Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Phòng GD&ĐT Thanh Miện (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Phòng GD&ĐT Thanh Miện (Có đáp án và thang điểm)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN HUYỆN THANH MIỆN Môn: Toán 9 Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang Câu 1(2đ): x 2 3 x2 4 a. Rút gọn biểu thức sau A = với x >2 hoặc x -2 3x 6 x2 4 1 b. Tìm x để x+ 4 3 và - 4 3 đều là số nguyên. x Câu 2(2đ): a.Trong mặt phẳng Oxy hãy tính khoảng cách từ điểm M(-3;2) đến đường thẳng y = 2x+4 ( đơn vị trên các trục toạ độ là xentimét) (x y)2 y 2 b. Giải hệ phương trình: 2 2 (x y)(x xy y ) 1 Câu 3(2đ): a. Có tồn tại số nguyên n hay không sao cho n2 + 2014 là một số chính phương? 1 1 2 b. Cho a,b,c là ba số thực dương thoả mãn . a b c a c b c Chứng minh rằng 4 2a c 2b c Câu 4(3đ): Cho hai đường tròn tâm O và O' cắt nhau tại E và F. Đường thẳng nối tâm cắt (O) tại A và C, cắt (O') tại B và D ( sắp xếp theo trật tự A, B, C và D). Gọi H là giao điểm của EF và BC. a. CMR HA.HC = HB.HD b. Lấy điểm P tuỳ ý trên đoạn HE. Gọi M là giao điểm của CP với (O); gọi N là giao điểm của BP với (O'). Chứng minh MNCB là tứ giác nội tiếp c. Chứng minh rằng ba đường thẳng AM,DN và EF cắt nhau tại một điểm Câu 5(1đ): Có 20 người quyết định đi bơi bằng 10 chiếc thuyền đôi. Biết rằng nếu hai người X và Y mà không quen nhau thì tổng số những người quen của X và những người quen của Y không nhỏ hơn 19. Chứng minh rằng có thể phân công vào các thuyền đôi sao cho mỗi thuyền đều là hai người quen nhau
2. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN LỚP 9 Câu đáp án điểm Câu1 2 a x 2 3 x2 4 (x 2 3 x2 4)(3x 6 x2 4) 0,25 A = = 3x 6 x2 4 (3x 6 x2 4)(3x 6 x2 4) 3(x2 4) (x 2) x2 4 9(x 2) x2 4 3(x2 4) = 0,25 9(x 2)2 (x2 4) (9x 18 x 2) x2 4 x2 4 5 = với x 0,25 (x 2)(9x 18 x 2) x 2 2 5 5 x2 4 Với x= thì A = 3 , với x = thì giá trị cũng bằng 3 2 2 x 2 5 5 nên cả hai trường hợp x = và x đều có đáp án chung là 2 2 x2 4 0,25 x 2 * Chú ý: Học sinh có thể rút gọn A bằng cách xét hai trường hợp: x 2 x 2 với x > 2 thì A = và với x -2 thì A = - nhưng x 2 x 2 x2 4 hai kết quả có thể viết chung là x 2 b 1 0,25 Đặt x+ 4 3 = a và 4 3 =b với a,b là số nguyên x 1 Vì x+ 4 3 = a Nên x= a- 4 3 thay vào 4 3 =b ta được x 1 4 3 =b => 1 - 4 3 ( a- 4 3 ) = b(a- 4 3 ) a 4 3 0,25 => 1 – 4a 3 + 48 = ab – 4b 3 => 49 – ab = 4 3 (a-b) (1) Vì a,b là số nguyên nên 49 – ab là số nguyên và 4 3 (a-b) là a b 0 một số vô tỉ. Do đó để (1) luôn đúng thỡ => a =b= 49 ab 0 0,25 7. Suy ra x = 7- 4 3 0,25 Câu 2 2 a Vẽ đường thẳng y = 2x+4 (d) Cho x = 0 => y = 4; A(0;4) Cho y =0 => x = -2; B(-2:0)
