Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD&ĐT Hạ Hòa (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD&ĐT Hạ Hòa (Có đáp án và thang điểm)

1. PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 21 tháng 12 năm 2015 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 1 trang) Câu 1 (3,0 điểm). a) Giải phương trình nghiệm nguyên: 4x2 8x 38 6y2 b) Tìm số tự nhiên n để n4 + 4 là số nguyên tố. Câu 2 (4,0 điểm). a) Cho x x2 2015 y y2 2015 2015. Hãy tính giá trị của biểu thức A x y 2016. 3 3 3 1 1 1 b) Chứng minh rằng: Nếu ax by cz và 1 thì x y z 3 ax 2 by2 cz2 3 a 3 b 3 c . Câu 3 (4,0 điểm). a) Giải phương trình: 4 x2 4x 2 11 x4 4 x(x y) y2 4y 1 0 b) Giải hệ phương trình: 2 2 y(x y) 2x 7y 2 Câu 4 (7,0 điểm). Cho đường tròn (O, R) và dây cung BC cố định (BC < 2R). Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Kẻ các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. S a) Chứng minh AEF và ABC đồng dạng và AEF cos2 A. SABC 2 2 2 b) Chứng minh rằng: SDEF 1 cos A cos B cos C .SABC c) Xác định vị trí điểm A trên cung lớn BC sao cho chu vi tam giác DEF đạt giá trị lớn nhất. Câu 5 (2,0điểm). Cho a, b ,c là ba số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a3 b3 c3 a 2 b2 b2 c2 c2 a 2 P . 2abc c2 ab a 2 bc b2 ca HẾT Họ và tên thí sinh: , SBD: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
2. HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN ĐT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: TOÁN Đây là lời giải sơ lược, thí sinh có lời giải khác mà đúng thì giám khảo chấm vẫn chấm theo thang điểm dưới đây Bài Nội dung Giải phương trình nghiệm nguyên: 4x2 8x 38 6y2 4x2 8x 38 6y2 2x 2 4x 19 3y2 2(x 1)2 3(7 y2 ) (*) 0,5 Ta thấy: 2(x 1)2 2 7 y2 2 y lẻ 0,25 a Ta lại có: 7 y2 0 y2 7 . Do đó y2 1 y 1 0,25 2 Lúc đó: 2(x 1) 18 (x 1) 3 nên x1 2;x 2 4 0,25 Ta thấy các cặp số (2;1), (2;-1), (-4;1), (-4;-1) thỏa mãn (*) nên là nghiệm 1 0,25 của phương trình. Ta có n4 + 4 = n4 + 4 + 4n2 – 4n2 0,25 = ( n2 + 2)2 – ( 2n)2 0,25 = ( n2 – 2n + 2).( n2 + 2n+ 2) 0,25 b Vì n là số tự nhiên nên n2 + 2n+ 2 > 1 nên 0,25 n2 – 2n + 2 = 1 0,25 n = 1 0,25 Cho x x2 2015 y y2 2015 2015. Hãy tính A biết: A x y 2016 ? Nhân cả 2 vế của đẳng thức đã cho với x x2 2015 ta được: 0,5 2015 y y2 2015 2015 x x2 2015 (1) a Nhân cả 2 vế của đẳng thức đã cho với y y2 2015 ta được: 0,5 2015 x x2 2015 2015 y y2 2015 (2) Cộng (1) với (2) theo vế rồi rút gọn ta được: x + y = 0. 