Đề thi chọn học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán Lớp 8 - Năm học 2011-2012 - Phòng GD&ĐT Móng Cái (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán Lớp 8 - Năm học 2011-2012 - Phòng GD&ĐT Móng Cái (Có đáp án)

1. UBND THÀNH PHỐ MÓNG CÁI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LỚP 8 THCS NĂM HỌC 2011-2012 Bài 1. (4,0 điểm) x2 2x 2x2 1 2 Cho biểu thức M 2 2 3 . 1 2 2x 8 8 4x 2x x x x a) Rút gọn M b) Tìm x nguyên để M có giá trị là số nguyên dương c) Tìm x để M 3 Bài 2. (6,0 điểm) a) Cho x, y là hai số dương và x2010 y2010 x2011 y2011 x2012 y2012.Tính giá trị của biểu thức S x2020 y2020 x 2015 x 2007 x 2006 x 2018 b) Giải phương trình: 2010 2012 2011 2013 c) Tìm x và y thỏa mãn: y2 2 x2 1 2y x 1 Bài 3. (4,0 điểm) bc ac ab a) Chứng minh a b cvới mọi số dương a,b,c. a b c b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức L x4 4x3 7x2 12x 20 Bài 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A AC AB . Vẽ đường cao AH H BC . Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH HA.Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC tại P. a) Chứng minh : Tam giác AKC đồng dạng với tam giác BPC b) Gọi Q là trung điểm của BP. Chứng minh tam giác BHQ đồng dạng với tam giác BPC. AH BC c) Tia AQ cắt BC tại I. Chứng minh 1 HB IB
2. ĐÁP ÁN Câu 1. a) 2x2 8 2 x2 4 0;8 4x 2x2 x3 2 x x2 4 0và x 0 M xác định x 2; x 0 x2 2x 2x2 x2 x 2 M . 2 2 x2 2 x 4 2 x x 4 x2 2x 2 x 4x2 x 1 x 2 . 2 2 x x2 4 x2 2 x x 4 x 1 x 2 x 1 . 2 2 x x2 4 x2 2x x 1 b) Với x 2; x 0,M có giá trị nguyên dương M có giá trị nguyên 2x 2x 2 1 dương 2M 1 nguyên dương 2x x 1 x ¢ ;2M ¢ ¢ x là ước của 1 x 1(Thỏa mãn điều kiện) x x 1 Thử lại: Với x 1ta có: M có giá trị bằng 1(Thỏa mãn) 2x x 1 Với x 1 ta có: M có giá trị bằng 0 (không thỏa mãn) 2x Vậy x 1 c) x 1 M 3 x 2; x 0; 3 2x x 1 x 1 7x 1 3 3 0 0 2x 2x 2x 7x 1 0 7x 1 0 1 Ta có: hoặc .Giải được x 0hoặc x 2x 0 2x 0 7
3. x 0 1 Kết hợp với điều kiện ta có: M 3 hoặc x x 2 7 Câu 2. 2a) Có x2012 y2012 x2011 y2011 x y x2010 y2010 .xy Do x, y là hai số dương và x2010 y2010 x2011 y2011 x2012 y2012 Nên x2010 y2010 x2011 y2011 x2012 y2012 m 0 x 1 m m x y mxy 1 x y xy x 1 1 y 0 y 1 Với x 1 y2010 y2011 y 0(loại) hoặc y 1 Với y 1 x2010 x2011 x 0(ktm) hoặc x 1 2b. x 2015 x 2007 x 2006 x 2018 2010 2012 2011 2013 x 2015 x 2007 x 2006 x 2018 1 1 1 1 2010 2012 2011 2013 x 5 x 5 x 5 x 5 0 2010 2012 2011 2013 1 1 1 1 x 5 0 2010 2012 2011 2013 1 1 1 1 x 5 Do 0 2010 2012 2011 2013
4. 2c. y2 2 x2 1 2y x 1 y2 2y x 1 2 x2 1 0 y2 2y x 1 x 1 2 x2 2x 1 0 y x 1 2 x 1 2 0 y x 1 0 x 1 x 1 0 y 2 Câu 3. 3a. Với mọi số dương a,b,cta có: 2 2 2 bc ac ab bc ac ab a b c a b c a b c abc abc abc bc 2 ac 2 ab 2 a2bc b2ac c2ab 2 bc 2 2 ac 2 2 ab 2 2a2bc 2b2ac 2c2ab 0 ac 2 2a2bc ab 2 bc 2 2b2ac ab 2 ac 2 2c2ab bc 2 0 ac ab 2 bc ab 2 ac bc 2 0 BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh. 3b. L x4 4x3 7x2 12x 20 x4 4x3 4x2 3x2 12x 12 8 x2 x2 4x 4 3 x2 4x 4 8 x 2 2 x2 3 8 Do x 2 2 0(x); x2 3 0 x L 8 x Đẳng thức xảy ra x 2 2 0 x 2. Vậy với x 2thì L có giá trị nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất của L là 8
5. Câu 4. I K 1 B H Q 1 P A C CK CA a) PK / / AH CKP : CAB CP CB Suy ra AKC : BPC c.g.c (1) ¶ 0 ¶ µ 0 b) AKH vuông cân tại H K1 45 .Từ (1) K1 P1 45 BAP vuông cân tại A BP AB 2 BH AB Chứng minh BHA : BAC AB BC BH 2AB BH AB BH 2AB AB 2BC 2AB 2BC 2AB 2BC BH BP BH BQ BP 2BQ BP 2BC BP BC BH BQ BHQ và BPC có: ;P· BC chung BHQ : BPC c.g.c BP BC
6. c) BAP vuông cân tại A, AQ là trung tuyến nên cũng là phân giác AI là IC AC phân giác ngoài của ABC (2) IB AB AC AH ABC : HBA (3) AB HB Từ (2) và (3) ta có: IC AH IB BC AH BC AH 1 IB HB IB HB IB HB AH BC 1 dfcm HB IB