Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 11 - Năm học 2018-2019 - Sở GD&ĐT Quảng Ngãi (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 11 - Năm học 2018-2019 - Sở GD&ĐT Quảng Ngãi (Có đáp án)

1. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 NĂM HỌC 2018-2019 MễN TOÁN TIME: 180PHÚT ĐỀ BÀI Bài 1: (5,0 điểm)Giải cỏc phương trỡnh sau: 3 2019 a. 2cos x sin 2xsin x 2 2.cos x . 4 3 3 b. x 2 2. x 1 3 x2 3x 2 . Bài 2: (4,0 điểm) a. Gọi S là tập hợp tất cả cỏc số tự nhiờn gồm năm chữ số được chọn từ cỏc chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Chọn ngẫu nhiờn một số từ S , tớnh xỏc suất để số được chọn cú mặt đỳng ba chữ số khỏc nhau. b.Cho hàm số y f (x) liờn tục trờn 0;1 . Chứng minh phương trỡnh f (x) f (1) f (0) x f (1) cú ớt nhất một nghiệm thuộc 0;1 . Bài 3: (2,0 điểm) u1 1 Cho dóy số un thỏa món 2u . u n ,n 1 n 1 un 4 Tỡm cụng thức số hạng tổng quỏt un của dóy số đó cho. Bài 4:(4,0 điểm) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh chữ nhật, AD 2a, AB a ; O là giao điểm của AC và a BD , SO vuụng gúc với ABCD và SO . Gọi M là trung điểm của BC . 2 a. Chứng minh đường thẳng SM vuụng gúc với mặt phẳng SAD . b. Gọi là gúc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAD , tớnh sin . Bài 5: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho tam giỏc ABC vuụng tại A ,cú đỉnh B(- 3;2),đường phõn giỏc trong của gúc A cú phương trỡnh x + y - 7 = 0 .Viết phương trỡnh đường trũn nội tiếp tam giỏc ABC ,biết diện tớch tam giỏc ABC bằng 24 và điểm A cú hoành độ dương. Bài 6: (3,0 điểm) a. Cho cỏc số thực dương a,b,c thỏa món a b c ab bc ca . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu a2 b2 c2 thức P a b c . a2 3bc b2 3ca c2 3ab b. Tỡm tất cả cỏc bộ n,k, p với n,k là cỏc số nguyờn lớn hơn 1 và p là một số nguyờn tố thỏa món n5 n4 2n3 2n2 1 pk .
2. HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: (5,0 điểm)Giải cỏc phương trỡnh sau: 3 2019 a. 2cos x sin 2xsin x 2 2.cos x . 4 Lời giải Tỏc giả: Fb: Nguyễn Ánh Dương Ta cú: 2019 3 3  2 2.cos x = 2 2.cos x 504 = 2 2.cos x 4 4 4 2 2 2 = = = 2cos x 2sin x . 2 2. cos x sin x 2 2. cos x sin x 2 2 2  2cos3 x sin 2xsin x = 2cos2 x cos x 2sin2 x cos x = 2 1 sin2 x cos x 2sin2 x cos x = 2cos x 2sin2 x cos x 2sin2 x cos x = 2cos x 4sin2 x cos x . Do đú phương trỡnh đó cho tương đương 2cos x 4sin2 x cos x 2cos x 2sin x . 4sin2 x cos x 2sin x 2sin x 4sin2 x cos x 0 2sin x 2sin x cos x 1 0 2sin x sin 2x 1 0 sin x 0 sin 2x 1 x k k Z . x k 4 3 3 b. x 2 2. x 1 3 x2 3x 2 . Lời giải Tỏc giả: Vừ Huỳnh Hiếu ; Fb: Huỳnh Hiếu Đặt u x 2,v x 1 với v 0 .Khi đú,phương trỡnh đó cho trở thành: 3 3 2 2 u 2v 3uv u v u u v 2v 0 x 2 5 5 x 2 x N Với u v x 2 x 1 2 2 x 5x 5 0 5 5 x L 2
