Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Phòng GD&ĐT Kim Thành (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Phòng GD&ĐT Kim Thành (Có đáp án và thang điểm)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN HUYỆN KIM THÀNH Môn: Toán 9 Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang Bài 1: (5,0 điểm) x 3 x 2 x 2 x Cho biểu thức A = : 1 với x 0; x 4; x 9 x 2 3 x x 5 x 6 x 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị của A khi x = 6 2 5 c) Với giá trị nào của x thì 1 đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó? A Bài 2: (4,0 điểm) Giải các phương trình sau: a) x 4 1 x 1 2x b) x2 3x 2 x2 1 6 3 x 1 2 x 2 2 x 1 Bài 3: (2,0 điểm) Cho các số dương a; b; c thoả mãn: ab + bc + ac = 1 2a b c 9 Chứng minh rằng: P 1 a2 1 b2 1 c2 4 Bài 4: (7,0 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Các đường cao AD; BE; CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của HC; N là trung điểm của AC, AM cắt HN tại G. Đường thẳng qua M vuông góc với HC và đường thẳng qua N vuông góc với AC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng: 2 a) Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC từ đó suy ra: SAEE SABC .cos BAC b) BH.KM = BA.KN GA5 GB5 GH 5 c) 4 2 GM 5 GK 5 GN 5 Bài 5: (2,0 điểm) Xét 20 số nguyên dương đầu tiên: 1; 2; 3; 4 20. Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất có tính chất: Với mỗi cách lấy ra k số phân biệt từ 20 số trên, đều lấy được hai số phân biệt a và b sao cho a + b là số nguyên tố?
2. Hướng dẫn bài 3: Ta có: 1 + a2 = (a + b)(a + c); 1 + b2 = (b + c)(b + a); 1 + c2 = (c + b)(c + a) 2a b c 2a 2b 2c Vậy P 1 a2 1 b2 1 c2 a b a c 4 b a b c 4 c a c b áp dụng BĐT cosi ta có: 1 1 1 1 1 1 9 P a b c a b a c 4 b c b a 4 c a c b 4 1 b c 15 Dấu = xảy ra khi: 7 a 7b 15