0,75 2 Vậy A = 2016. 0,25 1 1 1 b) Chứng minh rằng: Nếu ax 3 by3 cz3 và 1thì x y z 3 ax 2 by2 cz2 3 a 3 b 3 c Đặt: ax 3 by3 cz3 t . Ta có: 0,25 2 2 2 t t t 3 1 1 1 3 ax by cz 3 t vì 1 (1) 0,5 x y z x y z Mặt khác: 3 t x3 a y3 b z3 c 0,5 3 3 3 3 1 1 1 3 Suy ra: a b c t t (2) 0,5 x y z Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. 0,25 4 x2 4x 2 11 x4 4 (1) 0,5 3 6 x2 2x 2 2 x2 2x 2 11 x2 2x 2 x2 2x 2 a 2 6 x 2x 2 x2 2x 2 2 11 0,5 x2 2x 2 x2 2x 2
3. do x2 2x 2 (x 1)2 1 0 với mọi x x2 2x 2 0,5 Đặt t (t > 0) x2 2x 2 Ta được phương trình: 6t 2 11t 2 0 Giải (*) được t = 2 thỏa mãn yêu cầu x 2 2x 2 x 2 2x 2 5 7 Nên t 2 4 3x 2 10x 6 0 x x 2 2x 2 x 2 2x 2 3 0,5 x(x y) y2 4y 1 0 x2 1 y(y x) 4y 2 2 2 2 y(x y) 2x 7y 2 y(x y) 2(x 1) 7y x2 1 Dễ thấy y 0 , ta có: x y 4 0,5 y . x2 1 (x y)2 2 7 y x2 1 u v 4 u 4 v v 3, u 1 Đặt u , v x y ta có hệ: 2 2 b y v 2u 7 v 2v 15 0 v 5, u 9 0,5 x2 1 y x2 x 2 0 x 1, y 2 +) Với v 3, u 1ta có hệ: . x y 3 y 3 x x 2, y 5 0,5 x2 1 9y x2 1 9y x2 9x 46 0 +) Với v 5, u 9 ta có hệ: VN. x y 5 y 5 x y 5 x 0,5 KL: Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: (1;2) và ( 2;5) 4 A E F H O B C D AE Tam giác ABE vuông tại E nên cosA = 0,5 AB AF a Tam giác ACF vuông tại F nên cosA = . 0,5 AC AE AF Suy ra = AEF : ABC(c.g.c) 4 AB AC 0,5
4. 2 SAEF AE 2 Từ AEF : ABC suy ra cos A 0,5 SABC AB S S Tương tự câu a, BDF cos2 B, CDE cos2 C. 1,0 SABC SABC SDEF SABC SAEF SBDF SCDE 2 2 2 b Từ đó suy ra 1 cos A cos B cos C SABC SABC 0,5 2 2 2 Suy ra SDEF 1 cos A cos B cos C .SABC 0,5 c) Chứng minh đượcOA  EF; OB  DF; OC  ED. 0,5 Có 2S ABC 2.(S AEOF SBDOF SCDOE ) 0,5 BC.AD OA.EF OB.FD OC.ED 0,5 c BC.AD R(EF FD ED) 0,5 BC.AD 0,5 EF FD ED R Chu vi tam giác DEF lớn nhất khi và chỉ khi AD lớn nhất; AD lớn nhất khi và chỉ khi A là điểm chính giữa cung lớn BC. 0,5 a 2 b2 c2 2ab 2bc 2ac P 0,5 2bc 2ca 2ab c2 ab a 2 bc b2 ac a 2 a 2 bc 1 b2 b2 ac 1 c2 c2 ab 1 Mà ; ; nên 2bc 2bc 2 2ac 2ac 2 2ab 2ab 2 0,5 x y Với các số dương x, y ta có 2 (x y)2 0 luôn đúng, dấu bằng y x 0,25 xảy ra khi và chỉ khi x = y. 5 Áp dụng ta có: c2 ab 2ab a 2 bc 2bc b2 ac 2ac 3 ≥ P 2 2 2 2ab c ab 2bc a bc 2ac b ac 2 0,5 3 9 2+2+2 - 2 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c a3 b3 c3 a 2 b2 b2 c2 c2 a 2 Kết luận :giá trị nhỏ nhất của P 2 2 2 0,25 2abc c ab a bc b ca bằng 9 khi a = b = c 2 Đính chính :Câu 5: P≥