Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Phòng GD&ĐT Nam Sách (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Phòng GD&ĐT Nam Sách (Có đáp án và thang điểm)

1. ubnd huyÖn nam s¸ch k× thi chän häc sinh giái cÊp huyÖn m«n thi: to¸n phßng gi¸o dôc & ®µo t¹o Thêi gian lµm bµi 150 phót C©u 1 (2,0 ®iÓm) x 2 5 1 Cho A x 3 x2 x 6 x 2 a. Rót gän biÓu thøc A. 2 b. TÝnh gi¸ trÞ cña A biÕt x 2 3 C©u 2 (2,0 ®iÓm) (a 1)x y 3 Cho hÖ ph­¬ng tr×nh a x y a a. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh khi a 2 b. X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña a ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt tháa m·n x + y > 0. C©u 3 (2,0 ®iÓm) a. Cho x2 6x 13 x2 6x 10 1 H·y tÝnh gi¸ trÞ cña A x2 6x 13 x2 6x 10 b. T×m nghiÖm nguyªn d­¬ng cña ph­¬ng tr×nh (x + 2y)(3x + 4y) = 96 C©u 4 (3,0 ®iÓm) Cho ABC nhän (AB < AC) néi tiÕp ®­êng trßn t©m O. §­êng ph©n gi¸c gãc trong A c¾t c¹nh BC ë D; c¾t ®­êng trßn t©m O ë M. a. Chøng minh r»ng B· MC A· BC A· CB b. MB  MC MD  MA c. KÎ ®­êng cao AH H BC . Chøng minh r»ng O· AH A· BC A· CB C©u 5 (1,0 ®iÓm) Cho P x 2 xy 3y 2 x 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P Hä vµ tªn: SBD Ch÷ kÝ GT 1:
2. §¸p ¸n - M«n To¸n (HS cã thÓ chøng minh c¸ch kh¸c) C©u Néi dung §iÓm §k: x 3; 2 0.25 x 2 5 1 A 0.25 x 3 (x 2)(x 3) x 2 a (x 2)(x 2) 5 (x 3) A 0.25 (x 2)(x 3) x 4 A 0.25 x 2 1 2 2 V× x > 0; ta cã x 4 2 3 0.25 2 3 x 3 1 0.25 b 3 1 4 3 5 Thay vµo biÓu thøc A 0.25 3 1 2 3 3 ( 3 5)( 3 3) 3 6 A 0.25 ( 3 3)( 3 3) 3 (1 2)x y 3 (1) Thay a 2 ta ®­îc hÖ 0.25 2 x y 2 (2) (1 2 2)x 3 2 0.25 2 x y 2 a 3 2 x 1 2 2 KÕt luËn 0.5 2 2 2 2 y 1 2 2 (a 1)x y 3 (1) (2a 1)x a 3 0.25 a x y a (2) a x y a 1 a 3 b a x 2 2a 1 0.25 a2 2a y 2a 1
3. a 3 a2 2a a2 a 3 Ta cã x y 2a 1 2a 1 2a 1 Ta cã a2 - a + 3 > 0 nªn x + y > 0 khi 2a + 1 > 0 0.5 1 Hay a (Tháa m·n) 2 KÕt luËn §Æt x2 6x 13 a ; x2 6x 10 b 0.25 -> a2 - b2 = 3 0.25 a -> (a - b)(a + b) = 3; Ta cã a - b = 1 -> 1.(a + b) = 3 0.25 VËy x2 6x 13 x2 6x 10 = 3 0.25 Ta cã (x + 2y)(3x + 4y) = 96; x + 2y + 3x + 4y = 4x + 6y Nªn (x + 2y) vµ (3x + 4y) lµ ch½n; 0.25 MÆt kh¸c 2 < x + 2y < 3x + 4y 3 V× vËy ta xÐt 96 = 4.24 = 6.16 = 8.12 x 2y 4 x 16 XÐt c¸c tr­êng hîp: (Lo¹i) b 3x 4y 24 y 6 x 2y 6 x 4 (Tháa m·n) 0.5 3x 4y 16 y 1 x 2y 8 x 4 (Lo¹i) 3x 4y 12 y 6 KÕt luËn 0.25 VÏ h×nh A E O 0.25 4 B H D C M a Ta cã A· BC A· MC (gãc néi tiÕp ch¾n A»C ) 0.25
4. A· CB A· MB (gãc néi tiÕp ch¾n A»B ) 0.25 Céng vÕ víi vÕ - KÕt luËn 0.25 Ta cã B· AM C· AM (gt) M¼ B M¼ C MB MC (1) 0.25 A· MB chung  XÐt MBD vµ MAB cã  · · MBD MAB b MB MA MBD S MAB (gg) MD MB MB.MB = MA.MD (2) 0.5 Tõ (1) vµ (2) MB  MC MD  MA 0.25 KÎ ®­êng th¼ng BE  AO, E (O) 0.25 A»B A»E A· CB A· BE (1) (Hai gãc néi tiÕp ch¾n 2 cung b»ng nhau) MÆt kh¸c O· AH C· BE (2) (Hai gãc cã c¹nh t­¬ng øng vu«ng gãc) 0.25 c Ta l¹i cã A· BE C· BE A· BC (3) (v× tia BE n»m gi÷a 2 tia BA vµ BC) 0.25 · · · · · · Tõ (1); (2); vµ (3) ACB OAH ABC Hay OAH ABC ACB 0.25 §K x; y 0 0.25 P x 2 xy y 1 2 x 2 y 2 y 2y P ( x y)2 1 2( x y ) 2 y 2y 0.25 5 1 1 P ( x y 1)2 (2 y 1)2 0.25 2 2 1 1 9 P y ; x KÕt luËn 0.25 2 4 4