Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 11 - Năm học 2018-2019 - Trường THPT Nguyễn Đức Cảnh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 11 - Năm học 2018-2019 - Trường THPT Nguyễn Đức Cảnh (Có đáp án)

1. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Trường Nguyễn Đức Cảnh - Thái Bình NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn: Toán Lớp: 11 I. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ( 6 điểm ) Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành.Gọi E , F lần lượt là trung điểm các cạnh SA , SB . Gọi M là điểm bất kỳ trên cạnh BC (không trùng với B , C ). Thiết diện của mặt phẳng MEF với hình chóp S.ABCD là A. Hình tam giác.B. Hình bình hành. C. Hình thoi. D. Hình thang. sin x 2 Câu 2. Cho hàm số y . Tìm các giá trị m để y 0 , với mọi x ;0 . sin x m 2 A. m 0 hoặc m 2 .B. m 1hoặc 0 m 2 . C. m 0 hoặc 1 m 2 .D. m 2 . Câu 3. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có AB a, AA a 6 . Gọi E là trung điểm của B C . Gọi là góc giữa đường thẳng AE và mặt phẳng ABB A thì: 1 3 6 6 A. sin .B. sin .C. sin .D. sin . 6 6 3 6 Câu 4. Cho hình chóp S.ABC có các cạnh SA, BC, AB đôi một vuông góc với nhau. Gọi M là hình chiếu vuông góc của A trên SB . Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau: A. SA  ABC .B. AM  SBC .C. AB  SBC .D. BC  SAB . Câu 5. Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a . Hãy chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:   a2     A. AB.AC .B. AB CD BC DA 0 . 2       C. AB.CD 0 .D. AB.AD BC.CD . Câu 6. Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC AB AC 1cm và BC 2 cm. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC A. 30 .B. 45. C. 60 . D. 90 . Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O , biết SO vuông góc với mặt phẳng a 6 ABCD Cho AB SB a,SO . Số đo của góc giữa hai mặt phẳng SAB và 3 SAD bằng A. 90 .B. 60 . C. 45. D. 30 . 1 2 3 n n Câu 8. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn: Cn 2Cn 3Cn ... nCn n 304 .2 A. 608.B. 2019 . C. 305. D. 2018. Câu 9. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là ? 3x 4 3x 4 3x 4 3x2 4 A. lim B. lim C. lim 2 .D. lim . x x 2 x 2 x 2 x 2 x 4x 4 x x 2 1
2. Câu 10. Khi phân tích số 1000! thành tích các thừa số nguyên tố, số các thừa số 3 là: A. 499 . B. 500C. 501D. 498. Câu 11. Ông B gửi ngân hàng 100 triệu đồng (kỳ hạn tháng) với lãi suất không đổi 0,5% một tháng. Hỏi sau ít nhất mấy tháng thì ông B rút cả vốn và lãi đủ tiền để mua một chiếc xe máy trị giá 130 triệu đồng? A. 52 . B. 53 . C. 60 D. 61 u1 2851 Câu 12. Cho dãy số u xác định bởi . Số hạng thứ 2020 của dãy số u n 2 2 n un 1 un n , n 1 là: A. 1427 . B. 1429 .C. 2019 . D. 1428. 3 2x (2ax b 1) 4x 1 Câu 13. Cho biết 2 , với a,b là số nguyên. Tính giá trị biểu thức 4x 1 4x 1 P 3b 2a A. P 29 .B. P 13 . C. P 19.D. P 23 . x3 Câu 14. Số phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 2x2 3x 1, biết tiếp tuyến song song 3 97 với đường thẳng d : y 8x và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ dương là: 3 A. 0 .B. 2 . C. 3 .D. 1. Câu 15. Với m là hằng số dương. Tính giới hạn lim ( x2 4mx 2019 x) ta được kết quả bằng x 1 1 A. 2m .B. .C. 2m .D. . 