Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 (Có đáp án và thang điểm)

1. UBND HUYỆN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO MÔN: TOÁN LỚP 9 Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: x y x y x y 2xy P : 1 . 1 xy 1 xy 1 xy a) Rút gọn biểu thức P. 2 b) Tính giá trị của P với x . 2 3 Bài 2: (4 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (D) và (L) lần lượt là đồ 1 3 thị của hai hàm số: y x và y x . 2 2 a) Vẽ đồ thị (D) và (L). b) (D) và (L) cắt nhau tại M và N. Chứng minh OMN là tam giác vuông. Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình: 6x4 5x3 38x2 5x 6 0. Bài 4: (2 điểm) Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh là a, vẽ một đường thẳng cắt cạnh BC ở M và cắt đường thẳng DC ở I. 1 1 1 Chứng minh rằng: . AM2 AI2 a 2 Bài 5: (6 điểm) Cho hai đường tròn ( O ) và ( O/ ) ở ngoài nhau. Đường nối tâm OO / cắt đường tròn ( O ) và ( O/ ) tại các điểm A, B, C, D theo thứ tự trên đường thẳng. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF, E ( O ) và F ( O/ ). Gọi M là giao điểm của AE và DF; N là giao điểm của EB và FC. Chứng minh rằng: a) Tứ giác MENF là hình chữ nhật. b) MN  AD. c) ME.MA = MF.MD. Hết
2. UBND HUYỆN ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 9 Bài Đáp án Điểm 1 ĐKXĐ: x 0;y 0;xy 1. 0,5 đ a) Mẫu thức chung là 1 – xy ( x y)(1 xy) ( x y)(1 xy) 1 xy x y 2xy P : 1 xy 1 xy 0,5 đ x x y y y x x x y y y x 1 xy . 0,5 đ 1 xy 1 x y xy 2( x y x) 2 x(1 y) 2 x 0,5 đ (1 x)(1 y) (1 x)(1 y) 1 x b) 2 2(2 3) 2 x 3 2 3 1 ( 3 1) 0,5 đ 2 3 4 3 x ( 3 1)2 3 1 3 1 0,5 đ 2( 3 1) 2 3 2 P 0,5 đ 1 ( 3 1)2 1 3 2 3 1 2( 3 1) 6 3 2 P 0,5 đ 5 2 3 13 2 3 1 3 x 0 y a) Đồ thị y x có : 2 0,5 đ 2 2 y 0 x 3 x khi x 0 Đồ thị y x x khi x 0 0,5 đ Đồ thị như hình vẽ: 1 đ
3. y N 3 (L) (D) 3/2 M 1 - 3 O 1 3 x b) Đồ thị (D) và (L) cắt nhau tại hai điểm có tọa độ M(1; 1) và N( - 3; 3) 0,5 đ Ta có: OM = 12 12 2 OM2 = 2 2 2 2 ON = 3 ( 3) 3 2 ON = 18 0,5 đ MN = (1 3)2 (1 3)2 20 MN2 = 20 Vì: OM2 + ON2 = MN2 0,5 đ Vậy: tam giác OMN vuông tại O 0,5 đ 3 Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình Chia cả 2 vế của phương trình cho x2 ta được: 5 6 6x2 5x 38 0 x x2 1 1 6(x2 ) 5(x ) 38 0 x2 x 1 đ 1 1 Đặt y x thì: x2 y2 2 x x2 Ta được pt: 6y2 – 5y – 50 = 0 (3y – 10)(2y + 5) = 0 10 5 Do đó: y và y 1 đ 3 2 10 1 10 * Với y thì: x 3x2 10x 3 0 3 x 3 1 x (3x – 1)(x – 3) = 0 1 3 1 đ x2 3 5 1 5 * Với y thì: x 2x2 5x 2 0 2 x 2 1 đ
4. 1 x (2x + 1)(x + 3) = 0 3 2 x4 2 4 A B M J D C I Vẽ Ax  AI cắt đường thẳng CD tại J. 0,5 đ Ta có AIJ vuông tại A, có AD là đường cao thuộc cạnh huyền IJ, nên: 1 1 1 (1) AD2 AJ2 AI2 0,5 đ Xét hai tam giác vuông ADJ và ABM, ta có: AB = AD = a; D· AJ B· AM (góc có cạnh tương ứng vuông góc) 0,5 đ ADJ = ABM . Suy ra: AJ = AM 1 1 1 1 Thay vào (1) ta được: (đpcm) 0,5 đ AD2 AM2 AI2 a 2 5 M E I F H A O D B C O / N a) Ta có A· EB C· FD 900 (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn) Vì EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O/), nên: OE  EF và OF  EF => OE // O/F 0,5 đ
5. => E· OB F·O/ D (góc đồng vị) => E· AO F·CO/ 0,5 đ Do đó MA // FN, mà EB  MA => EB  FN 0,5 đ Hay E· NF 900 . Tứ giác MENF có Eµ Nµ F 90O , nên MENF là hình chữ nhật 0,5 đ b) Gọi I là giao điểm của MN và EF; H là giao điểm của MN và AD Vì MENF là hình chữ nhật, nên I·FN I·NF 0,5 đ 1 Mặt khác, trong đường tròn (O/): I·FN F· DC sđ F»C 2 0,5 đ · · => FDC HNC 0,5 đ Suy ra FDC đồng dạng HNC (g – g) 0,5 đ => N· HC D· FC 90O hay MN  AD c) Do MENF là hình chữ nhật, nên M· FE F· EN 0,5 đ 1 Trong đường tròn (O) có: F· EN E· AB sđ E»B 2 0,5 đ => M· FE E· AB Suy ra MEF đồng dạng MDA (g – g) 0,5 đ ME MF => , hay ME.MA = MF.MD 0,5 đ MD MA Lưu ý: Nếu học sinh giải theo cách khác, nếu đúng và phù hợp với kiến thức trong chương trình đã học thì hai Giám khảo chấm thi thống nhất việc phân bố điểm của cách giải đó, sao cho không làm thay đổi tổng điểm của bài (hoặc ý) đã nêu trong hướng dẫn này./.