Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Trực Ninh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Trực Ninh (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN HUYỆN TRỰC NINH NĂM HỌC 2018-2019 MÔN: TOÁN LỚP 8 ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1. (4 điểm) x 5 x 2x 5 2x Cho biểu thức : P 2 2 : 2 x 25 x 5x x 5x 5 x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị nguyên lớn nhất của x để P có giá trị là một số nguyên. Bài 2. (3 điểm) Giải phương trình sau: 2010x 2010 2010x 2010 2011 x2 x 1 x2 x 1 x x4 x2 1 Bài 3. (3 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a4 b c b4 c a c4 a b b) Cho a,b thỏa mãn a2 b2 8.Chứng minh 4 a b 4 Bài 4. (8 điểm) Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2a.Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB vẽ hai tia Ax,By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm D bất kỳ, qua O vẽ hai dường thẳng vuông góc với DO tại O cắt By tại C a) Chứng minh BC.AD a2 b) Chứng minh DO và CO lần lượt là tia phân giác của ·ADC và B· CD c) Vẽ OH  CD H CD .Gọi I là giao điểm của AC và BD, E là giao điểm của AH và DO, F là giao điểm của BH và CO. Chứng minh ba điểm E,I,F thẳng hàng d) Xác định vị trí của điểm D trên tia Ax để tích DO.COcó giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài 5. (2 điểm) 2 Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện x2 y2 4x2 y2 x2 2y2 0.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x2 y2
2. ĐÁP ÁN Bài 1. 5 a) Tìm được ĐKXĐ của P là : x 0; x 5; x 2 x x 5 2x 5 2x P : x 5 x 5 x x 5 x x 5 5 x 2 x2 x 5 2x 5 2x : x x 5 x 5 x x 5 5 x x x 5 x x 5 x x 5 2x . x x 5 x 5 2x 5 5 x 5 2x 5 2x x 5 x 5 x 5 b) x 0; x 5; x ¢ * P ¢ 5 2x ¢ x 5 5 2x 15 Ta có: 2 x 5 x 5 Vì x ¢ x 5 U (15) 1; 3; 5; 15 Mà x lớn nhất nên x 5lớn nhất . Do đó x 5 15 x 20 (thỏa mãn * ) Vậy giá trị nguyên lớn nhất của x 20để P có giá trị là một số nguyên. Bài 2. 2010x 2010 2010x 2010 2011 (1) x2 x 1 x2 x 1 x x4 x2 1 2 2 2 1 3 2 1 3 Ta có: x x 1 x 0x; x x 1 x 0x 2 4 2 4 Điều kiện xác định của phương trình (1) là : x 0 Ta có: x4 x2 1 x4 2x2 1 x2 x2 x 1 x2 x 1
3. Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu: 1 2010x x 1 x2 x 1 2010x x 1 x2 x 1 2011 2010x x3 1 2010x x3 1 2011 2010x x3 1 x3 1 2011 2011 2010x.2 2011 x (TM ) 4020 Bài 3. a) a4 b c b4 c a c4 a b a4 b c b4 a c c4 a b a4 b c b4 a b b c c4 a b a4 b c b4 a b b4 b c c4 a b b c a4 b4 a b b4 c4 b c a b a b a2 b2 a b b c b c b2 c2 a b b c a3 ab2 a2b b3 b3 bc2 b2c c3 2 2 2 a b b c a c a ac c b a c b a c a c a b b c a c a2 b2 c2 ab bc ca b) Ta có: a b 2 0 a2 b2 2ab mà a2 b2 8nên 2ab 8 a b 2 a2 b2 2ab 8 8 16 a b 2 16 0 a b 4 a b 4 0 4 a b 4(dfcm)
4. Bài 4. x y H C D I F E A O B a) Chứng minh ·ADO B· OC (cùng phụ với ·AOD) OA AD Chứng minh ADO : BOC gg BC.AD a2 BC OB OB OD b) Chứng minh .Từ đó chứng minh ODC : BOC c.g.c BC OC Suy ra và kết luận CO là tia phân giác của B· CD Chỉ ra ADO : ODC (cùng đồng dạng với BOC) Chứng minh DO là tia phân giác của ·ADC c) Chứng minh vuông OBC vuông OHC (cạnh huyền – góc nhọn) CB CH Chứng minh OC là đường trung trực HB Tương tự chứng minh AD DH và OD là trung trực của HA Chứng minh EF là đường trung bình AHB EF / / AB DE DH AD Chỉ ra EH / /OC EO HC BC
5. AD DI AD / /BC BC IB DE DI Suy ra .Áp dụng định lý Ta let đảo cho DOB EI / /OB EO IB Theo tiên đề Oclit kết luận E,I,F thẳng hàng d) Chỉ ra 2SDOC OC.OD OH.DC a.DC nhỏ nhất DC nhỏ nhất DC  Ax ABCD là hình chữ nhật AD BC;CD AB Mà BC.AD a2 AD2 a2 AD a Xét tam giác vuông AHB có HO là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền AB OH a 2 Suy ra GTNN của OD.OC bằng 2a2 khi và chỉ khi D Ax và AD a. Bài 5. 2 x2 y2 4x2 y2 x2 2y2 0 x4 y4 2x2 y2 4x2 y2 x2 2y2 0 2 x4 2x2 y2 y4 x2 2y2 0 x2 y2 2 x2 y2 1 3x2 1 2 x2 y2 1 3x2 1 2 Ta có: 3x2 1 1x x2 y2 1 1 1 x2 y2 1 1 0 A 2 x 0 Vậy min A 0 x y 0 A 0 2 2 x y 0. x y 0 x 0 x 0 x 0 . Vậy A 2 2 2 2 max A 2 2 x y 2 y 2 y 2