Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 11 - Năm học 2028-2019 - Trường THPT Thị xã Quảng Trị (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 11 - Năm học 2028-2019 - Trường THPT Thị xã Quảng Trị (Có đáp án)

1. KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 NGÀY 03 THÁNG 4 NĂM 2019 Thời gian làm bài: 180 phỳt, khụng thể thời gian phỏt đề Cõu I.1. Giải phương trỡnh: sin2 3x.cos 2x sin2 x 0 . 2 CõuI.2. Cho x1 và x2 là hai nghiệm của phương trỡnh: x 3x a 0 , x3 và x4 là hai nghiệm của 2 phương trỡnh: x 12x b 0 . Biết rằng x1, x2 , x3 , x4 theo thứ tự lập thành một cấp số nhõn. Hóy tỡm a,b Cõu II.1. Cho k là số tự nhiờn thỏa món: 5 k 2014 . Chứng minh rằng: 0 k 1 k 1 5 k 5 k C5 .C2014 C5.C2014 ... C5 .C2014 C2019 Cõu II.2. Tỡm m để phương trỡnh sau cú nghiệm thực: m 1 x2 1 x2 2 2 1 x4 1 x2 1 x2 . sin n Cõu III. Cho dóy số u được xỏc định bởi: u sin1; u u , với mọi n Ơ , n 2 . Chứng n 1 n n 1 n2 minh rằng dóy số un xỏc định như trờn là một dóy số bị chặn. Cõu IV. Cho tứ diện ABCD cú tam giỏc ABC đều cạnh bằng a và tam giỏc BCD cõn tại D với a 5 DC . 2 1. Chứng minh rằng: AD  BC . 2. Gọi G là trọng tõm tam giỏc BCD , tớnh cosin gúc giữa hai đường thẳng AG và CD , biết gúc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) bằng 300 . Cõu V. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giỏc ABC , với A 2;1 , B 1; 2 , trọng tõm G của tam giỏc nằm trờn đường thẳng x y – 2 0 . Tỡm tọa độ đỉnh C biết diện tớch tam giỏc ABC bằng 27 . 2 CõuVI. Cho cỏc số dương a, b, c thỏa món: a2 b2 c2 3 . Chứng minh rằng: 4 4 4 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 3 a b c . Đẳng thức xảy ra khi nào? a b b c c a HẾT Trang 1
2. TRƯỜNG THPT THỊ Xà KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 QUẢNG TRỊ NGÀY 03 THÁNG 4 NĂM 2019 (Đề thi cú 01 trang) Thời gian làm bài: 90 phỳt, khụng thể thời gian phỏt đề Họ và tờn: .. SBD: . LỜI GIẢI CHI TIẾT Cõu I.1. Giải phương trỡnh: sin2 3x.cos 2x sin2 x 0 . Lời giải Cỏch 1: Tỏc giả: Dương Đức Tuấn ; Fb: Dương Tuấn Ta cú: sin 3x 3sin x 4sin3 x sin x 3 4sin2 x sin x 1 2cos 2x . Vậy ta cú: sin2 3x.cos 2x sin2 x 0 sin2 x 1 2cos 2x 2 .cos 2x sin2 x 0 sin2 x 1 2cos 2x 2 .cos 2x 1 0 sin2 x 4cos3 2x 4cos2 2x cos 2x 1 0 x k sin x 0 2 2 k sin x cos 2x 1 4cos 2x 1 0 x . cos 2x -1 x k 2 2 k Vậy nghiệm của phương trỡnh là: x với k  . 2 Cỏch 2: Tỏc giả:Phạm Hữu Thành ; Fb: Phạm Hữu Thành. Ta cú: sin2 3x cos 2x sin2 2x 0 1 cos6x 1 cos 2x cos 2x 0 2 2 cos 2x cos6x cos 2x 1 cos 2x 0 cos6x cos 2x 1 0 cos8x cos 4x 2 0 2cos2 4x cos 4x 3 0 cos 4x 1 2cos 4x 3 0 cos 4x 1 0 2cos 4x 3 0 x Ă cos 4x 1 4x k2 x k ,k  . 