Đề olympic môn Toán Lớp 11 - Năm học 2018-2019 - Cụm trường THPT Hà Đông-Hoài Đức (Có đáp án)

Nội dung text: Đề olympic môn Toán Lớp 11 - Năm học 2018-2019 - Cụm trường THPT Hà Đông-Hoài Đức (Có đáp án)

1. ĐỀ OLYMPIC LỚP 11 CỤM TRƯỜNG THPT HÀ ĐÔNG – HOÀI ĐỨC – HÀ NỘI NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn: Toán Lớp: 11 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề). Bài 1. (4,0 điểm). Giải các phương trình sau a) Giải phương trình sau sin 3x 3 cos3x 2sin 2x . sin x sin 2x b) Giải phương trình 1. sin 3x Bài 2. (4,0 điểm). 10 5 2 2 a) Tìm số hạng chứa x trong khai triển: 3x x 0 . x b) Trong một hộp kín đựng 100 tấm thẻ như nhau được đánh số từ 1 đến 100. Lấy ngẫu nhiên ba tấm thẻ trong hộp. Tính xác suất để lấy được ba tấm thẻ mà ba số ghi trên ba tấm thẻ đó lập thành một cấp số cộng. Bài 3. (4,0 điểm). C 0 C 2 x2 C 4 x4 ... C 2018 x2018 22017 a) Tính lim 2018 2018 2018 2018 . x 1 x 1 u1 1;u2 4 b) Cho dãy số un xác định bởi công thức: . un 2 5un 1 6un 2 n 1, n ¥ Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số un . Bài 4. (6,0 điểm). a) Cho hình hộp ABCDA B C D có tất cả các cạnh bằng nhau. Điểm M di động trên cạnh AB , điểm N di động trên cạnh A D sao cho A N 2AM . Gọi (α) là mặt phẳng chứa MN và song song với AC . Dựng thiết diện của hình hộp bởi (α) và chứng minh rằng (α) luôn chứa một đường thẳng cố định. b) Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng: (AB CD)2 (AD BC)2 (AC BD)2. Bài 5. (2,0 điểm). 1 1 1 Chứng minh rằng với mọi số thực a,b,c 1;2 ta luôn có: a b c 10. a b c ___________Hết_____________ 1
2. Lời Giải Chi Tiết Bài 1. (4,0 điểm). Giải các phương trình sau a) Giải phương trình sau sin 3x 3 cos3x 2sin 2x . Lời giải Tác giả:phùng minh nam ; Fb:Nam phùng 1 3 Ta có : sin 3x 3 cos3x 2sin 2x sin 3x cos3x sin 2x 2 2 3x 2x k2 x k2 3 3 sin 3x sin 2x k ¢ 3 2 k2 3x 2x k2 x 3 15 5 2 k2  Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S k2 ; k ¢  . 3 15 5  sin x sin 2x b) Giải phương trình 1. sin 3x Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Tú ; Fb: Tu Nguyenvan Điều kiện xác định: sin x 0 3 2 sin 3x 0 3sin x 4sin x 0 sin x 4cos x 1 0 1 cos x 2 Khi đó, phương trình đã cho tương đương với sin x sin 2x sin 3x 0 2sin 2x.cos x sin 2x 0 sin 2x 2cos x 1 0 sin x 0 l cos x 0 t / m x k k ¢ . 2 1 cos x l 2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x k k ¢ . 2 Bài 2. (4,0 điểm). 10 5 2 2 a) Tìm số hạng chứa x trong khai triển: 3x x 0 . x Lời giải Tác giả: Hoàng Thị Mến ; Fb: Hoàng Mến Hướng 1: Trình bày theo lớp 12 như sau: 2
3. 10 10 10 k 10 2 2 k k 2 k 2 Ck .210 k. 3 .x3k 10 Ta có: 3x C10. . 3x  10 .( x 0) với x k 0 x k 0 k 0,1,2,...,10 . Khi 3k 10 5 k 5 thì số hạng chứa x5 trong khai triển là: 5 5 5 5 5 C10.2 . 3 .x 1959552.x . Hướng 2: Trình bày theo lớp 11 như sau: 10 10 10 k 10 2k 2 2 k k x Ta có 3x2 Ck . . 3x2 Ck .210 k. 3 . , ( x 0) với  10  10 10 k x k 0 x k 0 x k 0,1,2,...,10 . x2k Số hạng chứa x5 ứng với số k thỏa mãn x5 x2k x15 k 2k 15 k k 5. x10 k 5 5 10 5 5 5 5 Vậy số hạng chứa x trong khai triển là C10.2 . 