Đề thi chọn đội tuyển dự thi Toán tuổi thơ toàn quốc - Năm học 2013-2014 - Sở GD&ĐT Bình Dương

Nội dung text: Đề thi chọn đội tuyển dự thi Toán tuổi thơ toàn quốc - Năm học 2013-2014 - Sở GD&ĐT Bình Dương

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI TỈNH BÌNH DƯƠNG TOÁN TUỔI THƠ TOÀN QUỐC Năm học : 2013-2014 MÔN: TOÁN Câu 1. (2,5 điểm) 1 1 1 b2c2 c2a2 a2b2 Cho 0 với a,b,c 0 và M a b c a b c Chứng minh rằng: M 3abc Câu 2. (2,5 điểm) a) Chứng minh rằng x 2 3 1 x x2 x3 với mọi giá trị x b) Giải phương trình tìm nghiệm nguyên: 1 x x2 x3 y3 Câu 3. (2,5 điểm) 3x 3 Cho biểu thức A x3 x2 x 1 a) Tìm giá trị của x để A nhận giá trị nguyên b) Tìm giá trị lớn nhất của A. Câu 4. (2,5 điểm) Cho tam giác ABC.Từ điểm M thuộc cạnh AC kẻ các đường thẳng song song với các cạnh AB và BC cắt BC tại E và AB tại F. Hãy xác định vị trí của M trên AC sao cho hình bình hành BEMF có diện tích lớn nhất
2. ĐÁP ÁN Câu 1. 1 1 1 Đặt x; y; z thì x y z 0 a b c 2 2 2 2 2 2 b c c a a b 2 2 2 1 1 1 2 2 2 3 3 3 Ta có: M a b c . 3 3 3 a b c . x y z a b c a b c Từ : x y z 0 x y z x3 y3 3xy x y z 3 x3 y3 3xyz z3 x3 y3 z3 3xyz 1 1 1 Vậy M a2b2c2.3xyz a2b2c2.3. . . 3abc a b c Câu 2. 2 3 2 3 2 11 19 a) Ta có: x 2 1 x x x 5x 11x 7 5 x 0 10 20 suy ra x 2 3 1 x x2 x3 2 2 1 3 b) Ta nhận thấy 1 x x x 0 với mọi x 2 4 Nên x3 1 x x2 x3 y3 Theo câu a): x 2 3 1 x x2 x3 Suy ra : x3 y3 x 2 3 3 3 2 3 3 x 1 y x 1 1 x x x x 1 x x 1 0 x 0 x 1 y 0 x 0 y 1 Vậy phương trình có các nghiệm nguyên 1;0 ; 0;1 Câu 3. 3x 3 3 x 1 3 Ta có: x3 x2 x 1 x2 1 x 1 x2 1 Muốn A nhận giá trị nguyên thì x2 1phải là ước của 3. Mà Ư(3)= 1; 3 - Nếu x2 1 1 x 0 thì A 3
3. 2 1 - Nếu x 1 thì không có giá trị x thỏa mãn 3 - Nếu x2 1 3 x2 2 x 2 thì A 1 Vậy tập hợp các giá trị của x để Anhận giá trị nguyên là 2;0; 2 b) 3 A nhận giá trị lớn nhất khi x2 1nhận giá trị nhỏ nhất x2 1 2 2 Mà x 1 1 x 1 1min.Khi đó A 3. Vậy Amax 3 x 0 Câu 4. A x F I M y B H E C Ta có tứ giác BEMF là hình bình hành . Kẻ AH  BC, AH cắt MF tại I AI  MF.Gọi S 'là diện tích hình bình hành BEMF và S là diện tích tam giác ABC 1 S ' IH.MF và S BC.AH 2 S ' IH.MF MF IH Ta có: 2 . 1 1 S BC.AH BC AH 2 Đặt AM x,MC y
4. MF AM x IH MC y Vì MF / /BC nên ta có: ; BC AC x y AH AC x y S ' x y 2xy Thay vào (1) ta có: 2. . S x y x y x y 2 Vì x, y là hai số không âm nên ta có: x y 2 xy x y 2 4xy S ' 2xy 2xy 1 S ' 1 1 S ' S S x y 2 4xy 2 S 2 2 Dấu " "xảy ra khi x y, tức là khi M là trung điểm cạnh AC thì diện tích hình bình 1 hành BEMF đạt giá trị lớn nhất là S không đổi 2