3. 2 u v Với u u v 2v u v u 2v 0 x 2 2 x 1 0 u 2v 0 x 2 2 x 1 2 x x 4 2 2 L x 4 2 2 N 5 5 Kết hợp với điều kiện ,ta được: x , x 4 2 2. 2 5 5 Vậy phương trỡnh cú 2 nghiệm: x , x 4 2 2. 2 Bài 2: (4,0 điểm). a. Gọi S là tập hợp tất cả cỏc số tự nhiờn gồm năm chữ số được chọn từ cỏc chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Chọn ngẫu nhiờn một số từ S , tớnh xỏc suất để số được chọn cú mặt đỳng ba chữ số khỏc nhau. Lời giải Tỏc giả: Nguyễn Thị Thủy ; Fb: Camtu Lan Ta cú S 75 . Xột phộp thử: Chọn ngẫu nhiờn một số từ tập S . Suy ra số phần tử của khụng gian mẫu là  75 . Gọi A là biến cố: “ số được chọn cú mặt đỳng ba chữ số khỏc nhau”. 3 Bước 1: Ta chọn ra ba chữ số khỏc nhau từ tập S , cú C7 cỏch chọn. Bước 2: Ta chia thành hai trường hợp sau TH1: Trong ba chữ số được chọn ra từ bước 1, cú một chữ số xuất hiện đỳng ba lần, hai chữ số C1.5! cũn lại mỗi chữ số xuất hiện đỳng một lần, vậy cú 3 cỏch. 3! TH2: Trong ba chữ số được chọn ra từ bước 1, cú một chữ số xuất hiện đỳng một lần, hai chữ số C 2.5! cũn lại mỗi chữ số xuất hiện đỳng hai lần, vậy cú 3 cỏch. 2!.2! 1 2 3 C3.5! C3 .5! Suy ra  A C7 . 5250 . 3! 2!.2!  5250 750 Vậy P A A .  75 2401 b.Cho hàm số y f (x) liờn tục trờn 0;1 . Chứng minh phương trỡnh f (x) f (1) f (0) x f (1) cú ớt nhất một nghiệm thuộc 0;1 . Lời giải Tỏc giả: Nguyễn Thanh Tuấn ; Fb: Nguyễn Thanh Tuấn Ta viết lại phương trỡnh đề bài: f (x) f (1) f (0) x f (1) 0. Đặt: g(x) f (x) f (1) f (0) x f (1). Ta cú: g(0) f (0) f (1) ; g(1) f (1) f (0) .
4. 2 Nhận thấy g(x) liờn tục trờn 0;1 và g(0).g(1) f (0) f (1) 0 . Vỡ vậy phương trỡnh g(x) 0 luụn cú ớt nhất một nghiệm thuộc 0;1 (đpcm). Bài 3: (2,0 điểm). u1 1 Cho dóy số un thỏa món 2u . u n ,n 1 n 1 un 4 Tỡm cụng thức số hạng tổng quỏt un của dóy số đó cho. Lời giải Tỏc giả: Đinh Mạnh Thắng ; Fb: Dinh Thang Nhận xột: un 0 với mọi n Ơ *. 1 u 4 1 2 Ta cú: n . un 1 2un 2 un 1 1 1 1 Đặt vn 1 ta được : vn 1 2vn , v1 1 vn 1 1 2vn 2 vn . un 1 2 2 2 1 1 2 1 n 1 Do đú vn 1 2 vn 2 vn 1  2 v1 . 2 2 2 2 3 1 3 1 Suy ra v .2n hay v .2n 1 . n 1 2 2 n 2 2 2 Vậy u . n 3.2n 1 1 Bài 4:(4,0 điểm). Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh chữ nhật, AD 2a, AB a ; O là giao điểm của AC và a BD , SO vuụng gúc với ABCD và SO . Gọi M là trung điểm của BC . 2 a. Chứng minh đường thẳng SM vuụng gúc với mặt phẳng SAD . b. Gọi là gúc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAD , tớnh sin . Lời giải a) Gọi N là trung điểm của AD . AD  MN Ta cú AD  SMN AD  SM (1). AD  SO