3 .x 1959552.x . b) Trong một hộp kín đựng 100 tấm thẻ như nhau được đánh số từ 1 đến 100. Lấy ngẫu nhiên ba tấm thẻ trong hộp. Tính xác suất để lấy được ba tấm thẻ mà ba số ghi trên ba tấm thẻ đó lập thành một cấp số cộng. Lời giải Tác giả: Lâm Quốc Toàn; Fb: Lam Quoc Toan 3 Số phần tử của không gian mẫu:  C100 . Gọi ba số lập thành cấp số cộng lần lượt là: u1 , u2 , u3 . Khi đó u1 , u3 phải cùng là hai số chẵn hoặc cùng là hai số lẻ. Từ 1 đến 100 có 50 số chẵn, 50 số lẻ. 2 + Trường hợp 1: u1 , u3 là hai số chẵn, có C50 cách chọn bộ u1; u3. 2 + Trường hợp 2: u1 , u3 là hai số lẻ, có C50 cách chọn bộ u1; u3. Với mỗi cách chọn bộ u1; u3 có duy nhất một cách chọn u2 để u1 , u2 , u3 lập thành cấp số cộng. 2 Suy ra số cách lấy được 3 thẻ ghi ba số lập thành cấp số cộng là  A 2C50 . Xác suất lấy được 3 thẻ ghi ba số lập thành cấp số cộng là 2  A 2C50 1 P A 3 .  C100 66 Bài 3. (4,0 điểm). C 0 C 2 x2 C 4 x4 ... C 2018 x2018 22017 a) Tính lim 2018 2018 2018 2018 . x 1 x 1 Lời giải Tác giả: Huỳnh Phạm Minh Nguyên ; Fb: Nguyen Huynh 0 1 2 2 2018 2018 2018 S1 C2018 C2018 x C2018 x  C2018 x 1 x 0 1 2 2 2018 2018 2018 S2 C2018 C2018 x C2018 x  C2018 x 1 x 3
4. 1 2018 2018 S C 0 C 2 C 4 C 2018 x2018 1 x 1 x 2018 2018 2018 2018 2 C 0 C 2 C 4 C 2018 x2018 22017 lim 2018 2018 2018 2018 x 1 x 1 1 x 2018 1 x 2018 22018 lim x 1 2 x 1 1 x 2018 22018 x 1 2017 lim x 1 2 x 1 2 2017 2016 2015 2 2017 2017 x 1 1 x 1 x .2 1 x .2  2 x 1 lim x 1 2 x 1 2 1 x 2017 1 x 2016 .2 1 x 2015 .22  22017 x 1 2017 lim x 1 2 2 2018.22016 u1 1;u2 4 b) Cho dãy số un xác định bởi công thức: . un 2 5un 1 6un 2 n 1, n ¥ Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số un . Lời giải Tác giả: Nguyễn Quang Thái ; Fb: Nguyễn Quang Thái n 1 n 1 Cách 1:Dự đoán un 3 2 1. Thật vậy, ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp. - Kiểm tra dễ có mệnh đề đúng với n 1; n 2 . Giả sử mệnh đề đúng với mọi n k , nghĩa là ta có được k 1 k 1 k 2 k 2 uk 3 2 1 và uk 1 3 2 1 (*). Ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với n k 1. Theo giả thiết ta có: k 1 k 1 k 2 k 2 k 1 k 1 k 1 k 1 uk 1 5uk 6uk 1 2 5 3 2 1 6 3 2 1 5.3 5.2 2.3 3.2 1 3k 2k 1. Vậy mệnh đề đúng với mọi n ¥ * . u1 1;u2 4 Cách 2: Cho dãy số un xác định bởi công thức: . un 2 5un 1 6un 2 n 1, n ¥ Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số un . Lời giải Tác giả: Ngô Mạnh Cường ; Fb: Cuong Ngo Manh Theo bài ra, un 2 5un 1 6un 2 n 1, n ¥ , ta có un 2 2un 1 3(un 1 2un ) 2 n 1, n ¥ . Đặt vn un 1 2un n 1, n ¥ ta có 4
5. v1 u2 2u1 2 vn 1 3vn 2 vn 1 1 3(vn 1) n 1, n ¥ w1 1 Đặt wn vn 1 n 1, n ¥ thì wn 1 3wn n 1, n ¥ n 1 Nhận thấy (wn ) là cấp số nhân với công bội q 3 và w1 1. Do đó wn 3 . Suy ra n 1 n 1 vn 3 1 và un 1 2un 3 1 n 1, n ¥ . n 1 n n 1 Từ đó ta có un 1 2un 3 1 un 1 3 1 2(un 3 1) 0 n 1 t1 u1 3 1 1 Đặt tn un 3 1 thì . Nhận thấy (t n ) là cấp số nhân với công bội tn 1 2tn n 1 bằng 2 và t1 1 nên tn 2 . n 1 n 1 Vậy un 2 3 1 n 1, n ¥ . u1 1;u2 4 Cách 3:Cho dãy số un xác định bởi công thức: . un 2 5un 1 6un 2 n 1, n ¥ Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số un . Lời giải Tác giả: Đinh Thị Thu Huế ; Fb: HueDinh un 2 5un 1 6un 