Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Phòng GD&ĐT Vĩnh Tường (Có đáp án và thang điểm)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Phòng GD&ĐT Vĩnh Tường (Có đáp án và thang điểm)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN HUYỆN VĨNH TƯỜNG Môn: Toán 9 Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang Bài 1: (6,0 điểm) x 2 1 4 x a. Cho biểu thức: P . x x 1 x 1 3 1.Rút gon P 2.Tìm các giá trị của x để P= 8 3. Tìm giá trị lớn 9 nhất, giá trị nhỏ nhất của P 1 1 1 1 1 b. Chứng minh rằng A= 4 1 2 3 4 5 6 7 8 79 80 Bài2: (4,0 điểm) 4 a) Giải phương trình: 2x2 x 6 x2 x 2 x x b)Chứng minh rằng : n2 + 7n + 2014 không chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n. Bài 3: (3,0 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 1 + x + x2 + x3 = y3 b)Cho a,b,c là các số dương và a+b+c=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= a 3 b3 c 3 Bài 4: (6,0 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính R, từ một điểm S ở ngoài đường tròn vẽ các tiếp tuyến SA.SB ( A, B là các tiếp điểm). Kẻ đường kính AC của (O) cắt AB tại E. Chứng minh: a) Bốn điểm A,O,S,B thuộc cùng một đường tròn. b) AC2 = AB.AE b) SO // CB c) OE vuông góc với SC Bài 5: (1,0 điểm) Tìm a,b là các số nguyên dương sao cho: a + b2 chia hết cho a2b-1
2. Đáp án + biểu điểm Bài 1: a) (4đ) 1.(2đ) Tìm được ĐK: x 0 0,25đ x 2 1 4 x . ( x 1)(x x 1) x 1 3 0,5đ x 2 (x x 1) 4 x 0,5đ . ( x 1)(x x 1) 3 x 1 4 x . ( x 1)(x x 1) 3 0,5đ 4 x 0,25đ 3(x x 1) 2. (1đ) 8 1 P= 2x 5 x 2 0 x 4; x (TMĐK) 1đ 9 1 2 4 3.Với x 0;3(x x 1) 0 P 0 , minP=0 khi x=0 0,5đ 4 1 1 4 Với x>0,P= vì x 2 nên x 1 1. Do đó P . 1 0,25đ 3( x 1) x x 3 x 0,25đ Dấu ”=” xảy ra khi x=1. Vậy maxP= 4 khi x=1 3 1 1 1 1 b. A= 1 2 3 4 5 6 79 80 1 1 1 1 A> 2 3 4 5 6 7 80 81 1đ 1 1 1 1 1 1 2A > 1 2 2 3 3 4 4 5 79 80 80 81 2A > 2 1 3 2 4 3 5 4 81 80 2A > 81 1 9 1 8 A 4 (đpcm) 1đ Bài 2:(4đ) a) (2đ) ĐK: x>0 0,25đ Nhận thấy 2x2 x 6 x2 x 2 với mọi x Biến đổi:
3. 4 2x2 x 6 x2 x 2 x 0,5đ x 0,25đ x2 4 x2 4 2x2 x 6 x2 x 2 x 0,5đ 2x2 x 6 x2 x 2 x 0,5đ 4 2 x2 x 2 x x2 x 2 2 x4 x3 2x2 4 0 x (x 1)(x3 2x2 4x 4) 0 x 1(dox3 2x2 4x 4 0khix 0) b)(2đ) Giả sử n2 +7n +20149 n2 7n 20143 4n2 28n 80563 (2n 7)2 80073 0,5đ vì 80073 (2n 7)2 3 (2n 7)2 9 mà 8007 không chia hết cho 9. Nên (2n+7)2+8007 không 0,5đ chia hêt cho 9 n2 7n 2014 không chia hết cho 9 mâu thuẫn với giả sử nên điều giả sử là sai. Vậy n2+7n +2014 không chia hết cho 9 (đpcm) 1đ Bài 3: (3điểm) a. (1,5d) Giải: Ta cú x2+x+1=(x+ 1 )2 + 3 >0 2 4 0,25đ 11 19 5x2+11x+7=5(x+ )2 >0 0,25đ 10 20 Nờn(1+x+x2+x3)-(1+x+x2) (x+1) =1+x+x +x x(x+1)=0 x 1 *x=0=>y=1 *x=-1=>y=0 0,5đ Vậy nghiệm nguyờn của PT là : (0;1), (-1;0) b) (1,5đ) 1 1 1 1 a 0,5đ ta có a>0 nên a3 33 a3. . ( bđt côsi cho 3 số dương) 27 27 27 27 3 a 2 a3 3 27 b 2 c 2 0,5đ tương tự b3 ;c3 , 3 27 3 27 1 2 1 2 1 a 3 b3 c 3 (a b c) 3 9 3 9 9 1 1 Do đó A . Dấu “=” xảy ra khi a=b=c= 9 3 0,5đ
4. 1 1 Vậy min A= a b c 9 3 Bài 4:(6đ) a. Vẽ đúng hình chứng minh được 4 điểm A,O,S,B cùng thuộc 1 đường tròn đường kính SO 1,5đ b.Cm được AC2=AB.AE 1,5đ A A A A O SS B C 1,5đ E y c. Cm được SO//CB EC AC EC AC 1,5đ d. Cm AECđồng dạng SOA OCE đồng OA SA OC SA dạng SAC từ đó suy ra OE vuông góc với SC Bài 5: (1đ) x2 2xy 2 y(x2 2)xy 2 x(xy 2) 2(x y)xy 2 2(x y)xy 2 Đặt 2(x+y)=k(xy+2) với k Z Nừu k=1 2x 2y xy 2 (x 2)(y 2) 2 Tìm được x=4 ; y=3 1,0đ Nừu k 2 2(x y) 2(xy 2) x y xy 2 (x 1)(y 1) 1 0 vô lí (loại) Vậy x=4. y=3