Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 - Sở GD&ĐT Quảng Bình (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 - Sở GD&ĐT Quảng Bình (Có đáp án và thang điểm)

1. SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THPT QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2012- 2013 Môn thi: Toán ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Khóa ngày 27 tháng 3 năm 2013) SỐ BÁO DANH: Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1:(2.0 điểm) x x 26 x 19 2 x x 3 Cho biểu thức: P x 2 x 3 x 1 x 3 a) Rút gọn P. b) Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 2:(2.0 điểm) Cho phương trình x2 2mx m 4 0 3 3 a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 26m b) Tìm m nguyên để phương trình có hai nghiệm nguyên. Câu 3:(3,5 điểm) Cho tam giác ABC đều cố định nội tiếp trong đường tròn (O). Đường thẳng d thay đổi nhưng luôn đi qua A và cắt cung nhỏ AB tại điểm thứ hai là E (E A). Đường thẳng d cắt hai tiếp tại B và C của đường tròn (O) lần lượt tại M và N. MC cắt BN tại F. Chứng minh rằng: a) Tam giác CAN đồng dạng với tam giác BMA, tam giác MBC đồng dạng với tam giác BCN. b) Tứ giác BMEF là tứ giác nội tiếp. c) Chứng minh đường thẳng EF luôn đi qua một điểm có định khi d thay đổi nhưng luôn đi qua A. Câu 4:(1,5 điểm) Cho c¸c sè thùc d­¬ng a, b, c tho¶ m·n a + b + c =6. Chứng minh rằng: b c 5 c a 4 a b 3 6 . DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi nµo? 1 a 2 b 3 c Câu 5:(1,0 điểm) Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng n 4 4n là hợp số. HẾT
2. SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THPT QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi: Toán (Khóa ngày 27 tháng 3 năm 2013) HƯỚNG DẪN CHẤM (Đáp án, hướng dẫn này có 4 trang) yªu cÇu chung * Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng. * Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau có liên quan. Ở câu 3 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0. * Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm. Đối với điểm thành phần là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm. * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng bài. * Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài. Câu Nội dung Điểm 1 1,0 điểm a)ĐK: 0 x 1.Ta có: 0,25 x x 26 x 19 2 x x 3 P ( x 1)( x 3) x 1 x 3 x x 26 x 19 2 x( x 3) ( x 3)( x 1) 0,25 ( x 1)( x 3) x x 26 x 19 2x 6 x x 4 x 3 0,25 ( x 1)( x 3) x x x 16 x 16 ( x 1)(x 16) x 16 ( x 1)( x 3) ( x 1)( x 3) x 3 0,25 b) 1,0 điểm x 16 25 25 P x 3 x 3 6 x 3 x 3 x 3 0,5 25 2 ( x 3) 6 10 6 4 x 3 0,25 25 Vậy GTNN của P = 4 khi x 3 x 4 x 3 0,25 Trang: 1 - Đáp án Toán 11
3. 2 a) x2 2mx m 4 0 1,0 điểm 2 2 1 15 Ta có: ' m m 4 m 0 m 2 4 0,25 Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. Theo định lý Viet: x x 2m; x x m 4 1 2 1 2 0,25 3 3 3 x1 x2 26m x1 x2 3x1 x2 (x1 x2 ) 26m 8m3 6m(m 4) 26m m(8m2 6m 2) 0 0,25 1 m 0;m 1;m 0,25 4 1,0 điểm b) Gọi x1, x2 (x1 x2 ) là hai nghiệm nguyên của phương trình. Ta có: x1 x2 2m; x1 x2 m 4 . Suy ra x x 2x x 8 2(x x ) 4x x 1 15 (2x 1)(2x 1) 15 . 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0,25 2x1 1 1 x1 0 TH1: m 4 2x2 1 15 x2 8 2x1 1 5 x1 2 TH2: m 0 2x2 1 3 x2 2 0,5 2x1 1 15 x1 7 TH3: m 3 2x2 1 1 x2 1 2x1 1 3 x1 1 TH4: m 1 2x2 1 5 x2 3 Thử lại m=0, m=1, m=-3,m=4 thỏa mãn điều kiện bài toán. 0,25 3 3,5 điểm N A E M F O 0,5 I B C Trang: 2 - Đáp án Toán 11
4. a) Ta có: AC//BM suy ra BMA CAN AB//CN suy ra BAM CNA 0,5 Do đó tam giác CAN đồng dạng với tam giác BMA MB AB MB BC Suy ra: 0,25 AC NC BC CN 0,25 Mặt khác MBC BCN 1200 0,25 Suy ra tam giác MBC đồng dạng với tam giác BCN. b) BFM BCM NBC BCM BMC 1800 MBC 600 0,5 Mặt khác BEM BCA 600 (do t/c góc ngoài của tứ giác nội tiếp) 0,25 Suy ra BFM BEM 600 . Do đó tứ giác BMEF nội tiếp. 0,25 c) Gọi I là giao điểm EF với BC. Ta có IBF BMF (câu a), suy ra IB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tứ giác BMEF. Tương tự chứng minh được IC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tứ giác 0,25 CNEF. Từ đó: IB2 IE.IF; IC 2 IE.IF IB IC hay I là trung điểm BC. 0,25 Vậy d luôn đi qua điểm cố định là I. 0,25 4 1,5 điểm Đặt x a 1; y b 2; z c 3 . (x, y, z >0) 0,5 y z z x x y y x x z y z VT x y z x y z x z y 0,5 y x z x y z 2 . 2 . 2 . 6 x y x z z y 0,25 Dấu bằng xảy ra khi x=y=z, suy ra a=3, b=2, c=1 0,25 5 1,0 điểm n là số tự nhiên lớn hơn 1 nên n có dạng n = 2k hoặc n = 2k + 1, với k là số tự nhiên lớn hơn 0. 0,25 - Với n = 2k, ta có n 4 4n (2k) 4 42k lớn hơn 2 và chia hết cho 2. Do 4 n 0,25 đó n 4 là hợp số. -Với n = 2k+1, tacó n4 4n n4 42k.4 n4 (2.4k )2 (n2 2.4k )2 (2.n.2k )2 2 k k 2 k k 0,25 n 2.4 2.n.2 n 2.4 2.n.2 (n 2k )2 4k (n 2k )2 4k 0,25 Mỗi thừa số đều lớn hơn hoặc bằng 2. Vậy n4 + 4n là hợp số Trang: 3 - Đáp án Toán 11