2 un 2 2un 1 3(un 1 2un ) 2 v1 u2 2u1 2 Đặt vn un 1 2un thì . vn 1 3vn 2 kwn 1 l 3(kwn l) 2 kwn 1 3kwn 2l 2 Đặt vn kwn l , k,l là hằng số, k 0 thì 2l 2 w 3w n 1 n k w1 1 Chọn k 1, l 1 thì vn wn 1 và . Nhận thấy (wn ) là cấp số nhận công bội wn 1 3wn n 1 n 1 n 1 q 3 và w1 1. Do đó wn 3 , vn 3 1 và un 1 2un 3 1. n 1 Đặt un tn a3 b , a,b là các hằng số. Khi đó n n 1 n 1 tn 1 a3 b 2(tn a3 b) 3 1 n 1 tn 1 2tn (1 a)3 b 1 n 1 Chọn a 1, b 1 khi đó un tn 3 1, t1 u1 1 và tn 1 2tn . Nhận thấy (tn ) là cấp n 1 n 1 n 1 số nhận với công bội q 2 và t1 1 . Do đó tn 2 . Suy ra un 2 3 1. Bài 4. (6,0 điểm). a) Cho hình hộp ABCDA B C D có tất cả các cạnh bằng nhau. Điểm M di động trên cạnh AB , điểm N di động trên cạnh A D sao cho A N 2AM . Gọi (α) là mặt phẳng chứa MN và song song với AC . Dựng thiết diện của hình hộp bởi (α) và chứng minh rằng (α) luôn chứa một đường thẳng cố định. 5
6. Lời giải Tác giả: thuy hoang ; Fb: thuy hoang * Dựng thiết diện của hình hộp bởi : Y B R C M X A D Q T B' C' P A' N D' M ( )  (ABCD) • Xét  ABCD d có: AC / /( ) AC  (ABCD) Nên d là đường thẳng qua M và song song với AC , d cắt AD tại X , cắt CDtại Y cắt BC tại R . • Tương tự xét  A B C D d , d qua N và song song với AC cắt C D tại P . XN cắt AA tại T , YP cắt CC tại Q . Vậy thiết diện cần tìm là lục giác MRQPNT . * Chứng minh rằng (α) luôn chứa một đường thẳng cố định: AC // ( ) - Ta có: AC  (ACC A ) TQ // AC (1) ( )  (ACC A ) TQ AT AX - Trong mặt phẳng ADD A có AX // A'N TA A N Mà tứ giác AXRC là hình bình hành suy ra AX CR (*) AM CR - Xét tam giác ABC cân có MR // BC = AB CB Mà AB BC nên AM RC . Suy ra AX AM (kết hợp (*)) 6
7. AT AX AM 1 AT 1 Suy ra , hay . Suy ra điểm T cố định. TA A N A N 2 TA 2 Kết hợp (1) suy ra TQ cố định. Vậy luôn chứa đường TQ cố định. (đpcm). b) Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng: (AB CD)2 (AD BC)2 (AC BD)2. Lời giải Tác giả: Nguyễn Mạnh Quyền; Fb: Nguyễn Mạnh Quyền Gọi M , N, P, Q, O lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, AD, AC . Ta có tứ giác MNPQ là hình bình hành và điểm O không nằm trên MNPQ Từ đó, ta có: (AB CD)2 (AD BC)2 (2ON 2OQ)2 (2OP 2OM )2 4NQ2 4MP2 (1) Ta lại có:   2   2 4NQ2 4MP2 4 NM MQ MN NP     4 NM 2 2NM.MQ MQ2 MN 2 2MN.NP NP2    4 2NM 2 MQ2 NP2 2NM MQ NP 4(2MN 2 2MQ2 ) 2(AC 2 BD2 ) (AC BD)2 (2) Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. Bài 5. (2,0 điểm). 1 1 1 Chứng minh rằng với mọi số thực a,b,c 1;2 ta luôn có: a b c 10. a b c Lời giải Tác giả: Vũ Quốc Triệu ; Fb: Vũ Quốc Triệu 1 1 1 a b c b c a +/ Bất đẳng thức a b c 10 7 . a b c b c a a b c +/ Không mất tính tổng quát, giả sử: a b c. Khi đó: 7
8. a b a a b b c 0 ab bc b2 ac 1 (vì bc 0 ). c c b Dấu “=” xảy ra a b hoặc b c . c b c Cũng có: a b b c 0 ab bc b ac 1 (vì ab 0). a a b Dấu “=” xảy ra a b hoặc b c . a b b c a c a b b c a c a c Do đó: 2 2 2 1 b c a b c a b c a b c a c a a +/ Ta có: x 1 x 2 nên: c 2 1 1 5 x 1 x 2 0 x2 3x 2 0 x 3 x 3 x x x 2 1 x a 2c Dấu “=” xảy ra 2 c 2a x 2 a c 5 Suy ra: 2 c a 2 a b b c a c Từ (1) và (2) suy ra: 7 (đpcm). b c a b c a a b 2,c 1 Dấu bằng xảy ra khi: . a c 2,b 1 b c 2,a 1 8