2 2 Cõu I.2. Cho x1 và x2 là hai nghiệm của phương trỡnh: x 3x a 0 , x3 và x4 là hai nghiệm của 2 phương trỡnh: x 12x b 0 . Biết rằng x1, x2 , x3 , x4 theo thứ tự lập thành một cấp số nhõn. Hóy tỡm a,b Lời giải Tỏc giả: Phạm Huyền; FB: Phạm Huyền 2 3 Gọi q là cụng bội của CSN x2 x1q; x3 x1q ; x4 x1q Theo viet ta cú: Trang 2
3. x1 x2 3 x1(1 q) 3 (1) x1x2 a x1x2 a (2) x x 12 2 3 4 x1q (1 q) 12 (3) x3x4 b x3x4 b (4) Từ (1) và (3) suy ra q2 4 + q 2 từ (3) suy ra x1 1, giải ra được a 2;b 32 . + q 2 từ (3) suy ra x1 3, giải ra được a 18;b 288 . Cõu II.1. Cho k là số tự nhiờn thỏa món: 5 k 2014 . Chứng minh rằng: 0 k 1 k 1 5 k 5 k C5 .C2014 C5.C2014 ... C5 .C2014 C2019 Lời giải Tỏc giả: Đinh Thị Phương Trõm, Facebook: trõm đinh Ta cú: (x 1)5.(x 1)2014 (x 1)2019 5 0 1 2 2 3 3 4 4 5 5 Đặt M (x 1) C5 C5 x C5 x C5 x C5 x C5 x 2014 0 1 2 2 k k 2014 2014 N (x 1) C2014 C2014 x C2014 x ... C2014 x ... C2014 x 2019 0 1 2 2 k k 2019 2019 P (x 1) C2019 C2019 x C2019 x ... C2019 x ... C2019 x Vỡ P M.N nờn số hạng chứa xk trong P cú dạng: k k 0 k k 1 k 1 k 1 2 2 k 2 k 2 5 5 k 5 k 5 C2019 x C5 .C2014 x C5 x.C2014 x C5 x .C2014 x ...C5 x .C2014 x 0 k k 1 k 1 k 2 k 2 k 5 k 5 k C5 .C2014 x C5.C2014 x C5 .C2014 x ... C5 .C2014 x (*) 0 k 1 k 1 5 k 5 k Thay x 1 vào (*) ta cú: C5 .C2014 C5.C2014 ... C5 .C2014 C2019 Cõu II.2. Tỡm m để phương trỡnh sau cú nghiệm thực: m 1 x2 1 x2 2 2 1 x4 1 x2 1 x2 . Lời giải Tỏc giả: Vĩnh Tớn, FB: Vĩnh Tớn Điều kiện xỏc định của phương trỡnh: 1 x 1. Đặt t 1 x2 1 x2 . Khi đú t liờn tục trờn  1;1 và t 0 . 2 4 t 2 2 1 x 2 t 0; 2 t 2 t 2 Phương trỡnh trở thành: m(t 2) t 2 t 2 m . t 2 t 2 t 2 Xột f (t) ;t 0; 2 ta cú f (t) liờn tục trờn 0; 2 t 2 t 2 4t f '(t) 0,t 0; 2 (t 2)2 f (t) nghịch biến trờn 0; 2 Vậy phương trỡnh đó cho cú nghiệm thực khi f ( 2) 2 1 m 1 f (0) Trang 3
4. sin n Cõu III. Cho dóy số u được xỏc định bởi: u sin1; u u , với mọi n Ơ , n 2 . Chứng n 1 n n 1 n2 minh rằng dóy số un xỏc định như trờn là một dóy số bị chặn. Lời giải Tỏc giả: Cao Hoàng Nam; FB: Hoang Nam 1 1 1 Ta cú: ... 2,n N * , 12 22 n2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Vỡ ... 1 ... 1 1 ... 2 2 12 22 n2 1.2 2.3 n.(n 1) 2 2 3 n 1 n n sin1 sin 2 sin n Bằng qui nạp ta chứng minh được:u ... n 12 22 n2 1 1 1 1 1 1 * Suy ra : 2 2 2 ... 2 un 2 2 ... 2 2,n N 1 2 n 1 2 n Vậy dóy số un xỏc định như trờn là một dóy số bị chặn. Cõu IV. Cho tứ diện ABCD cú tam giỏc ABC đều cạnh bằng a và tam giỏc BCD cõn tại D với a 5 DC . 2 1. Chứng minh rằng: AD  BC . 