2m 2m Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , tam giác SAB là đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD . Gọi M là trung điểm của AD . Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SCM là a 2 3a 2 A. .B. a 2 .C. .D. 3a 2 . 2 8 Câu 17. Hàm số nào sau đây liên tục trên ¡ ? 1 x 3 A. y 2 B. y . 6 tan x x2 4x 4 sin 3x 1 C. y x4 7x2 8 .D. y . 2sin x cosx 3 1  Câu A: y D ¡ \ k  k ¢ 6 tan2x 2  x 3 x 3 Câu B: y D ¡ \ 2 x2 4x 4 x 2 2
3. 4 2 2 2 Câu C: y x 7x 8 x 1 x 8 D ; 2 2  2 2; Câu D: Ta có: 22 1 2 3 2sin x cosx 3 22 1 2 3 5 3 2sin x cosx 3 5 3 2sin x cos x 3 0  x ¡ D ¡ 1 Câu 18. Cho hàm số y (m 2)x3 – (m 2)x2 2m 1 x 5m . Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên 3 của m trên khoảng ( 3;7) sao cho y'(x) 0, x R . Tính tổng các phần tử của tập S ta được kết quả là A. 19 . B. 20 .C. 17 .D. 18 . Câu 19. Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số từ 1 đến 9 (mỗi thẻ ghi một số).Rút ngẫu nhiên 3 thẻ và nhân 3 số ghi trên 3 thẻ đó với nhau. Tính xác suất để tích nhận được là một số lẻ? 5 1 11 5 A. . B. .C. .D. . 42 42 42 84 Câu 20. Cho hàm số hàm số y x.cos x . Chọn khẳng định Đúng? A. 2(cos x y ) x(y y) 1.B. 2(cos x y ) x(y y) 0 . C. 2(cos x y ) x(y y) 0 .D. 2(cos x y ) x(y y) 1. II. CÂU HỎI TỰ LUẬN ( 4 điểm ) 5x 6 Câu 1. Cho hàm số y có đồ thị là C . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C biết tiếp x 2 tuyến tạo với trục tung một góc 45. x2 4 cosx 3 Câu 2. Tính giới hạn : lim x 0 x2 Câu 3. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABCA B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B , biết AB a ; AC 2a ; CC 2a . Gọi M , I lần lượt là trung điểm A B và BC . Tính góc giữa hai đường thẳng IM và AC . Câu 4. Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, biết SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết góc giữa hai mặt phẳng ( SBC) và ( SAD) bằng 450 . Gọi E, M lần lượt là trung điểm của SC và SA. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và BE. SA a Ta có OE . 2 2 1 1 1 13 26a 26a OI d DM ; BE 2. . OI 2 OE 2 OH 2 2a2 13 13 Lời Giải Chi Tiết I. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ( 6 điểm ) 3
4. Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành.Gọi E , F lần lượt là trung điểm các cạnh SA , SB . Gọi M là điểm bất kỳ trên cạnh BC (không trùng với B , C ). Thiết diện của mặt phẳng MEF với hình chóp S.ABCD là A. Hình tam giác. B. Hình bình hành. C. Hình thoi. D. Hình thang. Lời giải Tác giả: Phan Minh Quốc Vinh; Fb: Vinh Phan Chọn D Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng MEF và ABCD . M MEF  ABCD EF / / AB Ta có Giao tuyến của hai mặt phẳng MEF và ABCD là đường EF  MEF AB  ABCD thẳng Mx đi qua M và song song với AB , EF . Tìm thiết diện của MEF với S.ABCD . Giả sử Mx  AD I . MEF  SAB EF MEF  SBC FM Ta có MEF  ABCD MI MEF  SAD IE Vậy thiết diện giữa MEF và S.ABCD là tứ giác EFMI . 1 EF AB 2 Mặt khác AB MI nên tứ giác EFMI là hình thang. EF / /MI 4
