Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường lần 3 môn Toán Lớp 8 - Năm học 2014-2015 - Trường THCS Lam Sơn (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường lần 3 môn Toán Lớp 8 - Năm học 2014-2015 - Trường THCS Lam Sơn (Có đáp án)

1. PGD&ĐT THỌ XUÂN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THCS LAM SƠN LẦN THỨ BA – NĂM HỌC 2014-2015 Môn thi: Toán Lớp 8 Bài 1. (3,5 điểm) Phân tích các đa thức thành nhân tử 8 1) 18x3 x 25 2) a a 2b 3 b 2a b 3 3) x 2 x 3 x 4 x 5 1 Bài 2. (2,5 điểm) 3 x 1 x 3 5 Cho biểu thức A 2 : 2 x 1 2x 2 2x 2 4x 4 1) Hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức A được xác định 2) Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến x Bài 3. (3,0 điểm) 1) Cho a,b,cđôi một khác nhau thỏa mãn: ab bc ca 1 a b 2 b c 2 c a 2 Tính giá trị của biểu thức A 1 a2 1 b2 1 c2 x y a b 2) Cho 2 2 2 2 x y a b Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: xn yn an bn Bài 4. (3,0 điểm) 1) Tìm x : a) x 1 x 3 x 5 4x b) x2 5x 6 1 x 0 2) Tìm x, y biết: 7x2 y2 4xy 24x 6y 21 0 Bài 5. (3,0 điểm) 1) Tìm dư khi chia x2015 x1945 x1930 x2 x 1cho x2 1 2 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x2 3x 4 Bài 6. (5,0 điểm)
2. Cho hình bình hành ABCD.Goi E, F theo thứ tự là trung điểm của cạnh AD,BC. Đường chéo AC cắt đường chéo BD tại O và các đoạn BE, DF lần lượt tại P, Q 1) Chứng minh rằng: P là trọng tâm ABD 2) Chứng minh rằng: AP PQ QC 3) Lấy M bất kỳ thuộc đoạn DC. Gọi I, K theo thứ tự là các điểm đối xứng của M qua tâm E,F . Chứng minh rằng I,K thuộc đường thẳng AB 4) Chứng minh: AI AK không đổi khi M thuộc đường thẳng AB. ĐÁP ÁN Bài 1. Bài 1. 3 8 2 4 2 2 1) 18x x 2x 9x 2x 3x 3x 25 25 5 5 3 3 3 3 2) a a 2b b 2a b a a b b b a a b a a b 3 3 a b 2 b 3 a b b2 b3 b a3 3a2 a b 3a a b 2 a b 3 a a b 3 3ab a b 2 3ab2 a b ab3 a3b 3a2b a b 3ab a b 2 b a b 3 a a b 3 3ab2 a b ab3 a3b 3a2b a b b a b 3 a b a a b 2 3ab2 ab a b 3a2b b a b 2 a b a3 2a2b ab2 3ab2 a2b ab2 3a2b a2b 2ab2 b3 a b a3 3a2b 3ab2 b3 a b a b 3 3) Đặt A x 2 x 3 x 4 x 5 1 A x 2 x 3 x 4 x 5 1 x2 7x 10 x2 7x 12 1 x2 7x 11 1 x2 7x 11 1 1 2 2 x2 7x 11 1 1 x2 7x 11 Bài 2.
3. 1) Giá trị của biểu thức Ađược xác định với điều kiện: 2 x 1 0 2 x 1 2x 2 0 x 1 x 1 2x 2 0 x 1 2 4x 4 0 2) Với x 1, ta có: 3 x 1 x 3 4x2 4 A . x 1 x 1 2 x 1 2 x 1 5 6 x 1 2 x 3 x 1 4 x 1 x 1 . 2 x 1 x 1 5 6 x2 2x 1 x2 2x 3 .2 4 5 Vậy khi giá trị biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến Bài 3. 1) Ta có: 1 a2 ab bc ca a2 a a b c a b a b a c Tương tự: 1 b2 b a b c và 1 c2 c a c b a b 2 b c 2 c a 2 Do đó: A 1 (a b) a c b a b c c a c b 2) Từ x2 y2 a2 b2 x2 a2 y2 b2 0 x a x a y b y b 0 Bởi vì : x y a b x a b y, thế vào ta có: b y x a y b y b 0 b y 0 b y x a y b 0 x a y b *)Nếu b y 0 y b x an yn an bn
4. x y b a x b *)Nếu x a y b x y a b y a Do đó: xn yn bn an an bn Vậy trong mọi trường hợp, ta có: xn yn an bn Bài 4. 1a) x 1 x 3 x 5 4x (1) Vế trái luôn luôn không âm nên x ta luôn có 4x 0 x 0 x 0nên x 1 0, x 3 0, x 5 0 x 1 x 1; x 3 x 3; x 5 x 5 Do đó 1 x 1 x 3 x 5 4x x 9 1b) x2 5x 6 1 x 0 (1) Điều kiện : 1 x 0 x 1(*) x 2(ktm) x2 5x 6 0 1 x 3(ktm) . Vậy x 1 1 x 0 x 1(tm) 2) 7x2 y2 4xy 24x 6y 21 0 y2 4xy 6y 7x2 24x 21 0 y2 2y 2x 3 2x 3 2 3x2 12x 12 0 y 2x 3 2 3 x 2 2 0 y 2x 3 0 x 2 x 2 0 y 1 Vậy x 2; y 1 Bài 5. 1) Đặt f x x2015 x1945 x1930 x2 x 1cho x2 1 Gọi thương khi chia f x cho x2 1là Q(x),dư là ax b Ta có: f x x2 1 Q(x) ax b Đẳng thức trên đúng với mọi x nên - Với x 1ta được f 1 a b a b 2 (1)
5. - Với x 1 ta được: f 1 a b a b 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra a 1,b 1, Dư phải tìm là x 1 2 2 3 7 7 2) Ta có: A x 3x 4 x 2 4 4 2 7 49 3 A . Dấu bằng xảy ra x 4 16 2 49 3 Vậy min A x 16 2 Bài 6. K B F C Q P O M A E D I 1) Vì ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC,BD cắt nhau tại O là trung điểm của mỗi đường. Ta có: AO, BE là trung tuyến của ABD Mà AO cắt BE tại P nên P là trọng tâm ABD
6. 2 2 1 1 2) Theo câu 1) P là trọng tâm của ABD nên AP AO . AC AC 3 3 2 3 1 Tương tự, ta có: CQ AC 3 1 Do đó: PQ AC AP CQ AC 3 Vậy AP PQ QC 3) Vì I đối xứng với M qua E nên EI EM Ta có: AE ED,EI EM AMDI là hình bình hành AI / /MD(1) Chứng minh tương tự, ta có: BK / /MC (2) Từ (1) (2) suy ra I, A,B,K thẳng hàng hay I,K thuộc đường thẳng AB. 4) KMI có E, F lần lượt là trung điểm của MI,MK EF là đường trung bình 1 KMI EF KI KI 2EF AI AK 2EF(4) 2 BF / / AE và AF AE ABFE là hình bình hành EF AB (5) Từ (4) (5) suy ra AI AK 2AB không đổi khi M di động trên cạnh CD