Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Phòng GD&ĐT Kim Thành (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Phòng GD&ĐT Kim Thành (Có đáp án và thang điểm)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN HUYỆN KIM THÀNH Môn: Toán 9 Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang Bài 1: (2,0 điểm) x 2 x 2 x2 2x 1 Cho A = . x 1 x 2 x 1 2 a) Rút gọn A. b) Tìm x để A > 0 . c) Tìm giá trị lớn nhất của A . Bài 2: (2,0 điểm) a) Giải phương trình sau: x2 5x 14 4 x 1 b) Cho đường thẳng (d) có phương trình : y = (m-1)x + (m +1) (d) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định. Bài 3: (2,0 điểm) a) Tìm ba số nguyên tố mà tích của chúng bằng năm lần tổng của chúng. b) Tìm số tự nhiên n sao cho A n2 n 6 là số chính phương. Bài 4: (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn đường kính BC=2R, tâm O cố định. Điểm A di động trện nửa đường tròn. Gọi H là hình chiếu của điểm A lên BC. Gọi Dvà E lần lượt là hình chiếu của H lên AC và AB. a) Chứng minh: AB . EB + AC . AD = AB2 b) Chứng minh bốn điểm A,E,H,D cùng thuộc một đường tròn c) Xác định vị trí điểm A sao cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn nhất đó theo R. Bài 5: (1,0 điểm) Cho x 0; y 0 .Chứng minh rằng : 10 10 1 x y 1 16 16 2 2 2 5 Q 2 2 (x y ) (1 x y ) 2 y x 4 2 HẾT (Đề thi gồm có 01trang) Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi : Toán – Lớp 9 Bài 1:(2 điểm) Ý/phần Đáp án Điểm a ĐKXĐ: x 0, x 1 0.25đ A x( x 1) 0.75đ b Với x = 0 ta có A = 0 Với x > 0 ta có : A 0 x( x 1) 0 x( x 1) 0 x 1 0(do x 0) x 1 0.25đ Vậy với 0 x 1 thì A 0 0.25đ 1 1 1 1 1 1 c A x( x 1) x x ( x )2 A 0.25đ 4 4 2 4 4 4 1 1 1 Vậy GTLN của A = khi x x (t / m) 0.25đ 4 2 4 Bài 2:(2 điểm) Ý/phần Đáp án Điểm x2 5x 14 4 x 1 2 2 0.25đ  x 3 x 1 2 0 2 x 3 0  2 0.25đ x 1 2 0 a x 3  x 3 0.25đ  x 3 Vậy . 0.25đ Gọi x0 ; y0 là tọa độ điểm cố định mà (d) đi qua với mọi m 0.25đ Ta có: y0 (m 1)x0 m 1 có nghiệm với mọi m 0.25đ (x 1)m 1 x y 0 có nghiệm với mọi m b 0 0 0 x0 1 0 x0 1 0.25đ 1 x0 y0 0 y0 2 Vậy điểm cố định mà (d) đi qua với mọi m là (-1;2) 0.25đ
3. Bài 3:(2 điểm) Ý/phần Đáp án Điểm A n2 n 6 là số chính phương nên A có dạng A n2 n 6 k 2 (k N * ) 0.25đ 4n2 4n 24 4k 2 (2k)2 (2n 1)2 23 2k 2n 1 23 (2k 2n 1)(2k 2n 1) 23 0.25đ a 2k 2n 1 1 (Vì 23 là số nguyên tố và 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1) 2k 2n 22 k 6 0.25đ 2k 2n 2 n 5 Vậy với n = 5 thì A là số chính phương 0.25đ Gọi a,b,c là ba số nguyên tố cần tìm ta có: abc = 5(a+b+c). 0.25đ Tích ba số nguyên tố abc chia hết cho 5 nên có một số bằng 5. Do a,b,c là các số có vai trò như nhau nên : Giả sử a = 5 được 5bc = 5(5+b+c) bc = 5+b+c. bc -b - c + 1 = 6 (b-1)(c-1) = 6. 0.25đ b Khi đó ta có: b 1 1 b 2 *) ( thỏa mãn) c 1 6 c 7 b 1 2 b 3 0.25đ *) ( loại vì 4 là hợp số) c 1 3 c 4 0.25đ Vậy ba số nguyên tố cần tìm là 2, 5, 7 Bài 4:(3 điểm) Ý/phần Đáp án Điểm A E a D C B H O Chứng minh : AB . EB = HB2 0.25đ AC . AD = AH2 0.25đ HB2 + AH2 = AB2 0.25đ AB . EB + AC . AD = AB2 0.25đ Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật 0.5 đ Gọi I là giao điểm của AH và DE => IA = ID = IH = IE 0.25đ b => Bốn điểm A,E,H,D cùng thuộc một đường tròn 0.25đ
4. AD2 AE 2 DE 2 AH 2 0.25đ S(ADHE)= AD.AE 2 2 2 AH 2 AO2 R2 0.25đ c S(ADHE) 2 2 2 R2 0.25đ Vậy Max S(ADHE)= Khi AD = AE 2 Hay A là điểm chính giữa của cung AB 0.25đ Bài 5:(1 điểm) Ý/phần Đáp án Điểm 1 x10 y10 1 Q (x16 y16 ) (1 x 2 y 2 ) 2 2 2 2 y x 4 1 x10 y10 1 3 1 1 (x16 y16 1 1) (1 x 2 y 2 ) 2 2 2 0.25đ 2 y x 4 2 Áp dụng bắt đẳng thức Cô-si cho bốn số dương ta có: 1 x10 y10 1 1 2x 2 y 2 0.25đ 2 2 2 y x 1 0.25đ (x16 y16 1 1) x 4 y 4 4 3 5 => Q 2x 2 y 2 x 4 y 4 1 2x 2 y 2 x 4 y 4 0.25đ 2 2 Chú ý : Các cách giải khác đúng vẫn cho điểm