Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện đợt 1 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD&ĐT Lương Tài (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện đợt 1 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD&ĐT Lương Tài (Có đáp án và thang điểm)

1. Ra đề thi HSG-LT10 UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT 1 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2015 - 2016 Môn thi: Toán - Lớp 9 Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2,0 điểm) 1 x 1 x 1 Cho biểu thức P = x : . x x x x a) Tìm x ñeå P xaùc ñònh, rút gọn P. 2 b) Tính giá trị của P khi x = . 2 3 c) Tìm giá trị của x thỏa mãn đẳng thức P. x 6 x 3 x 4 . Bài 2: (2,0 điểm) Giải các phương trình a) x 2 3x 2 x 3 x 2 x 2 2x 3 b) x 2 5x 9 x 5 x 2 9. Bài 3: (2,0 điểm) a) Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số thỏa mãn a + b + c = 2015 1 1 1 1 và thì một trong ba số a, b, c phải có một số bằng 2015. a b c 2015 b) Cho x và y thỏa mãn x x2 2015 y y2 2015 2015 . Tính x + y. Bài 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BC. Gọi D là trung điểm của AB, E là trọng tâm của tam giác ACD, G là giao điểm của CD và AO. Chứng minh: a) EG // AB b) OE  CD 3 c) SDAC + SBDO = SABC 4 Bài 5: (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn(AB < AC). Từ trung điểm D của cạnh BC, kẻ đường vuông góc với đường phân giác của góc A cắt AB và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh: BM = CN. HẾT (Đề thi gồm có 01 trang) Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh
2. Đáp án Ra đề thi HSG LT10 UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI HƯỚNG DẪN CHẤM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Môn thi: Toán - Lớp 9 Bài 1: (2 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm a) 1 x 1 x 1 P x : , ĐKXĐ: x 0, x 1 0,25 x x x x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 0,25 = : = : 0,75 x x x x 1 x x x 1 điểm 2 x 1 x x x 1 x x 1 x 1 = : =  = 0,25 x x x 1 x x x 1 x b) 2 2 0,25 Với x = ĐKXĐ, x = 4 2 3 = 3 1 x 3 1 2 3 0,5 2 điểm 3 1 1 3 3 3 1 Nên P = = = . 0,25 3 1 3 1 2 c) ĐK: x 4 P. x = 6 x 3 x 4 2 x 1 . x = 6 x 3 x 4 0,25 x 2 0,75 x 1 = 6 x 3 x 4 điểm 2 x + 2 x + 1 = 6 x 3 x 4 x 2 x 4 0 (*) 0,25 2 Do x 2 0  x > 0; x 4 0 ,  x 4 2 Nên để (*) xảy ra thì x 2 0 và x 4 0 x = 4 (TM ĐKXĐ) 0,25 Kết luận
3. Bài 2: (2 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm a) a, x 2 3x 2 x 3 x 2 x 2 2x 3 (1) x 2 3x 2 0 ĐK: x 3 0 x 2 0,25 2 x 2x 3 0 (1) (x - 1)(x - 2) + x + 3 = x - 2 + (x - 1)(x + 3) x 1 a 0 0,25 1 điểm Đặt: x 2 b 0 x 3 c 0 (1) a.b + c = b + a.c a(b - c) - (b - c) = 0 0,25 a 1 (a - 1)(b - c) = 0 b c Với a = 1 x 1 1 x - 1 = 1 x = 2 (thoả mãn đk) Với b = c x 2 x 3 x - 2 = x + 3 0x = 5 vô nghiệm 0,25 Vậy phương trình (1) có nghiệm x = 2 b) x 2 5x 9 x 5 x 2 9. 0,25 Đặt x 2 9 y (với y 3) y 5 1 điểm 2 0,5 Khi đó, ta có: y 5x x 5 y y 5 y x 0 y x Từ đó tìm được nghiệm của phương trình là: x 4. 0,25
4. Bài 3: (2 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm 1 1 1 1 1 1 1 1 a) ( ) ( ) 0 a b c a b c a b c a b c a b a b 0 ab c(a b c) 1 1 (a b )( ) 0 ab c (a b c ) (a b )(ab ac bc c 2 ) 0 (a b )(b c )(c a ) 0 a b 0 b c 0 c a 0 +) Nếu a + b = 0 thì suy ra c = 2015 +) Nếu b + c = 0 thì suy ra a = 2015 +) Nếu a + c = 0 thì suy ra b = 2015 Chứng tỏ trong 3 số a, b, c phải có một số bằng 0. b) x x2 2015 y y2 2015 2015 (hai nhaân töû v.traùi phaûi khaùc 0) 2015 Nên x x2 2015 y2 2015 y y y2 2015 1 điểm Tương tự y y2 2015 = x2 2015 x 0,5 Cộng vế theo vế, ta có x + y + y2 2015 + x2 2015 = y2 2015 + x2 2015 x y 2(x + y) = 0 nên x + y = 0 0,5
5. Bài 4: (3 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm A a) M E D N 1 điểm G C B O Vẽ hình chính xác 0,25 Chứng minh EG //AB: Kẻ các đường trung tuyến CM, DN của ADC chúng cắt nhau ở E Hai trung tuyến AO và CD cắt nhau tại G, nên G là trọng tâm ABC 0,25 CE CG 2 Xét MCD, ta có: EG // DM hay EG // AB CM CD 3 0,5 b) Chứng minh OE  CD : OD  AB (Đường kính qua trung điểm D của dây AB) Mà EG // AB nên EG  OD (1) 0,5 1 điểm ABC cân tại A OG  BC, mà BC // DN nên OG  DN (2) Từ (1) và (2) suy ra G là trực tâm ODE, do đó OE  DG hay OE  CD 0,5 c) 3 Chứng minh: SDAC + SBDO = SABC: 4 1 1 1 1 1 1 S OC OA BC OA OA.BC ODC 2 2 2 2 2 8 1 OA.BC S ABC 2 4 0,5 S 1 1 điểm ODC OA.BC 8 1 Vậy SABC = 4 SODC hay SODC = SABC 4 1 3 Ta có SDAC + SBDO = SABC – SODC = SABC – SABC = SABC 4 4 0,5
6. Bài 5: (1 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm A P N B D C M K Vẽ hình chính xác 0,25 Chứng minh: BM = CN 1 điểm Gọi K là giao điểm của MN và đường phân giác của góc A Từ B kẻ đường thẳng song song với MN nó cắt AC tại P AMN là tam giác cân tại A (AK vừa là đường cao vừa là đường phân giác) AM = AN (1) BP//MN nên BP  AK.Tương tự ABP cân tại A AB = AP (2) 0,5 BM = AM – AB ; PN = AN – AP (3) Từ (1),(2),(3) suy ra BM = PN (4) Trong BCP, D là trung điểm của BC, DN// BP N là trung điểm của CP hay NP = NC (5). Từ (4),(5) BM = CN 0,25 Lưu ý: Các cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.