5. a 2 Mặt khỏc SM SN SO2 OM 2 và MN a suy ra SM 2 SN 2 MN 2 . 2 Theo định lý Pitago ta cú SM  SN (2). Mà AD, SN  SAD ; AD  SN N (3) Từ (1), (2), (3) ta được SM  SAD . b) Gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc của C lờn SAD . Khi đú: Cã SH . a 2 Do CM / / SAD nờn d C, SAD d M , SAD CH MS . 2 a2 5a2 a 6 Mặt khỏc SC SO2 OC 2 . 4 4 2 CH a 2 2 3 Vậy sin . . SC 2 a 6 3 Bài 5: (2,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giỏc ABC vuụng tại A , cú đỉnh B(- 3;2), đường phõn giỏc trong của gúc A cú phương trỡnh x + y - 7 = 0 . Viết phương trỡnh đường trũn nội tiếp tam giỏc ABC , biết diện tớch tam giỏc ABC bằng 24 và điểm A cú hoành độ dương. Lời giải Tỏc giả:Phạm Minh Tuấn ; Fb:Bỏnh Bao Phạm Gọi d là đường phõn giỏc trong của gúc A . Đường thẳng đi qua điểm B(- 3;2) và vuụng gúc với đường thẳng d : x + y - 7 = 0 cú phương trỡnh là: x - y + 5 = 0 . Gọi I = D ầd . ùỡ x + y - 7 = 0 ùỡ x = 1 Khi đú tọa độ điểm I thỏa món của hệ phương trỡnh: ớù Û ớù ị I (1;6). ợù x - y + 5 = 0 ợù y = 6 Gọi D ầ AC = BÂ. Tam giỏc ABB cú AI vừa là đường cao, vừa là đường phõn giỏc, do đú tam giỏc ABB cõn tại A I là trung điểm của BBÂị BÂ(5;10).
6. uuur ỡ ù AB = (- 3- t;t - 5) Gọi A(t;7 - t)ẻ d : x + y - 7 = 0 , (t > 0) ị ớù uuur . ù Â ợù AB = (5- t;t + 3) uuur uuur ột = 5 ị A 5;2 ờ ( ) Vỡ AB ^ AC ị AB.ABÂ= 0 Û (- 3- t).(5- t)+ (t - 5).(t + 3)= 0 Û ờ . ởờt = - 3(l) Đường thẳng AC đi qua hai điểm A(5;2) và BÂ(5;10) cú phương trỡnh là: x- 5 = 0 . uuur ỡ ù AB = (- 8;0) Gọi C(5;c)ẻ AC : x - 5 = 0 .Ta cú ớù uuur . ù ợù AC = (0;c - 2) 1 Theo bài ra ta cú S = 24 Û .AB.AC = 24 DABC 2 1 ộc = 8 Û .8. c - 2 = 24 Û ờ . 2 ởờc = - 4 Với c 4 ị C(5;- 4). Khi đú: (5- 4- 7)(- 3+ 2- 7)> 0 nờn hai điểm B và C nằm cựng phớa đối với đường thẳng d (loại). Với c 8 ị C(5;8). Khi đú: (5 + 8- 7)(- 3+ 2- 7)< 0 nờn hai điểm B và C nằm khỏc phớa đối với đường thẳng d . Điểm C(5;8) thỏa món. ùỡ AB = 8 ù AB + AC + BC Ta cú: ớù AC = 6 ị p = = 12 . ù 2 ợù BC = 10 Mà S = p.r Û 24 = 12.r Û r = 2 Vậy đường trũn nội tiếp tam giỏc ABC cú bỏn kớnh r = 2 Cỏch 1: Phương trỡnh đường thẳng BC là:- 3x + 4y - 17 = 0. Gọi tõm đường trũn nội tiếp DABC là H (a;7 - a)ẻ d : x + y - 7 = 0 ùỡ a - 5 = 2 ỡ ù ỡ ù d (H; AC)= r ù ù a - 5 = 2 ị ớ Û ớ - 3a + 4(7 - a)- 17 Û ớ ù d (H;BC)= r ù = 2 ù 7a - 11 = 10 ợù ù ợù ợù 5 ùỡ ộa = 3 ù ờ ù ù ởờa = 7 ù Û ớ ộa = 3 Û a = 3 ị H (3;4). ù ờ ù ờ 1 ù ờ ù a = ợù ởờ 7 Vậy phương trỡnh đường trũn nội tiếp tam giỏc ABC là:(x- 3)2 + (y - 4)2 = 4 . Cỏch 2: Sử dụng tớnh chất:Với H là tõm đường trũn nội tiếp DABC , ta cú:
7. uuur uuur uuur r BC.HA + AC.HB + AB.HC = 0 . uuur ỡ ù HA = (5- a;2- b) ù uuur ỡ ù ù 10.(5- a)+ 6(- 3- a)+ 8(5- a)= 0 ùỡ a = 3 Gọi H (a;b)ị ớù HB = (- 3- a;2- b)Û ớ Û ớù . ù ù ù ù uuur ợù 10.(2- b)+ 6(2- b)+ 8(8- b)= 0 ợù b = 4 ù HC = (5- a;8- b) ợù Vậy phương trỡnh đường trũn nội tiếp tam giỏc ABC là:(x- 3)2 + (y - 4)2 = 4 . Bài 6: (3,0 điểm). a. Cho cỏc số thực dương a,b,c thỏa món a b c ab bc ca . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu a2 b2 c2 thức P a b c . a2 3bc b2 3ca c2 3ab Lời giải Tỏc giả: Chõu Hũa Nhõn ; Fb: Hũa Nhõnn Ta cú: 2 2 a2 b2 c2 a b c a b c a2 3bc b2 3ca c2 3ab a2 3bc b2 3ca c2 3ab a b c 2 ab bc ca Vỡ a b c ab bc ca nờn 2 a2 b2 c2 a b c a b c . a2 3bc b2 3ca c2 3ab a b c 2 a b c a b c 1 a b c Suy ra P a b c . a b c 1 Đặt t a b c (hiển nhiờn t 0 ). a b c 2 Ta cú: a b c ab bc ca a b c 3 . Dấu “=” xảy ra khi a b c . 3 t Vậy cú P t với t 3 . t 1 t Hướng 1: Xột hàm số f (t) t với t 3 . t 1 1 1 Ta cú: f (t) 0,t 3và hàm số f (t) liờn tục trờn [3; ) . t 1 2 2 t 3 hàm số f (t) đồng biến trờn [3; ) nờn f (t) f (3) 3 , t 3. 4 3 Do đú Min f t f 3 3 . 3; 4 3 a b c Vậy giỏ trị nhỏ nhất của P là 3 khi a b c 1. 4 a b c 3 t 3 Hướng 2: Ta chứng minh t 3 (*) với t 3 . t 1 4 t 3 t 3 t 3 Thật vậy, (*) t 3 0 0 t 1 4 4 t 1 t 3
8. 1 1 t 3 0 luụn đỳng t 3. 4 t 1 t 3 Dấu “=” xảy ra khi t 3 . 3 a b c Vậy giỏ trị nhỏ nhất của P là 3 khi a b c 1. 4 a b c 3 t 3 Hướng 3: Ta chứng minh t 3 (*) với t 3 . t 1 4 Ta cú: t 3 t 3 (1) 1 1 1 1 1 1 t 3 t 3 t 1 4 1 1 (2) t 1 4 t 1 4 t 1 4 t 1 4 Từ (1), (2) suy ra (*) luụn đỳng t 3. Dấu “=” xảy ra khi t 3 . 3 a b c Vậy giỏ trị nhỏ nhất của P là 3 khi a b c 1. 4 a b c 3 b. Tỡm tất cả cỏc bộ n,k, p với n,k là cỏc số nguyờn lớn hơn 1 và p là một số nguyờn tố thỏa món n5 n4 2n3 2n2 1 pk . Lời giải Tỏc giả: Nguyễn Đỡnh Thịnh n5 n4 2n3 2n2 1 pk n2 n 1 n3 n 1 pk . Từ giả thiết n,k 2 . 3 2 n n 1 1,n n 1 1,n 2 Ta cú: 3 2 n n 1 n n 1 n 1 n n 2 0,n 2 n3 n 1 pr r s 0 trong đú 2 s n n 1 p r s k n3 n 1 n2 n 1 n3 n 1 n 1 n2 n 1 n2 n 1 n 2n2 n 1 1 Mặt khỏc: n2 n 1 n 2 n2 1 0,n n2 n 1 n 2 0,n 2 2 k p 5 Từ 1 , 2 suy ra n 2 , do đú p 25 . k 2 Vậy bộ số cần tỡm là: n,k, p 2,2,5 .