5. sin x 2 Câu 2. Cho hàm số y . Tìm các giá trị m để y 0 , với mọi x ;0 . sin x m 2 A. m 0 hoặc m 2 . B. m 1hoặc 0 m 2 . C. m 0 hoặc 1 m 2 . D. m 2 . Lời giải Tác giả: Phan Minh Quốc Vinh; Fb: Vinh Phan Chọn B Trường hợp m 1: 2 m Hàm số có tập xác định là D ¡ và y cos x. . sin x m 2 2 Khi đó, y 0,x ;0 2 m 0 m 2 (vì cos x 0 , sin x m 0 với mọi 2 x ;0 ). 2 Kết hợp với điều kiện m đang xét ta có m 1hoặc 1 m 2 . Trường hợp m 1: 2 m Điều kiện sin x m . Ta có y cos x. . sin x m 2 m 2 2 m 0 m 1 Khi đó, y 0,x ;0 m 1 (vì cos x 0 , 2 m 1;0 0 m 2 m 0 2 sin x m 0 và sin x 1;0 với mọi x ;0 ). 2 Kết hợp với điều kiện đang xét ta có m 1hoặc 0 m 1. Tổng hợp kết quả hai trường hợp đang xét, giá trị m cần tìm là m 1hoặc 0 m 2 . Cách trắc nghiệm: Nhận xét: Bài toán trắc nghiệm nên có thể làm theo cách: Đặt t sin x, do x ;0 t 1;0 . 2 t 2 m 2 Ta có y , t 1;0 , và y . t m t m 2 m 1;0 m ; 10; Yêu cầu bài toán m ; 10;2 . m 2 0 m 2 5
6. Câu 3. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có AB a, AA a 6 . Gọi E là trung điểm của B C . Gọi là góc giữa đường thẳng AE và mặt phẳng ABB A thì: 1 3 6 6 A. sin . B. sin . C. sin . D. sin . 6 6 3 6 Lời giải Tác giả: Lê Ngọc Hùng; Fb: Hung Le Chọn A Goi I là trung điểm A B C I  ABB A . Trong A B C từ E kẻ EH / /C I cắt A B tại H EH  ABB A ·AE; ABB A E· AH . a 27 1 a 3 EH 1 Mà AE AB 2 B E 2 , EH C I nên sin . 2 2 4 AE 6 Câu 4. Cho hình chóp S.ABC có các cạnh SA, BC, AB đôi một vuông góc với nhau. Gọi M là hình chiếu vuông góc của A trên SB . Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau: A. SA  ABC . B. AM  SBC . C. AB  SBC . D. BC  SAB . Lời giải Tác giả:Lê Ngọc Hùng; Fb:Hung Le Chọn C 6
7. Cách 1: Do các cạnh SA, BC, AB đôi một vuông góc với nhau nên SA  ABC , BC  SAB . Mà BC  SAB BC  AM và AM  SB AM  SBC . Nên các đáp án A, B, D đúng. Cách 2: Từ đáp án C, nếu AB  SBC AB  SB . Theo giả thiết M là hình chiếu vuông góc của A trên SB nên M  B vô lý vì khi đó SAB có hai góc vuông. Suy ra đáp án C sai. Câu 5. [1H3-2.4-2] Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a . Hãy chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:   a2     A. AB.AC . B. AB CD BC DA 0 . 2       C. AB.CD 0 . D. AB.AD BC.CD . Lời giải Tác giả: Nguyễn Trần Vũ; Fb: Nguyễn Trần Vũ Chọn D Ta có:   1 a2 +) AB.AC AB.AC.cos60 a.a. suy ra đáp án A đúng. 2 2          +) AB CD BC DA AB BC CD DA AA 0 suy ra đáp án B đúng.          +) AB.CD AB. AD AC AB.AD AB.AC a.a.cos60 a.a.cos60 0 suy ra đáp án C đúng. Vậy đáp án D sai. Câu 6. [1H3-2.4-2] Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC AB AC 1cm và BC 2 cm. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC A. 30 . B. 45. C. 60 . D. 90 . Lời giải Tác giả: Nguyễn Trần Vũ; Fb: Nguyễn Trần Vũ Chọn C 7
8.   Theo giả thiết đề bài ta thấy BC 2 SB2 SC 2 SB  SC SB.SC 0 .     AB.SC        1 Ta có cos AB, SC SB SA .SC SB.SC SA.SC 0 SA.SC.cos60 AB.SC 2   Do đó AB, SC 120. Suy ra góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng 180 120 60. Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O , biết SO vuông góc với mặt phẳng a 6 ABCD Cho AB SB a,SO . Số đo của góc giữa hai mặt phẳng SAB và 3 SAD bằng A. 90 . B. 60 . C. 45. D. 30 . Lời giải Tác giả: Tuyetnguyen; Fb: Tuyetnguyen Chọn A SO  BD Ta có BD  SAC BD  SA. AC  BD Gọi I là trung điểm của SA. Do tam giác SAB cân tại B nên BI  SA , mà BD  SA BID  SA Suy ra góc giữa 2 mặt phẳng SAB và SAD bằng góc giữa hai đường thẳng BI và DI . 2a2 a2 a Xét tam giác SBO vuông tại O có OB2 SB2 SO2 a2 OB . 3 3 3 8
