) Đặt a x2 2yz;b y2 2xz;c z2 2xy a,b,c 0và a b c x y z 2 1 1 1 1 Chứng minh: a b c 9 a b c 1 1 1 9 1 1 1 9 hay 9(dfcm) a b c a b c x2 2yz y2 2zx z2 2xy
5. Bài 5. y x D I M C K A B H O OA AC a) Chứng minh OAC : DBO(g.g) OA.OB AC.BD DB OB AB AB . AC.BD AB2 4AC.BD (dfcm) 2 2 OC AC b) Theo câu a ta có: OAC : DBO(g g) OD OB OC AC OC OD Mà OA OB OD OA AC OA +) Chứng minh : OAC : DOC c.g.c ·ACO O· CM +)Chứng minh : OAC OMC(ch gn) AC MC(dfcm) c) Ta có OAC OMC OA OM ;CA CM OC là trung trực AM OC  AM , Mặt khác OA OM OB AMB vuông tại M OC / /BM (vì cùng vuông góc với AM) hay OC / /BI
6. +)Xét ABI có OM đi qua trung điểm AB, song song BI suy ra OM đi qua trung điểm AI IC AC MK BK KH +) MH / / AI theo hệ quả định lý ta let ta có: IC BC AC Mà IC AC MK HK BC đi qua trung điểm MH (dfcm) d) Tứ giác ABCD là hình thang vuông 1 S AC BD .AB ABDC 2 Ta thấy AC,BD 0, nên theo BĐT Cô si ta có: AB2 1 AC BD 2 AC.BD 2 AB S AB2 4 ABDC 2 AB Dấu " "xảy ra AC BD OA 2 Vậy C thuộc tia Ax và cách điểm A một đoạn bằng OA. Bài 6. +) Với a,b,c,d dương, ta có: a b c d F b c c d d a a b a c b d a d a c b c b a b d c d b c d a c d a b b c d a c d a b 2 2 2 2 a2 c2 ad bc b2 d 2 ab cd 4 a b c d ab ad bc cd 2 1 2 1 2 . b c d a c d a b a b c d 4 4 1 2 (theo bất đẳng thức xy x y ) 4 Mặt khác: 2 a2 b2 c2 d 2 ab ad bc cd a b c d 2 a2 b2 c2 d 2 2ac 2bd a c 2 b d 2 0 Suy ra F 2 và đẳng thức xảy ra a c;b d +)Áp dụng F 2 với a 2016,b x,c y,d 2015ta có: 2016 x y 2015 2 x y y 2015 4031 x 2016 Đẳng thức xảy ra y 2016, x 2015