Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện đợt 1 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 (Có đáp án chi tiết và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện đợt 1 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 (Có đáp án chi tiết và thang điểm)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÈ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT 1 Năm học: 2018 – 2019 Môn thi: Toán – Lớp: 9 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức: x x 2 2 x P : x 1 x 1 x x x x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P < 1 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P . Bài 2: (2,0 điểm) 1. Giải phương trình : x2 7x 6 x 3 x 6 x2 2x 3 2. Cho 2 điểm A 1;3 và B 2;1 a) Biết phương trình đường thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0) đi qua A và B. Tìm a và b. b) Lập phương trình đường thẳng đi qua C 2; 1 và song song với (d); vuông góc với d. Bài 3: (2,0 điểm) 1. Tìm nghiệm nguyên x; y của phương trình : x2 3y2 2xy 2x 10y 4 0 2. Cho x, y,z là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện xyz 100 . Tính giá trị của x y 10 z biểu thức M xy x 10 yz y 1 xz 10 z 10 Bài 4 (2,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Trên đường tròn (O) lấy một điểm D bất kì (D A, B), trên đường kính AB lấy điểm C. Kẻ CH vuông góc với AD tại H, phân giác trong D· AB cắt đường tròn (O) tại E và cắt CH tại F, DF cắt đường tròn (O) tại N. Chứng minh: 1. Ba điểm N, C, E thẳng hàng; 2. Nếu AD = BC thì DN đi qua trung trung điểm của AC. Bài 5: (2,0 điểm) Cho VABC có Aµ 105o ;Bµ 45o ; BC 4cm . Tính độ dài AB; AC. HẾT (Đề thi gồm có 02 trang) Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: .
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: Toán – Lớp: 9 Bài 1: (2,0 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm a) ĐK: x > 0; x ≠ 1 x x 1 x 2 x 1 2 x P : x 1 x 1 x x 1 x 2 x x 2 x : x 1 x 1 x x 1 1,0 x 2 x x x 1 . x 1 x 1 x 2 x x x 1 b) x x x x 1 P 0 0,5 2 4 4 2 4 x 1 0; x ≠ 1 Vậy 0 0 x 1> 0; > 0. Áp dụng BĐT Cô si ta được: 0,5 x 1 1 x 1 2 x 1 P 2 2 4 Dấu “ = ” xảy ra khi x = 4(tmđk) Vậy Pmin 4 khi x = 4 P 2 khi x = 4.
3. Bài 2: (2,0 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm 1) Phương trình : x2 7x 6 x 3 x 6 x2 2x 3 1 Ta có x2 7x 6 x 1 x 6 và x2 2x 3 x 1 x 3 nên x 3 0 x 3 phương trình xác định x 1 0 x 1 x 6 0,25 x 6 0 x 6 Khi đó : 1 x 1 x 6 x 3 x 6 x 1 x 3 x 1 x 6 x 3 x 6 x 3 0 x 6 x 3 x 1 1 0 0,25 x 6 x 3 0 x 6 x 3 x 6 x 3 0x 9 (vo ânghieäm) x 1 1 0 x 1 1 x 1 1 x 2 (loaïi vì khoâng thoûa maõn ÑKX0,25Ñ) 0,25 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm 2) a) Vì d : y ax b a 0 đi qua 2 điểm A; B nên: 2 a 3 a b 3 (tmđk) 1 2a b 7 b 3 2 7 Vậy d : y x 3 3 b) Gọi đường thẳng cần tìm là 0,5 V : y ax b a 0 Vì V đi qua C nên 1 2a b 1 2 a 3 +) Vì V P d 7 b 2 2 7 V : 1 2. b b 3 3 2 7 Vậy V : y x 3 3
4. 2 3 +) Vì V  d a. 1 a 3 2 Thay vào (1) ta được: 0,5 1 3 b b 2 3 Vậy V : y x 2 2 Bài 3: (2,0 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm 1) Ta có : x2 3y2 2xy 2x 10y 4 0 x2 2xy y2 4y2 4y 1 2x 6y 5 0 x y 2 2y 1 2 2 x 3y 5 0 x y 1 x 3y 1 2 x 3y 1 7 0 0,25 x 3y 1 x y 3 7 Vì x, y nguyên nên x 3y 1 và x y 3 nguyên  các trường hợp : *) Trường hợp 1: x 3y 1 1 x 3y 0 x 3y x 3 x y 3 7 x y 4 4y 4 y 1 0,25 *) Trường hợp 2: x 3y 1 1 x 3y 2 x 2 3y x 7 x y 3 7 x y 10 4y 12 y 3 *) Trường hợp 3: 0,25 x 3y 1 7 x 3y 6 x 6 3y x 3 x y 3 1 x y 2 4y 4 y 1 *) Trường hợp 4: x 3y 1 7 x 3y 8 x 8 3y x 1 x y 3 1 x y 4 4y 12 y 3 Vậy nghiệm nguyên của phương trình là x; y 3;1 ; 7; 3 ; 3;1 ; 1; 3  0,25 2) Vì x, y, z nguyên dương; xyz 100 xyz 10 Ta có :
5. x y 10 z M xy x 10 yz y 1 xz 10 z 10 x xy 10 z xy x 10 xyz xy x xz 10 z xyz x xy 10 z 0,25 xy x 10 10 xy x z x 10 xy 0,25 x xy 10 xy x 10 xy x 10 xy x 10 0,25 x xy 10 1 xy x 10 0,25 Bài 4: (2,0 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm 1) N B A P O C F H 0,25 D E Vì CH // BD (cùng vuông góc với AD) suy ra A· CH A· BD (đồng vị) Lại có A· ND A· BD (cùng chắn cung AD) A· CH A· ND , hai góc này có đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh AF do đó tứ giác ANCF nội tiếp. F· AC F· NC (hệ quả góc 0,25 nội tiếp). (1)
6. Nối N với E ta có D· AE D· NE (cùng chắn cung DE), mà D· AE B· AE (gt) (2) Từ (1) và (2) suy ra D· NC D· NE 0,25 Do đó hai tia NC và NE trùng nhau do đó ba điểm N, C, E thẳng hàng. (đpcm) 0,25 2) Gọi giao điểm của ND với AB là P. Theo tính chất đường phân giác trong tam giác APD ta có: AP FP (3) AD FD Xét tam giác BDP, có FC // DB, Áp dụng định lí Ta lét trong tam giác ta có:: PC PF (4) 1,0 BC DF AP PC Từ (3) và (4) suy ra . Mà AD = BC (gt) suy ra: AD BC AP = PC do đó P là trung điểm của AC. Bài 5: (2,0 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm A Kẻ AH  BC 1 2 Xét VAHB có ·AHB 90o µ o µ o B 45 A 45 45o ¶A 105o 45o 60o 2 1,0 )HC AH.tan 60o B H C 4 BH AH. 3 4 AH 3AH AH BH 4 3 1 .AH 4 AH 2 3 1 3 1 Mà: AB2 AH 2 BH 2 (Định lí Pi- ta- go) AB2 2AH 2 AB 2AH 2.2 3 1 2 6 2 AC 2AH 4 3 1 1,0