9. Ta có SA  BID SA  OI , nên tam giác SOI vuông cân tại SA SO 2 a O OI . 2 2 3 BD OI 2 BD Tam giác IBD có OI là trung tuyến, với OI nên tam giác IBD vuông tại I . 2 1 2 3 n n Câu 8. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn: Cn 2Cn 3Cn ... nCn n 304 .2 A. 608. B. 2019 . C. 305. D. 2018. Lời giải Tác giả: Tuyetnguyen; Fb: Tuyetnguyen Chọn A n! n 1 ! Xét số hạng k.C k k n nC k 1 . n k! n k ! k 1 ! n k ! n 1 1 2 3 n 0 1 2 n 1 n 1 Do đó ta có: Cn 2Cn 3Cn ... nCn n Cn 1 Cn 1 Cn 1 ... Cn 1 n.2 . Kết hợp với giả thiết ta được: n.2n 1 n 304 .2n n 2 n 304 n 608 Câu 9. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là ? 3x 4 3x 4 3x 4 3x2 4 A. lim B. lim C. lim 2 . D. lim . x x 2 x 2 x 2 x 2 x 4x 4 x x 2 Lời giải Tác giả: Hồ Thanh Nhân; Fb: Nhan Ho Thanh Chọn D Ta có : 4 3 3x 4 3x 4 3x 4 lim lim x 3 . lim , lim , 2 x x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 4x 4 1 x 4 3 3x2 4 2 lim lim x.lim x . x x 2 x x 2 1 x Câu 10. Khi phân tích số 1000! thành tích các thừa số nguyên tố, số các thừa số 3 là: A. 499 . B. 500 C. 501 D. 498. Lời giải Tác giả:Hồ Thanh Nhân; Fb: Nhan Ho Thanh Chọn D 9
10. Số các số chỉ chia hết cho 3 là 333-111=222; Số các số chỉ chia hết cho 32 là 111-37=74; Số các số chỉ chia hết cho 33 là 37-12=25; Số các số chỉ chia hết cho 34 là 12- 4= 8; Số các số chỉ chia hết cho 35 là 4- 1= 3; Số các số chỉ chia hết cho 36 là 1. Vậy số các thừa số 3 là: 222.1+74.2+25.3+8.4+3.5+1.6=498. Câu 11. Ông B gửi ngân hàng 100 triệu đồng (kỳ hạn tháng) với lãi suất không đổi 0,5% một tháng. Hỏi sau ít nhất mấy tháng thì ông B rút cả vốn và lãi đủ tiền để mua một chiếc xe máy trị giá 130 triệu đồng? A. 52 . B. 53 . C. 60 D. 61 Lời giải Tác giả: Nguyễn Trần Hữu; Fb:Nguyễn Trần Hữu Chọn B Gọi Tk là số tiền ông B có được cả vốn lẫn lãi sau k tháng gửi ngân hàngvới lãi suất không đổi r 0,5% / tháng. Ta có: Sau 1 tháng k 1 thì có số tiền là:T1 A A.r A(1 r) . 2 Sau 2 tháng k 2 thì có số tiền là: T2 T1 T1.r A(1 r) A(1 r)r A 1 r . . n 1 n 1 n Sau n tháng k n thì có số tiền là: Tn Tn 1 Tn 1.r A(1 r) A(1 r) r A 1 r . Do đó, để ông Brút cả vốn và lãi đủ tiền để mua một chiếc xe máy trị giá 130 triệu đồng thì 6 6 n 6 n Tn 130.10 100.10 (1 0,5%) 130.10 (1 0,5%) 1,3 (1) Do n là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn (1) nên ta thử từng đáp án bằng MTCT ta được n 53 thỏa mãn yêu cầu (Do h/s khối 11 chưa học bpt lôgarit nên ta chưa dùng công thức nghiệm được). u1 2851 Câu 12. Cho dãy số u xác định bởi . Số hạng thứ 2020 của dãy số u n 2 2 n un 1 un n , n 1 là: A. 1427 . B. 1429 . C. 2019 . D. 1428. Lời giải Tác giả: Nguyễn Trần Hữu; Fb: Nguyễn Trần Hữu Chọn B 2 2 2 2 2 2 Ta có: un 1 un n un 1 n 1 un n 3n 1 vn 1 vn 3n 1 10