Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Khối 8 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Khối 8 (Có đáp án)

1. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Môn thi: TOÁN LỚP 8 Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1. (3,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 12x3 16x2 5x 3 2 b) x2 x 1 5x x2 x 1 4x2 Câu 2. (3,0 điểm) a) Chứng minh rằng: Nếu x2 y2 z2 xy yz zx thì x y z a2 b2 c2 a c b b) Cho ba số a,b,ckhác 0thỏa mãn : b2 c2 a2 c b a Chứng minh rằng a b c Câu 3. (4,0 điểm) Giải các phương trình: 2 2 2 x 3 x 3 7 x 9 a) 2x 1 2x 5 4(1) b) 6 2 0 x 2 x 2 x 4 Câu 4. (4,0 điểm) 2 2 1 1 a) Cho x, y 0 thỏa mãn x y 2.Chứng minh rằng : x y 8 x y 2015 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A , với x là số nguyên. x 3 Câu 5. (6,0 điểm) Cho hình thang ABCD AB / /CD, AB CD .Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt BD ở E và cắt CD ở K. Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt AC ở F và cắt CD ở I. Chứng minh rằng: a) DK CI b) EF / /CD c) AB2 CD.EF
2. ĐÁP ÁN Câu 1. a) 12x3 16x2 5x 3 12x3 6x2 22x2 11x 6x 3 6x2 2x 1 11x 2x 1 3 2x 1 2x 1 6x2 11x 3 2x 1 6x2 9x 2x 3 2x 1 3x 2x 3 2x 3 2x 1 3x 1 2x 3 2 b) A= x2 x 1 5x x2 x 1 4x2 Đặt x2 x 1 y , ta có: A 4x2 5xy y2 4x y x y 4x x2 x 1 x x2 x 1 x2 5x 1 x2 2x 1 x 1 2 x2 5x 1 2 5 21 5 21 x 1 x x 2 2 Câu 2. a) Ta có: x2 y2 z2 xy yz zx 2x2 2y2 2z2 2xy 2yz 2zx x2 2xy y2 y2 2yz z2 z2 2zx x2 0 x y 2 y z 2 z x 2 0 (1) Ta có: x y 2 0, y z 2 0, z x 2 0 x y 0 Do đó 1 y z 0 x y z z x 0
3. a2 b2 c2 a c b b) Ta có: b2 c2 a2 c b a a4c2 b4a2 c4b2 abc a2c c2a b2c Đặt x a2c, y b2a, z c2b.Ta được: x2 y2 z2 xy yz zx Áp dụng kết quả câu a ta được: x y 2 y z 2 z x 2 0 x y z a2c b2a c2b ac b2;bc a2;ab c2 a b c(dfcm) Câu 3. a) 2x 1 2x 5 4 1 Ta có: 1 2x 1 5 2x 2x 1 5 2x 2x 1 5 2x 0 (Áp dụng tính chất: a b a b ab 0 ) 1 5 x 2 2 2 2 2 x 3 x 3 7 x 9 b) 6 2 0 (1) x 2 x 2 x 4 ĐKXĐ: x 2 1 x 3 2 x 2 2 6 x 3 2 x 2 2 7 x2 9 x2 4 0 x2 6x 9 x2 4x 4 6x2 36x 54 x2 4x 4 7x2 63 x2 4 0 50x3 350x2 300x 0 x3 7x2 6x 0 x 0 (tm) x 1 (tm) x 6 (tm)
4. Câu 4. 1 2 a) Bài toán phụ : Chứng minh rằng a2 b2 a b (1) 2 Chứng minh 1 2a2 2b2 a2 2ab b2 a2 2ab b2 0 a b 2 0 Áp dụng bài toán phụ (1) ta có: 2 2 2 1 1 1 1 1 x y x y (2) x y 2 x y 2 2 2 1 1 x y 2 Mà x y 2 2 (vì x y 2) x y xy xy 2 x y 2 2 Với x, y 0 ta có: 0 xy (vì x y 0 x y 4xy) 4 1 4 2 8 xy x y 2 xy x y 2 2 2 8 2 2 2 2 2 16(Vi x y 2) 2 xy x y 2 1 1 x y 16 (3) x y 2 2 1 1 Từ (2) và (3) suy ra : x y 8 x y 2015 b) B với x là số nguyên x 5 Xét x 3 x 3 0 B 0 Xét x 3thì do x ¢ nên x 0;1;2 +Khi x 0 B 403 +Khi x 1 x 1 B 503,75 +Khi x 2 x 2 B 2015 Vậy min B 2015 x 2
5. Câu 5. A B E F C D I K a) Tứ giác ABCK có: AB / /CK AB / /CD,K CD ; AK / /BC gt ABCK là hình bình hành CK AB DK CD CK CD AB (1) Chứng minh tương tự , ta có: DI AB IC CD DI CD AB (2) Từ (1) và (2) suy ra DK IC AE AB b) DEK có AB / /DK , theo hệ quả định lý ta let ta có: (3) EK DK AF AB FIC có AB / /IC , theo hệ quả định lý Ta let ta có : (4) FC IC Mà DK IC (câu a) (5) AE AF Từ (3) (4) (5) suy ra EK FC AE AF AKC có EF / /KC (Định lý Ta let đảo) EF / /CD EK FC AB CK c) Ta có: (vì AB CK) (6) CD CD CK BE BCD có EK / /BC, theo định lý Ta let ta có: (7) CD BD BE EF BDI có EF / /DI , theo định lý Ta let mà DI = AB BD DI
6. BE EF Suy ra (8) BD AB AB EF Từ (6), (7), (8) AB2 CD.EF CD AB