Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Phòng GD&ĐT Yên Định (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Phòng GD&ĐT Yên Định (Có đáp án và thang điểm)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN HUYỆN YÊN ĐỊNH Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi này gồm 01 trang) ĐỀ THI CHÍNH THỨC x 2 x 2 x2 2x 1 Câu 1: (3 điểm) Cho A = . x 1 x 2 x 1 2 a) Rút gọn A. b) Tìm x để A > 0 . c) Tìm giá trị lớn nhất của A . Câu 2: (6 điểm) a) Giải phương trình: 2x2 8x 3 x2 4x 8 18 b) Giải bất phương trình: |2x-7| < x2 + 2x + 2 (x y)(x 2 y 2 ) 45 c) Giải hệ phương trình: 2 2 (x y)(x y ) 85 Câu 3 : (4 điểm) a) Cho a b c 0 , tính giá trị của biểu thức: 1 1 1 P b2 c2 a2 a2 c2 b2 a2 b2 c2 b) Tìm số tự nhiên n sao cho A n2 n 6 là số chính phương. Câu 4 : (5 điểm) a) Từ một điểm A nằm ngoài (O;R) kẻ hai tiếp tuyến AM, AN (M,N (O;R)). Trên cung nhỏ MN lấy điểm P khác M và N. Tiếp tuyến tại P cắt AM tại B, cắt AN tại C. Cho A cố định và AO = a. Chứng minh chu vi tam giác ABC không đổi khi P di động trên cung nhỏ MN. Tính giá trị không đổi ấy theo a và R. b) Cho tam giác ABC có diện tích bằng 36 (đơn vị diện tích). Trên cạnh BC và cạnh CA lần lượt lấy điểm D và E sao cho DC = 3DB và EA = 2EC; AD cắt BE tại I. Tính diện tích tam giác BID. Câu 5: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 x10 y10 1 Q (x16 y16 ) (1 x 2 y 2 ) 2 2 2 2 y x 4 Hết
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HUYỆN YÊN ĐỊNH THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN Môn thi: Toán (Hướng dẫn chấm này gồm 03 trang) Câu ý Đáp án và hướng dẫn chấm Điểm ĐKXĐ: x 0, x 1 0.25đ a A x( x 1) 0.75đ A 0 x( x 1) 0 x( x 1) 0 0.25đ b x 0 (vì x x 1) 0 x 1 0.75đ x 1 0 1 1 1 1 2 1 1 0.75đ A x( x 1) x x ( x ) 4 4 2 4 4 1 c A 4 1 1 1 Vậy GTLN của A = khi x x (t / m) 0.25đ 4 2 4 2x2 8x 3 x2 4x 8 18 2(x2 4x 8) 3 x2 4x 8 2 0 0.25đ Đặt x2 4x 8 y, y 0 ta được phương trình: 2y 2 3y 2 0 2y 2 y 4y 2 0 0.25đ y 2 (y 2)(2y 1) 0 1 a y 0.5đ 2 1 y = 0 0.25đ 2x 7 x 2 2x 2 Nên: |2x-7| 2 0.5đ 2x 7 x 2x 2 x 2 9 0 0.25đ 2 b x 4x 5 0 x2+4x+4>9 (x+2)2 >9 |x+2| >3 0.25đ x 2 3 x 1 x 2 3 x 5 0.5đ Kết luận nghiệm bất phương trình 0.25đ
3. (x y)(x 2 y 2 ) 45 (x y)(x y) 2 45 (1) Biến đổi 2 2 2 2 0.25đ (x y)(x y ) 85 (x y)(x y ) 85 (2) Từ hệ ta có x – y > 0 0.25đ Nhân hai vế của (1) với 17 và nhân hai vế của (2) với 9 rồi đồng nhất sau khi nhân ta được: 17(x – y)(x + y)2 = 9(x - y)(x2 +y2) 4x2 + 17xy + 4y2 = 0 0.5đ c Nếu y = 0 thì x = 0 => không thỏa mãn hệ. Nếu y 0 , chia hai vế của 4x2 + 17xy + 4y2 = 0 cho y2 0.5đ và đặt t = x/y được: 4t2 +17t + 4 = 0 (t+4)(4t+1) = 0 t = - 4 hoặc t = - 1/4 x = -4y hoặc y = - 4x 0.25đ thay vào hệ phương trình trên được nghiệm của phương trình đã cho là: (x ; y) {(4;-1);(1;-4)} 0.25đ 1 1 1 P b2 c2 a2 a2 c2 b2 a2 b2 c2 1 1 1 1đ a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (dk : abc 0) b c (b c) a c (a c) a b (a b) 1 1 1 a b c 0 (voi : abc 0) 2bc 2ac 2ab 2abc 1đ A n2 n 6 là số chính phương nên A có dạng 2 2 * 3 A n n 6 k (k N ) 4n2 4n 24 4k 2 (2k)2 (2n 1)2 23 0.5đ 2k 2n 1 23 (2k 2n 1)(2k 2n 1) 23 0.5đ b 2k 2n 1 1 (Vì 23 là số nguyên tố và 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1) 2k 2n 1 23 k 6 0.75đ 2k 2n 1 1 n 5 Vậy với n = 5 thì A là số chính phương 0.25đ C = AB+BC+CA M ABC B = AB+BP+PC+CA 0.25đ = (AB+BM)+(CN+CA) P 0.5đ O (t/c 2 tt cắt nhau) A = AM + AN = 2AM 0.25đ (t/c 2 tt cắt nhau) C 4 a = 2 OA2 OM 2 2 a2 R2 N 0.5đ Vì A cố định nên OA=a không đổi vậy khi P di chuyển trên cung 0.25đ nhỏ MN thì chu vi tam giác ABC không đổi. 2 2 0.25đ C ABC = 2 a R Ghi chú: - Không có điểm vẽ hình.
4. - Chứng minh mà không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai thì không được công nhận (không có điểm). (Các đường nét đứt được vẽ thêm để gợi ý chứng minh khi chấm, học sinh phải trình bày kẻ thêm đường phụ khi chứng minh - nếu cần) 1 Trình bày c/m: S S BID 4 BIC 0.5đ 1 Trình bày c/m: S S A BIC 2 BIA 1.0đ 1 1 => S S S b BID 8 BIA 9 ABD 0.5đ 1 Trình bày c/m: S ABD S ABC E 4 0.5đ 1 36 I => S BID S ABC 1 36 36 B 0.5đ Ghi chú: D C - Không có điểm vẽ hình. - Chứng minh mà không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai thì không được công nhận (không có điểm). ĐK: x≠0, y≠0 1 x10 y10 1 Q (x16 y16 ) (1 x 2 y 2 ) 2 2 2 2 y x 4 1 x10 y10 1 3 1 1 (x16 y16 1 1) (1 x 2 y 2 ) 2 2 2 0.5đ 2 y x 4 2 Áp dụng bắt đẳng thức Cô-si cho bốn số dương ta có: 5 1 x10 y10 1 1 2x 2 y 2 0.25đ 2 2 2 y x 1 0.25đ (x16 y16 1 1) x 4 y 4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 3 5 0.5đ => Q 2x y x y 1 2x y x y 2 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là Q = – 5/2 khi x2 = y2 = 1 0.5đ Chú ý: HS có thể giải theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.