2. Gọi G là trọng tõm tam giỏc BCD , tớnh cosin gúc giữa hai đường thẳng AG và CD , biết gúc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) bằng 300 . Lời giải Tỏc giả:Bựi Thu Hương ; Fb:Cucai Đuong 1)Gọi M là trung điểm BC, ta cú: ABC đều nờn AM  BC , DBC cõn nờn DM  BC BC  (AMD) BC  AD ỡ ù (ABC)ẩ(DBC)= BC ù 2) Ta cúớ AM è (ABC), AM ^ BC nờn gúc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) ù ù ợù DM è (DBC), DM ^ BC là gúc giữa hai đường thẳng MA, MD . Từđú, gúc giữa hai đường thẳng MA, MD bằng 300 . KẻGN / /CD , nối AN Trang 4
5. a a 3 +TH1: DãAM bằng 300 , ta cú: MD a MG , ABC đều nờn AM . 3 2 Áp dụng định lớ cosin cho AMG : AG2 = AM 2 + MG2 - 2.AM.MG.cos300 2 ổa 3ử ổaử2 a 3 a 3 13a2 2 ỗ ữ ỗ ữ AG = ỗ ữ + ỗ ữ - 2. . . = ốỗ 2 ứữ ốỗ3ứữ 2 3 2 36 a 13 CD a 5 a 7 ta cú AG ,GN . ANC cú AN . Trong ANG 6 3 6 3 - 5 5 cú cosãAGN= .Gọi (ãAG;CD) = a thỡ cos = 65 65 13 + TH2: ÃMD bằng 1500. Tớnh tương tự ta cú: thỡ cos = . 7 5 Cõu V. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giỏc ABC , với A 2;1 , B 1; 2 , trọng tõm G của tam giỏc nằm trờn đường thẳng x y – 2 0 . Tỡm tọa độ đỉnh C biết diện tớch tam giỏc ABC bằng 27 . 2 Lời giải Tỏc giả: Cao Hoàng Nam; FB: Hoang Nam 3 1 Gọi M là trung điểm AB , ta cú : M ; . Gọi C a;b , 2 2 a 3 b 1 a 3 b 1 suy ra G ; d 2 0 a b 4 0,(1) , 3 3 3 3 3a b 5 mặt khỏc AB :3x y 5 0 d(C; AB) , 10 1 27 1 3a b 5 27 Diện tớch S AB.d(C; AB) 10 3a b 5 27,(2) 2 2 2 10 2 Từ (1) và (2) ta cú hệ: a 9 C 9; 5 a b 4 b 5 3a b 32 9 a a b 4 2 9 17 C ; 3a b 22 17 2 2 b 2 CõuVI. Cho cỏc số dương a, b, c thỏa món: a2 b2 c2 3 . Chứng minh rằng: 4 4 4 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 3 a b c . Đẳng thức xảy ra khi nào? a b b c c a Lờigiải Tỏcgiả:HồVănThảo;Fb:ThảoThảo. Trang 5
6. 4 4 a2 b2 3 c2 4 4 2 2 2 Ta cú 2 2 2 , vỡ a b c 3 b c 3 a 4 4 2 2 2 a c 3 b Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương: 4 2 4 2 4 2 4 2 2 3 a 2 2 3 a 4 2 1 a 2 2 2 1 a 2 3 a 3 a 3 a b c 4 1 b2 2 c2 a2 Tương tự ta chứng minh được: 4 1 c2 2 a2 b2 Nhõn vế theo vế cỏc bất đẳng thức mới chứng minh ta được: 4 4 4 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 a 2 b 2 c 2 a b b c c a 2 2 2 2 2 2 2 2 Ta xột: a 2 b 2 a 1 1 b 1 1 a 1 b 1 a b 3 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: 2 1 2 a2 1 b2 1 a b , a2 b2 a b 2 2 1 2 a2 2 b2 2 a b a b 3 2 3 2 a2 2 b2 2 c2 2 a b 3 c2 2 2 2 2 a b 2 a b a2 2 b2 2 c2 2 3 1 2 c2 3 . 2 1.c 2 2 a2 2 b2 2 c2 2 3 a b c 2 4 4 4 2 Vậy nờn 2 2 1 2 2 1 2 2 1 3 a b c a b b c c a Dấu " " xảy ra khi a b c 1. HẾT Trang 6