Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện đợt 1 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD&ĐT Lương Tài (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện đợt 1 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD&ĐT Lương Tài (Có đáp án và thang điểm)

1. Ra đề thi HSG-LT03 UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI RA ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN ĐỢT 1 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2015 - 2016 Môn thi: Toán - Lớp 9 Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề) Thí sinh không được sử dụng máy tính bỏ túi. Bài 1: ( 2 điểm) x 1 x 2 x 1 Cho biểu thức P x 1 x x 1 x x 1 a, Rút gọn biểu thức P. 2 b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q x . P Bài 2: (2 điểm) a) Giải các phương trình sau: x x 1 x 4 x 9 0 b) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình m 4 x m 3 y 1 (m là tham số). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất. Bài 3: (2 điểm) x y 2013 a) Tìm tất cả các bộ số nguyên dương x; y; z thỏa mãn là số y z 2013 hữu tỉ, đồng thời x2 y2 z2 là số nguyên tố. b) Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn: x(1 + x + x2 ) = 4y(y -1) Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Tia AO cắt đường tròn (O) tại D. a) Chứng minh các điểm B, C, E, F thuộc một đường tròn. b) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành. c) Gọi M là trung điểm của BC, tia AM cắt HO tại G. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC. Bài 5: (1 điểm) Giả sử a, b, c là các số dương , chứng minh rằng: a b c 2 b c c a a b HẾT Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh
2. Đáp án Ra đề thi HSG-LT03 UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI HƯỚNG DẪN CHẤM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Môn thi:Toán - Lớp 9 Bài 1: (2điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm A ĐKXĐ x 0; x 1 0,25 x x 1 x 2 x 1 x 1 x Ta có P 0,75 x 1 x x 1 x x 1 B Áp dụng BĐT Cô – si ta có: 2 x x 1 2 0,75 Q x 2 x 2 2 2 x x Vậy GTLN của Q= 2 2 2 khi x=2 0,25 Bài 2: (2 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm a ĐKXĐ: x 0. 0,25 x x 1 x 4 x 9 0 x 9 x 4 x 1 x (1) 0,25 5 1 x 9 x 4 x 1 x x 9 x 4 5( x 1 x) (2) 0,25 Từ (1),(2) suy ra: x 9 3 x 1 2 x 3 x 1 9x 9 x 9 ,dấu 0,25 “=” xảy ra khi x=0. Thử lại x=0 là nghiệm pt. Vậy pt đã cho có nghiệm x=0. b Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình m 4 x m 3 y 1 (m là tham số). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất. Với mọi m, đường thẳng (d) không đi qua gốc toạ độ O(0; 0). 0,25 m = 4, ta có đường thẳng y = 1, do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 đơn vị (1). m = 3, ta có đường thẳng x = -1, do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (2). m 4, m 3 thì (d) cắt trục Oy, Ox lần lượt tại: 1 1 0,25 A 0; và B ; 0 . m 3 m 4 Hạ OH vuông góc với AB, trong tam giác vuông AOB, ta 1 1 có: OA , OB m 3 m 4 0,25
3. 1 1 1 2 2 m 3 m 4 2m2 14m 25 OH2 OA2 OB2 2 7 1 1 2 m 2 2 2 0,25 1 1 2 OH2 OH2 2 OH 2 OH2 2 Suy ra OH2 2 OH 2 (3). Từ (1), (2), (3) ta có GTLN của OH là 2 , đạt được khi và chỉ khi m = 7 . 2 Kết luận: m = 7 . 2 Cách 2: Tìm điểm cố định: m 4 x m 3 y 1 mx 4x my 3y 1 0 m x y 4x 3y 1 0 x y 0 4x 4y 0 y 1 4x 3y 1 0 4x 3y 1 0 x 1 m 4 x m 3 y 1 m 3 y 1 m 4 x 1 m 4 y x m 3 m 3 m 4 7 hsg d 1 m 4 m 3 2m 7 m m 3 2 Bài 3: (2,0 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm a Tìm tất cả các bộ số nguyên dương x; y; z thỏa mãn x y 2013 là số hữu tỉ, đồng thời x2 y2 z2 là số nguyên tố. y z 2013 0,25 x y 2013 m Ta có m,n ¥ *, m,n 1 . y z 2013 n nx my mz ny 2013 0,25 nx my 0 nx my x m y x y m 2 xz y . mz ny 0 mz ny y n z y z n x2 y2 z2 x z 2 2xz y2 x z 2 y2 x y z x z y 0,25 Vì x y z 1 và x2 y2 z2 là số nguyên tố nên 0,25
4. x2 y2 z2 x y z x y z 1 x2 y2 z2 x y z 2x2 2y2 2z2 2x 2y 2z 2xy 2yz 2zx x y 2 y z 2 z x 2 0 x y z Từ đó suy ra x y z 1 (thỏa mãn). b x(1 + x + x2 ) = 4y(y - 1) x + x2 + x3 + 1 = 4y2 – 4y + 1 0,25 (x2 + 1)(x + 1) = (2y - 1)2 (1) Do (2y - 1)2 là số lẻ, gọi d = (x2 + 1,x + 1) d là số lẻ 0,25 x2 + 1 d và (x + 1)(x – 1)  d 2 d mà d lẻ nên d = 1 nên x2 + 1 và x + 1 nguyên tố cùng nhau với x, y là các số nguyên thì (2y - 1)2 là số chính phương nên x2 + 1 và x + 1 đều là số chính phương lại có x2 và x2 + 1 là hai số chính phương liên tiếp x2 = 0 x = 0 0,25 Thay x = 0 vào phương trình (1) ta tìm được y = 0, và y =1 Vậy các cặp số tự nhiên (x,y) là (0,1); (0,0). 0,25 Bài 4: (3,0 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm a A E F G O 0,25 H B M C D B·FC = B·EC = 900 ( cùng nhìn cạnh BC) 0,5 Suy ra B, C, E, F thuộc đường tròn đường kính BC. 0,25 b Ta có A·CD = 900 DC  AC 0,25 Mà HE  AC; suy ra BH//DC (1) 0,25 Chứng minh tương tự: CH//BD (2) 0,25 Từ (1) và (2) suy ra BHCD là hình bình hành 0,25 c Ta có M trung điểm của BC suy ra M trung điểm của HD. 0,25 Do đó AM, HO trung tuyến của AHD 0,25 GM 1 G trọng tâm của AHD 0,25 AM 3 GM 1 Xét tam giác ABC có M trung điểm của BC, AM 3 0,25 Suy ra G là trong tâm của ABC
5. Bài 5: (1,0 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm Do a,b,c > 0 áp dụng BĐT Cauchy , ta có : a + (b + c) 2 a(b c) a [a + (b + c)] 2a b c a 2a  0,25 b c a b c Tương tự ta thu được : b 2b c 2c , 0,25 c a a b c a b a b c a b c Cộng theo vế ta được: + + 2 0,25 b c c a a b Dấu bằng của ba BĐT trên không thể đồng thời xảy ra , vì khi đó có : a = b + c , b = c + a , c = a + b nên a + b + c = 0 ( trái với giả thiết a, b, c đề là số dương ). a b c 0,25 Từ đó suy ra : 2 b c c a a b