Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Phòng GD&ĐT huyện Thanh Miện (Có đáp án chi tiết và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Phòng GD&ĐT huyện Thanh Miện (Có đáp án chi tiết và thang điểm)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN HUYỆN THANH MIỆN Môn: Toán 9 Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang Câu 1: (2 điểm) a3 3a a2 1 a2 4 2 1) Cho biểu thức: P a3 3a a2 1 a2 4 2 a) Tìm điều kiện xác định của P b) Rút gọn P với a > 2 2) Tìm các số tự nhiên a, b, c, d, e biết : 11(abcd + ab + ad + cd + 1) = 15( bcd + b + d) Câu 2: (2 điểm) a) Tìm các số hữu tỷ a và b sao cho x = 2 5 là nghiệm của phương trình: x3 + ax2 + bx + 1 = 0 (1) b) Gọi x1, x2, x3 là 3 nghiệm của phương trình (1) ứng với a , b vừa tìm được. n n n đặt Sn = x1 x2 x3 . Chứng minh Sn N với mọi số tự nhiên n ? Câu 3: (2 điểm) 1 x 2 a) Giải phương trình: 5x 3 3x 2 3x 2 3x 2 2 b) Cho các điểm A(1; 4); B(3; 1). Xác định đường thẳng y = ax sao cho A và B nằm về 2 phía của đường thẳng và cách đều đường thẳng đó. Câu 4: (3 điểm): Cho (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại A và B. Trên tia đối của của tia AB lấy điểm C. Kẻ tiếp tuyến CD, CE với (O), trong đó D và E là các tiếp điểm và E nằm trong (O’). Đường thẳng AD, AE cắt (O’) lần lượt tại M và N ( M và N khác A) . Tia DE cắt MN tại I. Chứng minh rằng: a. Tứ giác BEIN nội tiếp b. MIB đồng dạng với AEB c. O’I  MN Câu 5: ( 1 điểm) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện: x2y2z2 = 1. 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x6 (y2 z2 ) y6 z2 x2 z6 x2 y2
2. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 9 MÔN TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Đáp án Biểu Câu điểm 1. a) ĐK: a ≤ - 2; a ≥ 2 0,25 đ b) với a > 2 a3 3a a2 1 a2 4 2 a3 3a 2 a2 1 a2 4 => P = 3 2 2 3 2 2 a 3a a 1 a 4 2 a 3a 2 a 1 a 4 0,25 đ a 1 2 a 2 a2 1 a2 4 = 1.1 2 2 2 a 1 a 2 a 1 a 4 0,25 đ a 1 a 2 a 1 a 2 a 1 a 2 = a 1 a 2 a 1 a 2 a 1 a 2 0,25 đ a 1 a 2 = a 1 a 2 a) 11(abcd + ab + ad + cd + 1) = 15( bcd + b + d) abcd ab ad cd 1 cd 1 0,25 đ Ta có = a + bcd b d bcd b d 1 1 1 0,25 đ = a + = a a bcd b d 1 1 b b cd 1 1 cd 1 c 1.2 d d 1đ 15 4 1 1 1 1 Lại cú: 1 1 1 1 1 0,25 đ 11 3 1 1 11 11 2 2 2 4 1 4 4 1 3 3 a = 1; b = 2; c = 1; d = 3 0,25 đ a) Vì x = 2 5 là nghiệm của phương trình: x3 + ax2 + bx + 1 = 0 3 2 0,25 đ 2 5 a 2 5 b 2 5 1 0 ( 4a + b + 17) 5 + ( 9a + 2b + 39 ) = 0 0,25 đ a 5 b 3 2 b) Vì a = - 5, b = 3 (1) x3 - 5x2 + 3x + 1 = 0 2đ 2 (x - 1)(x - 4x - 1) = 0 0,25 đ x 1 x 2 5 n n 0,25 đ Sn 2 5 2 5 1 n n Đặt Un = 2 5 2 5 = Sn - 1 với n N 0,25 đ
3. n 2 n 2 Un + 2 = 2 5 2 5 = 0,25 đ n 1 n 1 n n 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 Un + 2 = 4Un + 1 + Un với mọi n N 0,25 đ Vì với U0 = 2 ; U1 = 4 S0 = 3; S1 = 5 0,25 đ + Un N n N Sn nhận giá trị nguyên n N a) Từ (1) suy ra: 2. 5x 3 3x 2 3x 2 x 2 6x 1 20x 3 12x 2 12x 8 x 4 36x 2 1 12x 3 2x 2 12x 0,25 đ x 4 8x 3 22x 2 24x 9 0 (x 0). 24 9 x 2 8x 22 0. 0,25 đ x x 2 3 Đặt x y (*) ta có: x 0,25 đ y2 - 8y + 16 = 0 suy ra y = 4 thay vào (*) ta được 2 x - 4x + 3 = 0 x = 1; x = 3 0,25 đ b) Gọi đường thẳng cần tìm là d y d Gọi AH, BK là khoảng cách từ A và B đến A 0,25 4 3 đường thẳng d. M đ 3 Đường thẳng đi qua A song song với Ox H 4 2 K Cắt d tại điểm M M( ; 4) B a 1 N Đường thẳng đi qua B 0,25 đ song song với Ox -2 -1 O 1 2 3 x 1 Cắt d tại điểm N N( ; 1) -1 a -2 Vì AH = BK AM = BN 4 1 5 5 5 0,25 đ - 1 = 3 - = 4 a = hàm số có dạng y = x a a a 4 4 0,25 đ C Vẽ hình A 0,25 đ D M 1 1 E 4 O' O 1 2 3 I B N
4. a. Ta có tứ giác ABNM nội tiếp B· NM B· AD Mà B· AD B· ED (Cùng chắn B»D ) 0,25 đ · · BNM BED Tứ giác BEIN nội tiếp 0,25 đ µ ¶ » b. Ta có A1 M1 (1) (Cùng chắn BN ) B· IM B· IE E· IM B· NE E· NI N· EI B· NI N· EI B· ED D· EA ·AEB 0,25 đ (2) 0,25 đ Từ (1) và (2) AEB MIB 0,25 đ BD CD c. Chứng minh CDB CDA (g . g) (3) DA CA CE EB Chứng minh tương tự có (4) 0,25 đ CA EA Mà CD = CE (tính chất tiếp tuyến) EB BD (5) 0,25 đ EA DA EB IB Ta lại có AEB MIB nên (6) EA MI 0,25 đ Mà ·ABD I·EN (Cựng = ·AED ) ; I·EN I·BN ·ABD I·BN , mà I·NB D· AB BD IB 0,25 đ DBA IBN (7) DA IN Từ (5), (6), (7) IM = IN OI  MN 0,25 đ 0,25 đ 1 1 1 1 Đặt a = ; b = ; c = abc = = 1 x2 y2 z2 x2 y2 z2 x2 + y2 = c(a + b); y2 + z2 = a( b + c); z2 + x2 = b( c + a) a2 b2 c2 E 0.25 đ b c c a a b a b c 3 chứng minh được 0.25 đ b c c a a b 2 5 Nhân 2 vế với a + b + c > 0, ta được a a b c b a b c c a b c 3 a b c b c c a a b 2 a2 b2 c2 a b c 33 abc 3 0.25 đ b c c a a b 2 2 2 3 3 0.25 đ E ≥ min E = khi a = b = c = 1 2 2