3. y 0,25 A 4 D M 2 -3 H B -1 O x C -2 Đường thẳng x= -3 cắt (d) tại điểm C(-3;-2) Đường thẳng y = 2 cắt (d) tại điểm D(-1;2) 0,25 Suy ra đoạn MC = 4cm, MD = 2cm Kẻ MH vuông góc với (d) tại H, theo hệ thức lượng trong tam 1 1 1 1 1 giác vuông, ta có: 0,25 MH 2 MC 2 MD2 42 22 42.22 4 4 nên MH2 = => MH = = 5 (cm) 0,25 42 22 5 5 b y3 2 0,25 Nếu x=0 thì ta có không thoả mãn 3 y 1 Nếu x 0 , đặt y = tx, thay giá trị này vào các pt của hệ ta được (x tx)2 tx 2 0,25 2 2 2 2 (x tx)(x tx t x ) 1 2 0,25 => t -3t + 2 = 0 phương trình này cho nghiệm t1 = 1; t2 = 2 3 1 Với t1 = 1 thì y =x => 4x = 2 nên x1 = y1 = 3 2 0,25 3 1 2 Với t2 =2 thì y = 2x => 18x =2 nên x2 = ; y2 = 3 9 3 9 Câu 3 2 a Gọi m2 = n2 +2014 với m là số nguyên 0,25 Nên (m-n)(m+n) = 2014 (*) Ta thấy, nếu m lẻ và n chẵn hoặc m chẵn và n lẻ thì VT là số lẻ 0,25 mà VP là số chẵn nên không thoả mãn Từ (*) suy ra m và n cùng chẵn hoặc cùng lẻ dẫn đến m-n và 0,25 m+n cùng chẵn Nên (m-n)(m+n) = 2014 = 2.1007 = (-2).(-1007) Mà 2014 là tích của một số chẵn và một số lẻ 0,25 Do đó không tồn tại số nguyên n thoả mãn bài toán b 1 1 2 2ab 0,25 Ta có suy ra c . a b c a b
4. 2ab 2ab 0,25 a b a c a 3b b c b 3a Nờn a b và a b 2ab 2ab 2a c 2a 2a 2b c 2b 2b 0,25 a b a b a c b c a 3b b 3a 1 3b 1 3a 0,25 Do đó 2a c 2b c 2a 2b 2 2a 2 2b 3 a b 3 a b = 1 ( ) 1 .2 . 1 3 4 2 b a 2 b a a c b c Vậy 4 2a c 2b c Câu 4 3 a I 0,5 N M E P A O O' B H C D F Ta có tam giác AEC vuông tại E nên HA.HC = HE2 2 Tương tự HB.HD = HE 0,5 nên HA.HC = HB.HD b Chứng minh PB.PN = PE.PF và PC.PM = PE.PF 0,25 suy ra PB.PN = PC.PM , có góc MPB = góc NPC 0,25 nên BMP đồng dạng CNP => góc BMC = góc BNC 0,25 => tứ giác BMNC là tứ giác nội tiếp 0,25 c Gọi I là giao điểm của AM và DN Ta có góc OMC = góc OCM = góc BNM( do BMNC là tứ giác 0,25 nội tiếp) Mà góc AMO + góc OMC = 900; góc INM + góc BNM = 900 0,25 nên góc AMO = góc INM=> góc MAO = góc INM => tứ giác AMND nội tiếp Tứ giác AMPH nội tiếp nên góc MPE = góc MAO 0,25 Tứ giác MPNI nội tiếp nên góc INM = góc IPM => góc MPI = góc MPE do đó ba điểm P,E,I thẳng hàng 0,25 Vậy ba đường thẳng cùng đi qua điểm I Câu 5 Nếu trong 20 người không có cặp nào quen nhau thì tổng số người quen của hai người bất kì là 0. Điều này mâu thuần với 0,25 giả thiết, vậy tồn tại một số cặp quen nhau và ta xếp mỗi cặp đó
5. vào một thuyền đôi. Gọi n là số lượng thuyền lớn nhất mà trong đó ta có thể xếp được những cặp quen nhau vào một thuyền và kí hiệu thuyền thứ i xếp hai người Xi và Yi quen nhau ( 1 i n ) 0,25 Giả sử n 9, kí hiệu tập A gồm những người chưa được xếp vào thuyền nào, tức là những người đôi một không quen nhau. Chọn hai người X và Y trong tập A. Theo bài ra thì tổng số những người quen của X và những người quen của Y không nhỏ hơn 19 và những người quen X hoặc quen Y đã được xếp vào thuyền 0,25 rồi. Như vậy có 19 người quan hệ quen X hoặc quen Y được xếp vào nhiều nhất là 9 thuyền đôi( trừ 1 thuyền vì X và Y chưa được xếp) mà 19 = 9.2 +1 nên theo Nguyên tắc Dirichlet tồn tại ít nhất 1 thuyền chở hai người quen cả X và Y. Nhưng khi đó ta có thể xếp lại như sau: trong n-1 thuyền đầu tiên vẫn giữ nguyên, còn thuyền thứ n xếp Xn và Y, còn thuyền thứ n+1 xếp X và xếp X và Yn. Điều này mâu thuẫn với n 9 0,25 Theo cách xếp này ta tiếp tũcếp đến hết 10 thuyền sao cho trong mỗi thuyền 2 người đều quen nhau Chú ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm