Đề ôn thi chọn học sinh giỏi dự thi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Đề số 6 (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề ôn thi chọn học sinh giỏi dự thi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Đề số 6 (Có đáp án và thang điểm)

1. ĐỀ ÔN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI DỰ THI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề 3x 9x 3 1 1 1 Bài 1. (5,0 điểm) Cho biểu thức: A 2 : với x x 2 x 1 x 2 x 1 a > 0, a 1. a) Chứng minh rằng M 4. 6 N b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức M nhận giá trị nguyên? Bài 2. (4,0 điểm) a) Giải phương trình: 2x 2 9x 4 3 2x 1 2x 2 21x 11 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của xy yz zx A = với x, y, z là các số dương và x2 + y2 + z2 = 1 z x y Bài 3. (4 điểm) a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 2x6 + y2 –2 x3y = 320 1 1 1 b) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn 6 . x y y z z x 1 1 1 3 Chứng minh rằng: . 3x 3y 2z 3x 2y 3z 2x 3y 3z 2 Bài 4. (6 điểm) a. Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H, trọng tâm I; Giao điểm 3 đường trung trực là O, trung điểm của BC là M. 2 2 Tính giá trị biểu thức: IO OM IH 2 HA2 b. Cho góc x· Oy . Một đường thẳng d thay đổi luôn cắt các tia Ox; Oy tại 1 1 M và N. Biết giá trị biểu thức không thay đổi khi đường thẳng d thay OM ON đổi. Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định. Bài 5. (1 điểm) Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn: 2xy + x + y = 83 Hết
2. HƯỚNG DẪN CHẤM THI ĐIỂ BÀI ĐỀ -ĐÁP ÁN M a 1 a a 1 a 2 a a a 1 M Cho biểu thức: a a a a a a với a > 0, a 1. Bài 1 a) Chứng minh rằng M 4. 6 N b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức M nhận giá trị nguyên. a a 1 ( a 1)(a a 1) a a 1 Do a > 0, a 1 nên: a a a ( a 1) a và a 2 a a a 1 (a 1)(a 1) a (a 1) (a 1)(a a 1) a a 1 a a a a (1 a) a (1 a) a a 1 a M 2 a 2 Do a 0; a 1 nên: ( a 1) 0 a 1 2 a 2 a M 2 4 a 6 3 0 N Ta có M 2 do đó N chỉ có thể nhận được một giá trị nguyên là 1 6 a 1 2 b Mà N = 1 a 1 2 a a 4 a 1 0 ( a 2) 3 a 2 3 hay a 2 3 (phù hợp) 2 Vậy, N nguyên a (2 3) Bài 2 a) ĐK: x 4 hoặc x = 0,5 Biến đổi: 2x2 9x 4 3 2x 1 2x2 21x 11 x 4 2x 1 3 2x 1 x 11 2x 1 x 4 2x 1 3 2x 1 x 11 2x 1 0 2x 1( x 4 3 x 11) 0 2x 1 0(1) Hoặc x 4 3 x 11 0 (2) Giải (1) được x = 0,5 (thỏa mãn), giải (2) được x = 5 (thỏa mãn)
3. xy yz zx b) A = z x y x 2 y 2 y 2 z 2 z 2 x 2 Nên A2 = 2 ( vì x2+y2+z2 =1) z 2 x 2 y 2 = B +2 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương ta có x 2 y 2 y 2 z 2 x 2 y 2 y 2 z 2 2y 2 z 2 x 2 z 2 x 2 y 2 z 2 z 2 x 2 Tương tự 2z 2 x 2 y 2 x 2 y 2 z 2 x 2 2x 2 z 2 y 2 Cộng vế với vế ta được 2B 2 B 1 Do đó A2 = B +2 3 nên A 3 3 Vậy Min A = 3 x = y = z = 3 Bài 3 Từ 2x6 + y2 – 2x3y = 320 (x3-y)2 +(x3)2 = 320 => (x3)2 £ 320 mà x nguyên nên x £ 2 Nếu x=1 hoặc x=-1 thì y không nguyên (loại) a Nếu x=2=> y=-2 hoặc y=6 Nếu x=-2 => y=-6 hoặc y=2 Vậy phương trình đã cho có 4 cặp nghiệm (x;y) là: (2;-2); (2;6); (-2;-6); (-2;2) Từ 2x6 + y2 – 2x3y = 320 (x3-y)2 +(x3)2=320 => (x3)2 £ 320 1 1 4 Áp dụng BĐT (với a, b > 0) a b a b 1 1 1 1 a b 4 a b 1 1 1 1 1 b Ta có: 3x 3y 2z 2x y z x 2y z 4 2x y z x 2y z 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 x y x z x y y z 4 4 x y x z x y y z 1 2 1 1 16 x y x z y z
4. 1 1 2 1 1 Tương tự: 3x 2y 3z 16 x z x y y z 1 1 2 1 1 2x 3y 3z 16 y z x y x z Cộng vế theo vế, ta có: 1 1 1 1 4 4 4 3x 3y 2z 3x 2y 3z 2x 3y 3z 16 x y x z y z 4 1 1 1 1 3 .6 16 x y x z y z 4 2 Bài 4 a) Ta có MO // HA (cùng vuông góc với BC) A OK // BH (cùng vuông góc với AC) K· OM = B· HA (góc có cạnh tương ứng song song) MK // AB (M, K là trung điểm BC và AC) K H· AB = O· MK (góc có cạnh tương ứng song song) H ABH đồng dạng với MKO I O MO MK 1 B C AH AB 2 M a MO MI 1 Xét AIH và MIO có và O· MI = H· AI (so le trong) AH AI 2 IO 1 IO OM 1 AIH đồng dạng với MIO IH 2 IH HA 2 IO2 OM2 IO2 OM2 1 IO2 OM 2 1 IH2 HA2 IH2 HA2 4 IH 2 OA2 2 d x M E I b O D N y 1 1 1 Giả sử (1) ( a là số dương cho trước). Lấy điểm D trên Oy OM ON a sao cho OD = a thì OD < ON. Vẽ DI song song với Ox ( I đoạn MN ). Lấy E trên Ox sao cho OE = ID. Khi đó OEID là hình bình hành.
5. OE OD NI EI NI MI 1 OE 1 1 Ta có 1=> (2) OM ON NM ON NM MN ON OD.OM OD a 1 OE OE Từ (1) và (2) => => 1 => OE = OD = a không đổi, mà OM OD.OM OD D Oy; E Ox nên D; E cố định. Mặt khác O cố định và OEID là hình bình hành nên I cố định. Vậy d luôn đi qua I cố định (ĐPCM) Bài 5 Tìm x,y nguyên dương thỏa mãn: 2xy + x +y = 83 4xy 2x 2y 1 167 (2x 1)(2y 1) 167 Do x,y nguyên dương (2x 1);(2y 1) Z (2x 1);(2y 1) Ư(167) Lập bảng tìm được (x,y)=(0;83);(83;0). Tìm x,y nguyên dương thỏa mãn: 2xy + x +y = 83 4xy 2x 2y 1 167 (2x 1)(2y 1) 167