Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD&ĐT Ninh Giang (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD&ĐT Ninh Giang (Có đáp án và thang điểm)

1. PGD&ĐT NINH GIANG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2013 – 2014 ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 07/11/2013 ( Đề thi gồm có 01 trang ) Câu 1 (2,5 điểm): a) Phân tích đa thức 3x2 10xy 3y2 thành nhân tử . x 3 2 x2 9 b) Rút gọn biểu thức A= ( Với x 3 ;x 3 ) 2x 6 x2 9 Câu 2 (2,0 điểm): a)Tìm x, y , z thỏa mãn điều kiện: x y 4z 1 y z 4x 1 z x 4y 1 b)Giải phương trình 3x2 5x 1 x2 2 3 x2 x 1 x2 3x 4 Câu 3 (2,0 điểm): a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 6x 2xy y 10 b) Cho x và y là các số hữu tỉ và thoả mãn đẳng thức x3 y3 2xy . Chứng minh rằng 1 xy là một số hữu tỉ Câu 4 (2,5 điểm): 1)Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB cố định , đường kính CD thay đổi . Đường thẳng vuông góc với AB tại B cắt AC và AD tại M và N. a) Chứng minh : AC.AM không đổi khi CD thay đổi CM AM3 b) Chứng minh : DN AN3 2) Cho tam giác ABC cân tại A có Aˆ 200 ;AB AC b;BC a Chứng minh rằng : a3 + b3 = 3ab2 Câu 5 (1,0 điểm): xy Cho x xy 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P= x2 y2 HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh . Chữ kí giám thị 1 Chữ kí giám thị 2
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM NINH GIANG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN MÔN TOÁNLỚP 9 THCS NĂM HỌC 2013 – 2014 Lưu ý: Thí sinh làm theo các khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Điểm bài thi làm tròn đến 0,25 điểm CÂU PHẦN NỘI DUNG ĐIỂM 3x2 10xy 3y2 3x2 9xy xy 3y2 a) 0, 5 1điểm 3x x 3y y x 3y x 3y 3x y 0,5 x 3 2 x 3 x 3 A 0,25 2 x 3 x 3 x 3 * Xét trường hợp x > 3 ta có: 2 x 3 x 3 2 x 3 x 3 x 9 Câu 1 A 0,5 x 3 2 x 3 x 3 x 3 x 3 2,0 điểm *Xét trường hợp x 3 ta có b) x 3 2 x 3 3 x A 1,5 2 3 x x 3 3 x điểm x 3 x 3 2 3 x 3 x 2 3 x x 3 x 3 x 3 3 x x2 9 0, 5 3 x 3 x x 3 x2 9 Kết luận .Vậy với x 3 ;x 3 thì A 0,25 x 3 1 ĐK x, y,z 4 Cộng từng vế ta có : 2x 2y 2z 4x 1 4y 1 4z 1 0,25 4x 4y 4z 2 4x 1 2 4y 1 2 4z 1 0 2 2 2 Câu 2 4x 1 1 4y 1 1 4z 1 1 0 (*) a) 2,0 2 2 2 1.0 điểm điểm Vì 4x 1 1 0; 4y 1 1 0; 4z 1 1 0 0, 5 4x 1 1 0 1 Nên (*) xay ra 4y 1 1 0 x y z 2 4z 1 1 0 1 0,25 Kết luận : vậy x y z 2
