Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Phòng GD&ĐT Thanh Oai (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Phòng GD&ĐT Thanh Oai (Có đáp án và thang điểm)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN HUYỆN THANH OAI Môn: Toán 9 Thời gian làm bài: 150 phút Đề gồm 01 trang Câu 1: ( 6 điểm ). 2 5 x 1 x 1 1) Cho biểu thức: A 1 ( ) : 1 2 x 4x 1 1 2 x 4x 4 x 1 a/ Rút gọn A b/ Tìm giá trị nguyên của x để A đạt giá trị nguyên c/ Tính giá trị của A với x 7 3 49(5 4 2)(3 2 1 2 )(3 2 1 2 2 ) . 2) Tìm tất cả các số tự nhiên abc có 3 chữ số sao cho : 2 abc n 1 2 với n là số nguyên lớn hơn 2. cba n 2 Câu 2: ( 4 điểm ). 1) Giải phương trình sau: x 3 1 x 2 3 x 1 1 x 1 1 1 2) Cho x, y, z là ba số thỏa mãn: x.y.z 1 và x y z . x y z Tính giá trị của biểu thức: P x2013 1 y2014 1 z2015 1 Câu 3: ( 3 điểm ). 1) T×m c¸c nghiệm nguyên của phương trình : x2 + xy + y2 = x2y2 2) Cho a, b và c là các số thực không âm thỏa mãn a b c 1. ab bc ca 1 Chứng minh rằng . c 1 a 1 b 1 4 Câu 4: ( 6 điểm ). Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax, By vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm C, trên tia By lấy điểm D sao cho góc COD = 900. Kẻ OH vuông góc với CD tại H. a) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O đường kính AB; AB2 b) Chứng minh AC.BD ; 4 c) Nêu cách xác định vị trí điểm C trên tia Ax để diện tích tam giác COD bằng diện tích tam giác AHB. Câu 5: ( 1 điểm ). T×m nghiÖm nguyªn dương cña ph­¬ng tr×nh : x2+2y2 +2xy +3y- 4 = 0 —————————————– Hết ——————————————–
2. h­íng dÉn chÊm m«n to¸n 9 Câu Điểm 2 5 x 1 x 1 a/Cho biểu thức A= 1- : 0,5đ 1 2 x 4x 1 1 2 x 4x 4 x 1 1 ĐK: x 0; x ; x 1 4 2 5 x 1 x 1 0,5đ A= 1- : 2 2 x 1 2 x 1 (2 x 1) 2 x 1 2 x 1 4 x 2 5 x 2 x 1 (2 x 1)2 A=1- . 0,5đ (2 x 1)(2 x 1) x 1 x 1 2 x 1 2 x 1 2 A=1- . 1 0,5đ Câu 2 x 1 x 1 2 x 1 1 2 x 1.1 b/ Tìm x Z để A nguyên. (4 đ) 2 1đ A Z Z 1 2 x Ư(2) 1 2 x Do x 0; x 1; x Z x 0 Vậy x=0 thì A có giá trị nguyên. c/Với x= 7 3 49(5 4 2)(3 2 1 2 )(3 2 1 2 2 ) x=-7 3 49(5 4 2)(5 4 2) 7. 7 49 2 2 0,5đ x 7 . Vậy A 1 2.7 13 0,5đ (1) abc 100a 10b c n2 1 0,5 Câu 2 1.2 Viết được cba 100c 10b a n 4n 4(2) (2 đ) 0,5 Từ (1) và (2) ta có 99 ( a –c ) = 4n – 5 => 4n – 5 99 (3) Mặt khác : 0,5 100 n2 1 999 101 n2 1000 11 n 31 39 4n 5 119 (4) 0,5 Từ (3) và (4) => 4n – 5 = 99 => n = 26 Vậy số cần tìm abc 675
3. 1. x 3 1 x 2 3 x 1 1 x (ĐK: 1 x 1) 2 0,5đ. x 1 a x 3 a 2 Đặt (a,b 0) 2 1 x b 1 x ab Thay vào phương trình đã cho ta có: 0,5đ. a 2 2 ab 3a b a 2 b 3 .a b 2 0 a 1 a b 2 0 Câu a 1 2.1 a b 2 0,5đ. (2đ) Với a 1 x 1 1 x 0 (thỏa mãn) Với a b 2 x 1 1 x 2 x 1 1 x 2 1 x 2 4 1 x 2 1 x 0 (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 0. 0,5đ. 1 1 1 xy yz zx 0,5đ Từ x y z x y z xy yz xz ( vì xyz 1) x y z xyz Xét tích x 1 y 1 z 1 xy x y 1 z 1 0,5đ xyz xy xz yz x y z 1 1 xy xz yz x y z 1 0 x 1 0 x 1 0,5đ Câu y 1 0 y 1 2.2 z 1 0 z 1 (2đ) Lần lượt thay x 1 hoặc y 1 hoặc z 1 vào biểu thức P ta đều được P 0 0,5đ 2 2 2 x y 4x *Víi x 2 vµ y 2 ta cã: 2 2 2 0,25đ x y 4y x2y2 2 (x2 + y2) = x2 + y2 +x2 + y2 x2 + y2 + 2xy> x2 + y2 + xy 0,25đ Câu * VËy x 2 hoÆc y 2 3.1 - Víi x =2 thay vµo ph­¬ng tr×nh ta ®­îc 4 + 2y + y2 = 4y2 0,25đ (2đ) hay 3y2-2y -4 =0 Ph­¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn - Víi x =-2 thay vµo ph­¬ng tr×nh ta ®­îc 4 - 2y + y2 = 4y2 0,25đ hay 3y2+2y -4 =0 Ph­¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn - Víi x =1 thay vµo ph­¬ng tr×nh ta ®­îc 1 + y + y2 = y2 0,25đ hay y = -1 - Víi x =-1 thay vµo ph­¬ng tr×nh ta ®­îc 1 - y + y2 = y2 0,25đ hay 1- y = 0 y =1 - Víi x = 0 thay vµo ph­¬ng tr×nh ta ®­îc y =0 0,25đ Thö l¹i ta ®­îc ph­¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm nguyªn (x, y) lµ: (0; 0); (1, -1); (-1, 1) 0,25đ
4. Học sinh phát biểu và CM bất đẳng thức phụ sau: 1 1 1 1 0,25 - Với x; y là các số thực dương bất kỳ ta có: (1). Đẳng thức xẩy x y 4 x y ra khi và chỉ khi x = y. Thật vậy: Vì x; y là các số thực dương theo BĐT Côsi ta có Câu 0,25 3.2 1 1 1 1 1 1 1 x y 2 xy.2 4 x y xy x y 4 x y (1đ) - Áp dụng BĐT (1) ta có: ab ab ab 1 1 ’ (1 ) 0,25 c 1 c a c b 4 c a c b bc bc 1 1 ’ ca ca 1 1 ’ Tương tự (2 ); (3 ) a 1 4 a b a c b 1 4 b a b c Cộng vế với vế của ba đẳng thức trên ta được: ab bc ca 1 ab ca ab cb cb ca a b c 1 c 1 a 1 b 1 4 b c c a a b 4 4 0,25 1 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c . 3 y x D H M C 0,5 A B K O a) Vì Ax  AB; By  AB nên Ax, By là tiếp tuyến của đường tròn (O) Câu 4 Gọi M là trung điểm của CD => OM là đường trung bình của hình thang (6đ) ACDB => OM //AC => góc ACO = góc MOC ( So le trong) (1) 1,5 Lại có: OM là trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác vuông COD => OM = MC => tam giác OMC cân tại M => góc COM = góc MCO (2) Từ (1) và (2) suy ra góc ACO = góc MCO => tam giác ACO = tam giác HCO (cạnh huyền - góc nhọn) => OH = OA => H thuộc đường tròn tâm O => CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O đường kính AB b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có AC = CH; BD = DH AB2 1,5 CH.DH = OH2 => AC.BD 4
5. OH c) S S => 1 ( HK  AB; K thuộc AB ) COD AHB HK 0,5 ( Vì tam giác COD đồng dạng với tam giác BHA) 1,0 => OH = HK => K trùng O => H là điểm chính giữa của nửa đường tròn O => AB AB AC = vậy điểm C thuộc tia Ax sao cho AC = thì S S . 1,0 2 2 COD AHB BiÕn ®æi ph­¬ng tr×nh x2+2y2 +2xy +3y- 4 = 0 (x2+2xy+y2) +y2 +3y - 4= 0 0,25 (y+4)(y-1) =-(x+y)2 0 - 4 y 1 v× y thuéc Z nªn y 4; 3; 2; 1;0;1 0,25 Câu 5 S¸u cÆp (x;y) tháa m·n ph­¬ng tr×nh lµ (1 đ) (4;- 4), (1;- 1),(5;-3), (1;3),(2;0), (-2;0) 0,25 V ì x; y nguyên dương nên x=1 và y=3 0,25