Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện vòng 1 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2010-2011 - Phòng GD&ĐT Thanh Chương (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện vòng 1 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2010-2011 - Phòng GD&ĐT Thanh Chương (Có đáp án và thang điểm)

1. PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN. VÒNG I NĂM HỌC: 2010 - 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm 1 trang) Môn thi: TOÁN 9 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1. a. Phân tích Q thành nhân tử: Q x 5x 2 2x 2 10 b. Tính Q khi biết x 13 4 10 Câu 2. Cho hàm số: y x 2m 1; với m tham số. a. Xác định m để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O. b. Tính theo m tọa độ các giao điểm A; B của đồ thị hàm số với các trục Ox; 2 Oy. H là hình chiếu của O trên AB. Xác định giá trị của m để OH 2 b. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB. Câu 3. a. Giải phương trình: x 1 2 x 2 x 1 5 x 2 b. Cho a;b là hai số dương thỏa mãn: a2 b2 6 . Chứng minh: 3(a2 6) (a b) 2 c. Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 xy 2008x 2009y 2010 0 Câu 4. Cho đường tròn (O; R ). AB và CD là hai đường kính cố định của (O) vuông góc với nhau. M là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O). K và H lần lượt là hình chiếu của M trên CD và AB. a. Tính sin2 M· BA sin2 M· AB sin2 M· CD sin2 M· DC b. Chứng minh: OK 2 AH (2R AH ) c. Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA. MB. MC. MD lớn nhất. Hết./.
2. PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG HD CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2010 - 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN 9 Thời gian: 120 phút( không kể thời gian giao đề) Câu Ý Nội dung cần đạt Điểm Q x 5x 2 2x 2 10 x x 5 2 2 x 5 0,5 a 0,5 x 5 x 2 2 1 2,0 x 13 4 10 x 8 2.2 2. 5 5 (2 2 5)2 2 2 5 0,5 b Vậy: Q 2 2 5 5 2 2 5 2 2 2 2.( 5) 2 10 0,5 y x 2m 1; với m tham số 1 a Để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0) thì 2m 1 0 m 0,25 2 Tìm được tọa độ giao điểm A của đồ thị hàm số với trục Ox: A 2m 1;0 0,5 Giao điểm B của đồ thị hàm số với trục Oy: B 0; 2m 1 b Ta có: AOB vuông tại O và có OH là đường cao nên: 1 1 1 1 1 2 m 0 0,5 2 2 2 2 Hay 2 2 2 2 2 2,0 OH OA OB xA yB (2m 1) m 1 xA xB 2m 1 Hoành độ trung điểm I của AB: xI 2 2 0,5 y y (2m 1) Tung độ trung điểm I của AB: y A B c I 2 2 Ta có: yI xI Quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB là đường 0,25 thẳng y x Điều kiện: x 2 0,2 x 1 2 x 2 x 1 5 x 2 x 2 2 x 2 1 x 1 5 x 2 0,2 2 a x 2 1 x 1 5 x 2 0 x 2 1 x 1 5 x 2 0 0,3 x 2 4 x 2 4 0 ( x 2 2)2 0 x 6 2 0,3 3 Vậy nghiệm của pt là: x 6 2,5 Với a;b là hai số dương ta có: 2 2 1 2 2 1 a b 2.a. b.1 2a b 1 (Theo Bunhiacopski) 0,25 b 2 2 2 3 a b a2 6 (Vì a2 b2 6 ) Hay 3(a2 6) (a b) 2 0,25 2
3. x2 xy 2008x 2009y 2010 0 x2 xy x 2009x 2009y 2009 1 0,25 x(x y 1) 2009(x y 1) 1 (x 2009)(x y 1) 1 0,5 c x 2009 1 x 2010 x y 1 1 y 2010 0,25 x 2009 1 x 2008 x y 1 1 y 2010 C 0,25 K M B O H A D Vì M thuộc (O) nên các tam giác: BMA và CMD vuông tại M nên: a sin2 M· BA sin2 M· AB sin2 M· CD sin2 M· DC = 0,75 (sin2 M· BA cos2 M· BA) (sin2 M· CD cos2 M· CD) = 1 + 1 = 2 3,5 Chứng minh: OK 2 AH (2R AH ) Thật vậy: KOHM là hình chữ nhật nên: OK = MH b Mà MH2 = HA.HB (Hệ thức lượng trong tam giác vuông MAB có MH 0,5 đường cao) và BH = AB – AH = 2R - AH Suy ra: OK2 = MH2 = AH(2R- AH) 0,5 4 P = MA. MB. MC. MD =AB.MH.CD.MK = 4R2.OH.MH(Vì MK = OH) 0,25 OH 2 MH 2 OM 2 R2 0,25 Mà OH.MH (Pitago) 2 2 2 R2 c Vậy P 4R2. 2R4 . đẳng thức xẩy ra MH = OH 2 0,25 R 2 OH = 0,25 2