Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Phòng GD&ĐT Kim Thành (Có đáp án chi tiết và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Phòng GD&ĐT Kim Thành (Có đáp án chi tiết và thang điểm)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN HUYỆN KIM THÀNH Môn: Toán 9 Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang Bài 1: (2,0 điểm) x2 x 2x x 2 x 1 Cho biểu thức: P . x x 1 x x 1 a)Rút gọn P. b)Tìm giá trị nhỏ nhất của P. 2 x c)Xét biểu thức: Q , chứng tỏ 0 < Q < 2 P Bài 2: (2,0 điểm) 1. Giải phương trình: x2 3x 2 x 3 x 2 x2 2x 3 2. Cho đường thẳng (d): y = (m + 4)x - m + 6. a,Tìm m để (d) cắt đường thẳng (d 1) y = 2x + 4 tại một điểm trên trục hoành. b,Chứng minh rằng: khi m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định. Bài 3: (2,0 điểm) 1.Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: xy- 2x + 3y = 21 2.Chứng minh rằng với mọi x, y nguyên thì A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương Bài 4: (3,0 điểm) Cho AB là đường kính của đường tròn (O;R). C là một điểm thay đổi trên đường tròn (C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H. Qua A kẻ đường thẳng xy vuông góc với AB.Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt đường thẳng xy tại M, MB cắt CH tại K. a) Chứng minh MC  OC. b) Chứng minh K là trung điểm của CH. c) Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó theo R. Bài 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm ab bc ca giá trị lớn nhất của biểu thức: P = . c ab a bc b ca HẾT
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN: TOÁN 9 Bài 1(2 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm Đk : x 0; x 1. 0,25 x x x 1 x 2 x 1 2 x 1 x 1 P 0,25 a x x 1 x x 1 x x 1 2 x 1 2 x 1 0,25 x x 1 0,25 Vậy P x x 1, với x 0; x 1. 2 1 3 3 0,25 P x x 1 x 2 4 4 b dấu bằng xảy ra khi x = 1 , thỏa mãn đk. 4 0,25 3 1 Vậy GTNN của P là khi x 4 4 2 x . Với x 0; x 1 thì Q = > 0. (1) x x 1 0,25 2 2 x 2 x 1 Xét 2 0 0,25 x x 1 x x 1 c Dấu bằng không xảy ra vì điều kiện x 1 . suy ra Q < 2.(2) Từ (1) và (2) suy ra 0 < Q < 2. Chứng tỏ 0 < Q < 2. Bài 2(2 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm x2 3x 2 x 3 x 2 x2 2x 3 x 1 x 2 x 3 x 2 x 1 x 3 1 0,25 1 x 1 x 2 0 x 3 0 0,25 Điều kiện x 2 x 2 0 x 1 x 3 0
3. 1 x 2 x 1 1 x 3 x 1 1 0 0,25 x 1 1 0 x 1 1 x 2 x 3 0 x 2 x 3 0 x 1 1 0,25 x 2 x 2 x 3 x = 2 thoả mãn điều kiện xác định. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. a) Đường thẳng (d1) y = 2x + 4 cắt trục hoành tại M(-2;0) 0,25 Khi đó (d) cắt đường thẳng (d1) tại một điểm trên trục hoành 2 2 0 = (m + 4).(-2) - m + 6 m = 3 0,25 2 Vậy m = thì (d) cắt (d1) tại điểm M(-2;0) trên trục hoành 3 b) Giả sử M(x0;y0) là điểm cố định thuộc đường thẳng (d) Khi đó M(x0;y0) (d)  m 0,25 (x0 - 1)m = y0 - 4x0 - 6  m x0 = 1 và y0 = 10 0,25 Vậy với mọi m thì (d) luôn đi qua điểm cố định M(1;10) Bài 3(2 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm Ta có : xy- 2x + 3y = 21 x(y-2) + 3(y-2) =21 (x+3).(y-2) =21 0,25 1 Vì x,y nguyên dương nên x+3 nguyên dương và x+3≥4 Vì (x+3).(y-2) =21 nên x+3 là Ư(21) 0,25 Có Ư(21)={-1 ;-3 ;-7 ;-21 ;1 ;3 ;7 ;21} Vì x+3≥4 nên x+3 =7 hoặc x+3 =21  x=4 hoặc x= 18 0,25  y=5 hoặc y= 3 Vậy phương trình có nghiệm nguyên dương là (x ;y)=(4 ;5) hoặc 0,25 (x ;y)= (18 ;3) A =(x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 = § (x + y)(x + 4y) ¨ . § (x + 2y)(x + 3y) ¨ + y4 0,25 2 = (x2 + 5xy + 4y2 )(x2 + 5xy + 6y2 )+ y4 = (x2 + 5xy + 5y2 - y2 )(x2 + 5xy + 5y2 – y2 ) + y4 0,25 = (x2 + 5xy + 5y2 )2 - y4 + y4
4. = (x2 + 5xy + 5y2 )2 0,25 Do x , y Z nên x2 + 5xy + 5y2 Z 0,25 A là số chính phương Bài 4(3 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm Vẽ hình M C 0,25 I K A B O H a) Chứng minh MC  OC (0,75 điểm) a - Chứng minh AOˆM COˆM . 0,25 - Chứng minh AOM = COM 0,25 - Chứng minh MC  CO 0,25 . b) Chứng minh K là trung điểm của CH. ( 1 điểm) MAB có KH//MA (cùng AB) ( KH HB AM.HB AM.HB 0,25 KH 1) AM AB AB 2R Chứng minh cho CB // MO A· OM C· BH (đồng vị). 0,25 b C/m MAO đồng dạng với CHB MA AO AM.HB AM.HB 0,25 CH (2) CH HB AO R Từ (1) và (2) suy ra CH = 2 KH CK = KH K là trung điểm 0,25 của CH. c) Xác định vị trí của C để chu vi ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm
5. c giá trị lớn nhất đó( 1 điểm). Chu vi tam giác ACB là PACB AB AC CB 2R AC CB 0,25 2 AC CB 0 AC2 CB2 2AC.CB Ta lại có 2AC2 2CB2 AC2 CB2 2AC.CB 0,25 2 2 AC2 CB2 AC CB AC CB 2 AC2 CB2 . AC CB 2AB2 AC CB 2.4R2 AC CB 2R 2 0,25 Đẳng thức xảy ra khi AC = CB M là điểm chính giữa cung AB. Suy ra P 2R 2R 2 2R 1 2 , dấu "=" xảy ra khi M là điểm ACB 0,25 chính giữa cung AB Vậy max PACB 2R 1 2 đạt được khi M là điểm chính giữa cung AB. Bài 5(1 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm Có: a b c 1 c a b c .c ac bc c2 c ab ac bc c2 ab a(c b) c(b c) = (c a)(c b) a b 0,25 ab ab c a c b c ab (c a)(c b) 2 a bc (a b)(a c) Tương tự: b ca (b c)(b a) b c bc bc a b a c a bc (a b)(a c) 2 c a ca ca b c b a 0,25 b ca (b c)(b a) 2 a b b c c a P c a c b a b a c b c b a = 0,25 2 a c c b b a = a c c b b a = 3 2 2
6. 1 Dấu “=” xảy ra khi a b c 3 0,25 3 1 Từ đó giá trị lớn nhất của P là đạt được khi và chỉ khi a b c 2 3