Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Sở GD&ĐT Đồng Tháp (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Sở GD&ĐT Đồng Tháp (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH TỈNH ĐỒNG THÁP NĂM HỌC 2016-2017 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: TOÁN Ngày thi: 19/03/2017 Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1. (4,0 điểm) 4 3 2 2 10 a) Tính giá trị biểu thức A 1 2 3 2 1 b) Cho B n4 n3 n2 n. Chứng minh rằng B chia hết cho 6 với mọi số nguyên n Câu 2. (2,0 điểm) x x x 5 2x Cho biểu thức P x 1 x 1 x 1 a) Tìm điều kiện của x để P xác định và rút gọn P b) Tìm các giá trị của x để P có giá trị bằng 7 Câu 3 . (2,0 điểm) 1 1 1 a) Cho ba số dương a, b, c . Chứng minh rằng a b c 9 a b c b) Cho 3 số dương x, y, z thỏa điều kiện x y z 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x y z P x 1 y 1 z 1 Câu 4. (4,0 điểm) 3 5 6 x y x y a) Giải hệ phương trình 3 4 3 x y x y b) Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình là 40 km/h. Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó, khi còn 60 km nữa thì mới được một nửa quãng đường AB, người lái xe tăng thêm vận tốc 10km/h trên quãng đường còn lại. Do đó ô tô đến tỉnh B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính quãng đường AB Câu 5. (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ C, B của tam giác ABC. D là điểm đối xứng của A qua O, M là trung điểm BC, H là trực tâm tam giác ABC. a) Chứng minh rằng M là trung điểm HD b) Gọi L là giao điểm thứ hai của CE với đường tròn tâm O. Chứng minh rằng H, L đối xứng nhau qua AB c) Chứng minh rằng EF vuông góc với AO Câu 6. (4,0 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 4. Trên hai cạnh AB và AD lần lượt lấy hai điểm E, F sao cho EC là phân giác góc BEF . Trên tia AB lấy K sao cho BK=DF. a) Chứng minh rằng CK = CF b) Chứng minh rằng EF=EK và EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định c) Tìm vị trí của E, F sao cho diện tích tam giác CEF lớn nhất
2. ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI 9 ĐỒNG THÁP 2016-2017 4 3 2 2 10 Câu 1 A 1 2 3 2 1 2 4 3 2 2 10 4 2 1 10 4 2 1 10 6 4 2 1 2 3 2 1 3 2 3 2 2 1 6 4 2 A 1 b) B n4 n3 n2 n B n2 (n2 1) n(n2 1) B n.n. n 1 n 1 n n 1 n 1 B n n 1 n 1 n 1 Do n 1 n n 1 là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 Vậy B chia hết cho 6 Câu 2. a) ĐK: x 0 ;x 1 x2 x x x x x 5 2x x2 x 5 P x 1 x 1 5 b) P x x 1 5 P 7 x 7 x2 8x 12 0 x 1 x 2;x 6 (nhận) Câu 3. a b c 33 abc (1) a) Ta có : 1 1 1 1 33 (2) a b c a.b.c 1 1 1 (1)Nhân (2) vế theo vế ta được a b c 9 a b c x y z b) P= x 1 y 1 z 1 1 1 1 1 1 1 P 1 1 1 3 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1
3. 1 1 1 9 Ta có : (theo câu a) a b c a b c 1 1 1 9 9 Nên x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 4 9 3 P 3 4 4 3 1 Vậy GTLN của P là khi x y z 4 3 Câu 4. a) Điều kiện x 0; x y 1 1 Đặt a ;b x y x y 1 3a 5b 6 a x y 3 x 4 Hệ trở thành 3 thỏa điều kiện 3a 4b 3 x y 1 y 1 b 1 b) Gọi x là quãng đường AB (x>0) x Quãng đường ô tô đi với vận tốc ban đầu là : 60 2 x Quãng đường ô tô đi với vận tốc tăng lên là 60 2 Thời gian ô tô đi lúc ban đầu là: x 120 80 Thời gian ô tô đi lúc tăng vận tốc là: x 120 100 Theo đề bài ta có phương trình: x 120 x 120 x 1 80 100 40 Giải phương trình được x = 280 Vậy quãng đường AB dài 280 km
4. Câu 5. T A F L H O E C K M B D a) DB  AB,CE  AB nên CE // DB DC  AC,BF  AC nên DC // BF Tứ giác ABDC là hình bình hành, M là trung điểm BC nên M là trung điểm DH b) AE  HL (a) E· AL L· CB (1) (góc nội tiếp cùng chắn cung) EHA đồng dạng KHC L· CB H· AB(2) (K là giao điểm của AH và BC) Từ (1) và (2) suy ra AE là phân giác H· AL (b) Từ (a) và (b) suy ra E là trung điểm HL. Vậy H, L đối xứng qua AB c) Kẻ tiếp tuyến từ A của đường tròn tâm (O) (3) T· AC A· BC (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
5. Tứ giác EFCB nội tiếp A· BC E· FC 1800 E· FC E· FA 1800 nên A· BC A· FE T· AC suy ra EF//AT (4) Từ (3) và (4) suy ra EF vuông góc với AO Câu 6. A E B K H F D C a) CD=CB, DF=BK, F· DC C· BK 900 nên DFC BKC CK CF b) Gọi H là chân đường cao kẻ từ C của tam giác CEF HEC BEC HE EB HFC BKC nên FH = BK Cộng vế theo vế suy ra EF = EK Do HEC BEC CB CH và EF  CH Vậy tam giác EFC luôn tiếp xúc đường tròn cố định tâm C bán kính CH = 4 c) SDFC SHFC ;SHEC SBEC 1 1 S S 16 S S 8 CEF 2 CDFEB 2 AEF CEF SCEF lớn nhất bằng 8. Khi đó E  A,F  D.