Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2013-2014 - Trường THCS Tiền Phong (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2013-2014 - Trường THCS Tiền Phong (Có đáp án và thang điểm)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HUYỆN THANH MIỆN NĂM HỌC 2013-2014 TRƯỜNG THCS TIỀN PHONG MÔN TOÁN LỚP 9 T-02-HSG9-TP-PGDTM ( Thời gian làm bài 150 phút) Đề bài Câu 1(2đ): a. Giả sử a,b,c,d là các số tự nhiên khác 0 sao cho ab = cd. Chứng minh rằng a n + bn +cn + dn là hợp số với n N b. Tìm số nguyên x để x2 + x + 123 là số chính phương. Câu 2(2đ): a. Cho các số a,b,c và d dương. Chứng minh rằng trong các số 2a +b -2 cd ; 2b +c -2 ad ; 2c +d -2 ab ; 2d +a -2 bc có ít nhất hai số dương b. Giải phương trình: 3 x 2 x 1 3 Câu 3(2đ): a. Hãy tìm số tự nhiên nhỏ nhất x sao cho trong mỗi bộ x số tự nhiên có hai số mà hiệu của chúng chia hết cho 5 b. Cho các số thực dương a, b thoả mãn: a2014 + b2014 = a2013 + b2013 = a2012 + b2012 a3 8b2 Chứng minh rằng A = (a+b): là một số hữu tỉ b2 a3 Câu 4(3đ): Cho hình thang cân ABCD(BC//AD), hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O sao cho B· OC = 600. Gọi I,M,N,Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC,OA,OB,CD. a. Chứng minh rằng AOB= DOC b. CMR Tứ giác DMNC là tứ giác nội tiếp c. CMR đường thẳng OI đi qua trực tâm H của tam giác MNQ Câu 5(1đ): Cho a,b,c là ba số thực dương . 2 2 2 x y z Chứng minh rằng x2 yz y2 xz z2 xy xyz
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THANH MIỆN TỈNH TRƯỜNG THCS TIỀN PHONG NĂM HỌC 2013-2014 T-02-HSG9-TP-PGDTM MÔN TOÁN LỚP 9 Đáp án điểm Câu Câu1 2Đ a a d 0,25 Nếu (b;c) =1 thì ab = cd => k với k N* c b an d n an d n do đó k n cn bn cn bn 0,25 Vậy an + bn +cn + dn = ( kn+1) (bn +cn) là hợp số Nếu (b;c) = m với m là số tự nhiên khác 0 nên b = mp và c = mq với p,q là hai số nguyên dương và (p;q) = 1 0,25 khi đó từ ab = cd => ap = dq, theo lập luận như trên ta có an d n l n với l nguyên dương => an + bn +cn + dn = bn +cn + pn qn 0,25 ln( pn + qn) = mn pn + mn qn + ln( pn + qn) =(pn+qn)(mn+ln) là hợp số b 0,25 Ta có x2 + x+ 123 = y2 với y ¥ 2 2 ( 2x+1) -(2y) = - 491 0,25 (2x+1 +2y)( 2x+1-2y) = -491 Do y ¥ nên 2x+1 +2y 2x+1-2y mà 2x+1 +2y và 2x+1-2y 0,25 đều là số nguyên. Ta phân tích -491 = (-491).1 =( -1).491. Vì vậy xảy ra hai 0,25 trường hợp sau: 2x 2y 1 1 4x 2 490 x 123 1) 2x 2y 1 491 4y 492 y 123 2x 2y 1 491 4x 2 490 x 122 2) 2x 2y 1 1 4y 492 y 123 Vậy x có thể nhận -123; 122 Câu 2
3. 2Đ a 0,25 Xét (2a +b -2 cd ) + (2c +d -2 ab ) 0,25 = a +c + ( ( a b)2 ( c d )2 > 0 suy ra một trong hai số trên là số dương (1) 0,25 Ta có (2b +c -2 ad ) + (2d +a -2 bc ) 0,25 = b +d + ( ( b c)2 ( d c)2 > 0 suy ra một trong hai số trên là số dương (2) Từ (1) và (2) => đpcm b Đặt 3 x 2 = u; x 1 = v ( v 0) với x + 1 0 => x -1 0,25 u v 3 ta có hệ pt 2 3 0,25 v u 3 => ( 3-u)2 - u3 = 3 0,25 => (u-1)(u2+6) = 0 => u -1 = 0 => x =3( tmđk) 0,25 Vậy pt có nghiệm x = 3 Câu 3 2Đ a Ta chia tập hợp các số tự nhiên thành 5 tập hợp con A0; A1; A2; 0,25 A3; A4 sao cho A0; A1; A2; A3; A4 là tập hợp gồm các số tự nhiên chia cho 5 lần lượt dư 0;1;2;3;4. 0,25 Nếu ta lấy 5 số tự nhiên trong 5 tập hợp con khác nhau thì hiệu của hai số tự nhiên bất kì trong chúng đều không chia hết cho 5 0,25 Nếu ta lấy 6 số tự nhiên bất kì thì theo nguyên tắc Dirichlet có ít nhất 2 số nằm trong cùng một tập con trên, suy ra hiệu của hai số này chia hết cho 5 0,25 Như vậy số lượng nhỏ nhất những số này ta phải lấy là 6 số tự nhiên. b Ta có a2014 + b2014 = (a2013 + b2013)(a+b) –ab( a2012 + b2012 ) 0,25 Mà a2014 + b2014 = a2013 + b2013 = a2012 + b2012 = k Nên k = k(a+b) –abk => k - ka +kb –kab = 0 0,25 => k(1-a) –kb(1-a) = 0 => k(1-a)(1-b) =0 => 1-a = 0 và 1-b =0 ( do k > 0 vì a,b dương ) nên a = 1 và b= 1 0,25 a3 8b2 2 Do đó A = (a+b): = là một số hữu tỉ b2 a3 3 0,25
4. Câu 4 0,25 A D 3Đ M O H Q N B I C a Hình thang cân ABCD nên nội tiếp một đường tròn nên góc 0,25 BAC = góc BDC và góc ABD = góc ACD, có AB = DC nên 0,25 AOB= DOC( c.g.c) 0,25 b Chứng minh tam giác ADO đều nên trung tuyến DM là đường 0,25 cao nên góc DMC = 900 0,25 tương tự tam giác BOC đều => góc DNC = 1v 0,25 => tứ giác DMNC nội tiếp 0,25 c Chứng minh MN = MQ = NQ => tam giác MNQ đều 0,25 nên trực tâm H cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 0,25 MNQ nên gócMHN = 2gócMQN = 1200; góc MON = 1200 nên tứ giác MOHN nội tiếp => góc NOH = 300 => OH là phân 0,25 giác của tam giác đều BOC, do đó I,H,O thẳng hàng 0,25 Câu 5 Câu 5: Cho a,b,c là ba số thực dương . Chứng minh rằng 2 2 2 x y z x2 yz y2 xz z2 xy xyz Ta có: x2 +yz 2 x2 yz 2x yz 0,25 y2 +xz 2 y2 xz 2y xz z2 + xy 2 z2 xy 2z xy 0,25 2 2 2 1 1 1 Do đó x2 yz y2 xz z2 xy x yz y xz z xy x y y z x z 0,25 xy yz zx 2 2 2 = xyz xyz x y z 0,25 xyz Dấu bằng xảy ra khi x =y =z Chú ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm