Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Phòng GD&ĐT Trực Ninh (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Phòng GD&ĐT Trực Ninh (Có đáp án và thang điểm)

1. phòng giáo dục - đào tạo Đề thi chọn học sinh giỏi huyện huyện trực ninh Môn: Toán - lớp 9 Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề đề chính thức Đề thi có 01 trang Bài 1: (4,0 điểm) 1 1 2x x 1 2x x x x Cho biểu thức A : 1 x x 1 x 1 x x 1 Với x 0; x ; x 1 4 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của A khi x 17 12 2 c) So sánh A với A . Bài 2: (3,5 điểm) Chứng minh rằng: 1 a) 2 a b 2 b c Biết a; b; c là 3 số thực thỏa mãn điều kiện: b a = b + 1 = c + 2 ; c >0. 20082 2008 b) Biểu thức B 1 20082 có giá trị là một số tự nhiên. 20092 2009 Bài 3: (3,0 điểm) Giải phương trình a) x2 3x 2 x 3 x 2 x2 2x 3 x 3 b) 4x 1 3x 2 . 5 Bài 4.(8,0 điểm) Cho AB là đường kính của đường tròn (O;R). C là một điểm thay đổi trên đường tròn (C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O;R) tại M, MB cắt CH tại K. a) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O;R). c) Chứng minh K là trung điểm của CH. d) Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó theo R. 2008 2008 Bài 5: (1,5 điểm) Cho M 3 2 3 2 a) Chứng minh rằng M có giá trị nguyên. b) Tìm chữ số tận cùng của M. Chú ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính. Hết Họ tên thí sinh: . Chữ ký giám thị 1: . Số báo danh : Chữ ký giám thị 2: .
2. hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi cấp huyện môn toán lớp 9 Bài 1 (4 điểm) a) Rút gọn biểu thức (2 điểm) 1 1 2x x 1 2x x x x 1 A : x 0;x ;x 1 1 x x 1 x 1 x x 4 x 1 x 2x 2 x x 1 x 2x x 1 0.5 : x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 0.5 2 x 1 x 1 2 x 1 x x 1 2 x 1 : x x 1 1 x 1 x 1 x 1 x x 0.25 2 x 1 1 x : 2 x 1 x x 1 1 x 1 x x 0.25 2 x 1 1 x x x 1 x : 2 x 1 : 0.5 x x 1 1 x 1 x x 1 1 1 x x : x x 1 1 x 1 x x x b) Tính giá trị của A khi x 17 12 2 (1 điểm). 2 2 Tính x 17 12 2 3 2 2 x 3 2 2 3 2 2 3 2 2 0.5 0.5 1 3 2 2 17 12 2 15 10 2 5 3 2 2 A 5 3 2 2 3 2 2 3 2 2 c) So sánh A với A (1 điểm). 1 x x 1 Biến đổi A x 1 0.25 x x 0.25 1 1 Chứng minh được x 2 với mọi x 0;x ;x 1 x 4 1 A x 1 1 A 1 A 1 0 A A 1 0 0.5 x A A 0 A A Bài 2 (3 điểm)
3. 1 a) Chứng minh rằng 2 a b 2 b c biết a; b; c là ba số thực thoả mãn điều b kiện a = b + 1 = c + 2 ; c > 0 (2 điểm). 0.5 Ta có: a b 1 a b 1 a b 1 . 0.25 b 1 c 2 b c 1 b c 0 2 . (c > 0 theo (gt)) 0.25 Từ (1) và (2) suy ra a > b > c > 0. 1 1 Mặt khác a b 1 a b a b 1 a b (Vì a >b>0) a b 2 b 0.5 1 2 a b . b 0.25 1 Chứng minh tương tự cho trường hợp: 2 b c . b 0.25 1 Vậy 2 a b 2 b c (đpcm). b 20082 2008 b) Biểu thức B 1 20082 có giá trị là một số tự nhiên (1 điểm). 20092 2009 2 2 2008 2008 2 2008 2008 0.5 Ta có : B 1 20082 1 2008 2.1.2008 . 20092 2009 20092 2009 2 2 2 2008 2008 2008 2008 2008 0.75 2009 2.2009. 2 2009 . 2009 2009 2009 2009 2009 2008 2008 2008 2008 0.25 2009 2009 2009 . 2009 2009 2009 2009 Vậy B có giá trị là một số tự nhiên. Bài 3 (3điểm) Giải phương trình a) x2 3x 2 x 3 x 2 x2 2x 3 (1.75 điểm) x 1 x 2 x 3 x 2 x 1 x 3 1 0.5 x 1 x 2 0 x 3 0 0.25 Điều kiện x 2 x 2 0 x 1 x 3 0 0.25 1 x 2 x 1 1 x 3 x 1 1 0 0.5 x 1 1 0 x 1 1 x 1 1 x 2 x 3 0 x 2 0.25 x 2 x 3 0 x 2 x 3 x = 2 thoả mãn điều kiện xác định. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. x 3 b) 4x 1 3x 2 (1). (1.25 điểm). 5
4. 0.25 2 Điều kiện x . 3 0.25 4x 1 3x 2 . 4x 1 3x 2 x 3 4x 1 3x 2 x 3 1 0.25 4x 1 3x 2 5 4x 1 3x 2 5 4x 1 3x 2 x 3 x 3 x 3 4x 1 3x 2 5 (2) 4x 1 3x 2 5 4x 1 3x 2 5 0.5 2 (Vì x nên x + 3 > 0). 3 Giải tiếp phương trình (2) ta được nghiệm của phương trình là x = 2. Bài 4 (8 điểm) M C I K A B O H 1) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đường tròn. (2 điểm) Chứng minh OI  AC. 0.75 Suy ra OIC vuông tại I suy ra I thuộc đường tròn đường kính OC. 0.25 CH  AB (gt) CHO vuông tại H H thuộc đường tròn đường kính OC. 0.75 Suy ra I, H cùng thuộc đường tròn đường kính OC. hay C, I, O, H cùng thuộc một đường tròn. 0.25 2) Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R). (2 điểm) ã ã - Chứng minh AOM COM . 0.75 - Chứng minh AOM = COM 0.75 - Chứng minh MC  CO 0.25 MC là tiếp tuyến của (O; R). 0.25 3) Chứng minh K là trung điểm của CH. ( 2 điểm) KH HB AM.HB AM.HB 1 MAB có KH//MA (cùng  AB) KH (1) AM AB AB 2R Chứng minh cho CB // MO Ã OM Cã BH (đồng vị). MA AO AM.HB AM.HB 0.75 C/m MAO đồng dạng với CHB CH (2) CH HB AO R 0.25 Từ (1) và (2) suy ra CH = 2 KH CK = KH K là trung điểm của CH. 4) Xác định vị trí của C để chu vi ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó.
5. 0.5 Chu vi tam giác ACB là PACB AB AC CB 2R AC CB Ta lại có 2 AC CB 0 AC2 CB2 2AC.CB 2AC2 2CB2 AC2 CB2 2AC.CB 2 2 AC2 CB2 AC CB AC CB 2 AC2 CB2 AC CB 2AB2 (Pitago) 0.75 AC CB 2.4R2 AC CB 2R 2 . Đẳng thức xảy ra khi AC = CB M là điểm chính giữa cung AB. 0.25 Suy ra , dấu "=" xảy ra khi M là điểm chính giữa cung AB PACB 2R 2R 2 2R 1 2 0.25 Vậy max đạt được khi M là điểm chính giữa cung AB. PACB 2R 1 2 0.25 Bài 5 (1,5 điểm) a) Chứng minh giá trị của M là một số nguyên. (1 điểm) 1004 1004 Biến đổi M 5 2 6 5 2 6 . 0.25 Đặt a 5 2 6 ; b 5 2 6 a b 10 và a.b 1. n n Đặt Un a b với n N . Khi đó M = U1004 n 2 n 2 n 1 n 1 n 1 n 1 Ta có Un 2 a b a.a b.b 10 b a 10 a b n 1 n 1 n n 10 a b ab a b 10Un 1 Un (vì ab = 1). 0.25 Un 2 10Un 1 Un (*). Ta thấy U0 = 2 Z ; U1 = a + b = 10 Z. 2 2 2 2 U2 a b a b 2ab 10 2.1 98 Z. 0.25 Theo công thức (*) thì U3 10U2 U1 mà U1, U2 Z suy ra U3 Z . Lại theo (*) U4 10U3 U2 cũng có giá trị nguyên. * 0.25 Quá trình trên lặp đi lặp lại vô hạn suy ra Un có giá trị nguyên với mọi n N . Suy ra M = U1004 có giá trị là một số nguyên. a)Tìm chữ số tận cùng của M. (0.5 điểm) Từ (*) suy ra Un 2 Un 10Un 110 Un 4 Un Un 4 Un 2 Un 2 Un 10 Un 4 Un 10 U4k r và Ur 0.25 có chữ số tận cùng giống nhau. 1004 = 4.251 suy ra U1004 và U0 có chữ số tận cùng giống nhau. 0.25 Mà U0 có chữ số tận cùng là 2 (theo c/m câu a) nên M có chữ số tận cùng bằng 2. Chú ý: 1. Nếu thí sinh làm bài bằng cách khác đúng thì vẫn cho điểm tương đương. 2. Điểm toàn bài không được làm tròn.