Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 (Có đáp án)

1. Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9 Năm học 2008 – 2009 Thời gian: 120 phút Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau 20082 2014 . 20082 4016 3 .2009 P = 2009 2 2008 2009 2 2008 Q = 2005.2007.2010.2011 10a2 3b2 ab 0 2a b 5b a 9 Bài 2: Biết . Chứng minh rằng: b a 0 3a b 3a b 5 Bài 3: Chứng minh rằng với 0. Chứng minh rằng: + + 3(a + b + c) ab + 5b2 cb + 5c2 ac + 5a2
2. Hướng dẫn chấm Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau 2 2 P = 2009 2 2008 2009 2 2008 = 2008 1 2008 1 = 2 20082 2014 . 20082 4016 3 .2009 Q = . Đặt x = 2008, khi đó 2005.2007.2010.2011 x2 x 6 x2 2x 3 x 1 x 2 x 3 x 3 x 1 x 1 Q = = = x + 1 x 3 x 1 x 2 x 3 x 3 x 1 x 2 x 3 = 2009 Bài 2: Ta có 10a2 - 3b2 + ab = 0 3(4a2 - b2) - a(2a - b) = 0 2a - b = 0 b = 2a (2a - b)(5a + 3b) = 0 5a + 3b = 0 5a = -3b (loai) 2a b 5b a 2a 2a 10a a 9a 9 Với b = 2a 3a b 3a b 3a 2a 3a 2a 5a 5 Bài 3: Xét ABC có À 900; Cà= . Kẻ trung tuyến AM, A đường cao AH ÃMH 2 Đặt BC = a; AC = b; AB = c; AH = h; MA = MB = MC = m = a . 2 C Ta có sin = c ; cos = b ; sin2 = h B a a m H M c b 2bc 2ah 2h h Do đó 2sin . cos = 2 . = sin2 a a a2 a2 a m A Bài 4: x a/ Đặt AM = x (0 0,b > 0) 2 2
3. 2 x + c - x c2 áp dụng, ta có: x(c - x) = . Dấu đẳng thức xảy ra khi: 2 4 c x = c - x x = . 2 a 3 c2 ac 3 ac 3 c Suy ra: S . = . Vậy: S = khi x = hay M là trung điểm 2c 4 8 max 8 2 của cạnh AB b/ Giả sử đã dựng được hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC. Nối BF, trên đoạn BF lấy điểm F’. Dựng hình chữ nhật E'F'G'H' (E' AB;G',H' BC) E'F' BE' BF' F'G' Ta có: E'F'// EF và F'G'// FG, nên: = = = EF BE BF FG E'F' = F'G' . Do đó E'F'G'H' là hình vuông + Cách dựng và chứng minh: Trên cạnh AB lấy điểm E' tuỳ ý, dựng hình vuông E'F'G'H' (G', H' thuộc cạnh BC). Dựng tia BF' cắt AC tại F. Dựng hình chữ nhật EFGH nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh tương tự trên, ta có EF = FG, suy ra EFGH là hình vuông A BH' 1 + Ta có: = cotg600 = ; E'H' 3 E F BG' BH' + H'G' BH' 1 cotgFã 'BC = = +1 = +1 . F'G' F'G' E'H' 3 E' Suy ra: Tia BF' cố định khi E' di động trên AB, F ' cắt AC tại một điểm F duy nhất. B C Vậy bài toán có một nghiệm hình duy nhất H' H G' G EF AE ax + Đặt AE = x . Ta có = EF = ; BC AB c (c - x) 3 HE = c - x sinB = 2 ax (c - x) 3 c2 3 EFGH là hình vuông, nên EF = EH = x = c 2 2a + c 3 2 2 2 3a c Suy ra diện tích hình vuông EFGH là: S = EF = 2 2a + c 3 Bài 5: Ta có a2 + b2 - ab ≥ ab (a + b)(a2 + b2 - ab) ab(a + b) a3 + b3 ab(a + b) a3 + 20b3 19b3 + ab(a + b) 20b3 - ab(a + b) 19b3 - a3 b(20b2 - ab - a2 ) 19b3 - a3 b(20b2 - 5ab + 4ab - a2 ) 19b3 - a3 b[5b(4b - a) + a(4b - a)] 19b3 - a3 19c3 - b3 19a3 - c3 Tương tự với a, b, c > 0 thì: 4c - b; 4a - c cb + 5c2 ac + 5a2 Từ đó ta có BĐT cần chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
4. b(4b - a)(a + 5b) 19b3 - a3 (4b - a)(ab + 5b2 ) 19b3 - a3 19b3 - a3 4b - a ab + 5b2