3. 3x2 5x 1 0 2 0,25 ĐK : x 2 0 (*) 2 x x 1 0 PT 3x2 5x 1 3 x2 x 1 x2 3x 4 x2 2 0 2x 4 3x 6 0 b) 3x2 5x 1 3 x2 x 1 x2 3x 4 x2 2 1,0 2 3 x 2 0 3x2 5x 1 3 x2 x 1 x2 3x 4 x2 2 0,25 2 3 Vì < 0 0,25 3x2 5x 1 3 x2 x 1 x2 3x 4 x2 2 nên x 2 0 x 2 0,25 Thử lai thấy x=2 thỏa mãn DDK (*) . vậy x= 2 là nghiệm của phương trình 6x 2xy y 10 6x 2xy y 3 7 y 3 2x 1 7 0.25 x,y là số nguyên nên y 3và 2x 1 là số nguyên . Vì vậy y+3 ; 2x-1 là ước của 7 a) Ta có các trường hợp sau: 1.0 điểm y 3 1 x 4 y 3 7 x 1 0,5 1) 2) 2x 1 7 y 2 2x 1 1 y 4 y 3 1 x 3 y 3 7 x 0 3) 4) 2x 1 7 y 4 2x 1 1 y 10 Kết luận x; y 4;2 , 1;4 , 3; 4 ; 0;10  0,25 Câu 3 * Nếu x =0 hoặc y= 0 thì 1 xy 1 là số hữu tỉ 2,0 0,25 điểm *Nếu x, y đều khác 0 y3 y y4 y2 x3 y3 2xy x 2 xy 2 x2 x x2 x 2 y4 y2 y2 1 xy 2 1 1 2 b) x x x 1.0 điểm 2 y2 y2 0, 5 1 xy 1 1 là số hữu tỉ x x 3 3 Vậy x và y là các số hữu tỉ và thoả mãn đẳng thức x y 2xy . 0,25đ thì 1 xy là một số hữu tỉ
4. M C A O B D N Tam giác ABC nội tiếp (O) có AB là đường kính Tam giác ABC vuông tai C 0,25 1)a Tam giác ABM vuông tại B, BC là đường cao 0,75 AC.AM AB2 4R2 không đổi ( The hệ thức lượng trong tam giác vuông) 0, 5 Áp dụng hệ thức lượng trong tam các tam giác vuông AMB, ANB AMN ta có AM 2 MB.MN; AN 2 BN.MN 0,25 AM 2 BM Câu 4 2,5 AN 2 BN điểm 1)b AM 4 BM 2 AM.CM 0,75 AN 4 BN 2 AN.DN AM 3 CM 0,5 AN 3 DN A E D 2 B C ABC cân tại A có góc BAC = 200 nên ABC = ACB = 800 Trên cạnh AC lấy D sao cho ABD = 600, khi đó DBC = 200 nên BDC = 800 BDC cân tại B BD = BC = a . 0,25 DC BC a2 BDC ABC ( g – g) DC = BC AC b a2 AD = b - 0,25 b
5. 1 1 3 3 BDE vuông có EBD = 600 nên BE = BD = a và DE = BD = a. ; 2 2 2 2 0,25 1 AE = b - a. 2 Áp dung định lý Pi-ta-go trong tg vuông ADE có : a2 1 3 AD2 = AE2 + DE2 (b - )2 = (b - a)2 + (a. )2 b 2 2 a4 a2 3a2 a4 b2 - 2a2 + = b2 - ab + + = 3a2 –ab b2 4 4 b2 0,25 a4 = 3a2b2 - ab3 a4 + ab3 = 3a2b2 a3 + b3 = 3ab2 * Nếu y = 0 thì P = 0 *Nếu y 0 thì P 0 * Nếu x,y trái dấu thì P 0 1 y y 1 Từ x xy 1 1 y 2 x x x 4 y 1 Đặt t 0 t x 4 0,25 2 Câu 5 y 2 2 1 2 1,0 1 x y x2 1 t 1 1 15 Ta có t t điểm P xy y t t 16t 16t x Áp dụng bất dẳng thức cô si cho hai số dương ta có 1 1 1 1 1 1 t 2 t. . dấu bằng xảy ra khi t t 2 t x 4y 16t 16t 2 16t 16 4 1 15 15 15 1 0,25 Với t .4 . Dấu bằng xảy ra khi t x 4y 4 16t 16 4 4 1 17 4 Do đó P P 4 17 4 vậy GTLN của P bằng khi x=4y 0,25 17 Hết